考研数学三(微积分)模拟试卷97(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 在函数中当x→0时极限不存在的是

A．①．

B．②．

C．③．

D．①②③④．

正确答案：D

解析：综上分析，应选

D． 知识模块：微积分

2． 极限

A．等于

B．等于

C．等于e-6．

D．不存在．

正确答案：A

解析：注意到本题为1∞型．设则原极限而故原极限应选A． 知识模块：微积分

3． 设

A．2

B．4

C．6

D．8

正确答案：C

解析：故选

C． 知识模块：微积分

4． 设f(x)在x=a连续，φ(x)在x=a间断，又f(a)≠0，则

A．φ[f(x)]在x=a处间断．

B．f[φ(x)]在x=a处间断．

C．[φ(x)]2在x=a处间断．

D．在x=a处间断．

正确答案：D

解析：反证法．若在x=a连续，由连续函数的四则运算法则可得必在x=a连续，与假设φ(x)在x=a间断矛盾，从而必在x=a间断．故选

D． 知识模块：微积分

5． “f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的( )条件．

A．必要非充分

B．充分非必要

C．充分必要

D．既非充分又非必要

正确答案：B

解析：由｜｜f(x)｜—｜f(a)｜｜≤｜f(x)一f(a)｜可知当f(x)在x=a连续可推知｜f(x)｜在x=a连续；而由成立，从而｜f(x)｜在x=a连续，但f(x)却在x=a间断．以上讨论表明“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的充分非必要的条件．应选

B． 知识模块：微积分

填空题

6． 设K，L，δ为正的常数，则=_________．

正确答案：KδL1－δ

解析： 知识模块：微积分

7． 设在x=0连续，则常数a与b满足的关系是___________．

正确答案：a=b

解析：对任何常数a和b，f(x)分别在(一∞，0]，(0，+∞)连续，且f(0)=a，f+(0)=b．故f(x)在x=0连续 知识模块：微积分

8． 1+x2一ex2当x→0时是x的__________阶无穷小(填数字)．

正确答案：4

解析：，有即故当x→0时1+x2一ex2是x的4阶无穷小．或用ex2的泰勒展开式可知其为x的4阶无穷小． 知识模块：微积分

9． 已知=__________。

正确答案：

解析： 知识模块：微积分

10． =___________。

正确答案：

解析： 知识模块：微积分

11． =___________。

正确答案：3

解析： 知识模块：微积分

12． 若=_____________。

正确答案：5

解析： 知识模块：微积分

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13．

正确答案：或用等价无穷小因子替换，得 涉及知识点：微积分

14．

正确答案： 涉及知识点：微积分

15．

正确答案： 涉及知识点：微积分

16．

正确答案： 涉及知识点：微积分

17．

正确答案： 涉及知识点：微积分

18．

正确答案： 涉及知识点：微积分

19．

正确答案： 涉及知识点：微积分

20．

正确答案： 涉及知识点：微积分

21．

正确答案：属1∞型极限．原极限=eJ，而 涉及知识点：微积分

22． 设f(x)具有连续导数，且f(0)=0，f’(0)=6，求

正确答案：由f(0)=0，f’(0)=6可得从而这表明当x→0时∫0xf(t)~3x2,由此又有当x→0时∫0x3f(t)dt~3(x3)2=3x6 故 涉及知识点：微积分

23． 设求常数A与k使得当x→0时f(x)与Axk是等价无穷小量．

正确答案： 涉及知识点：微积分

24． 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：

正确答案：(I)的定义域为(一∞，一1)∪(一1，1)∪(1，+∞)，由初等函数连续性知y分别在(一∞，一1)，(一1，1)，(1，+∞)内连续．因从而x=一1与x=1都是函数的第一类间断点，其中x=一1是函数的可去间断点，x=1是函数的跳跃间断点．(Ⅱ)因显然x=一1与x=1都是函数的第一类(跳跃)间断点．(Ⅲ)由初等函数的连续性及)，的定义可知，y分别在[一1，0)与(0，+∞)连续．又因故y仅有x=0为第一类(可去)间断点．(Ⅳ)先写出f[g(x)]的表达式．考察g(x)的值域：当x≠1，2，5时f[g(x)]分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续．当x=2，5时，分别由左、右连续得连续．当x=1时，从而x=1是f[g(x)]的第一类间断点(跳跃间断点)． 涉及知识点：微积分

25． 已知求常数a＞0和b的值．

正确答案：题目中的极限式可改写为 涉及知识点：微积分

26． 设试确定常数a，b的值．

正确答案：由题设知 涉及知识点：微积分

27． 设求n及a的值．

正确答案：由此可知n=2，a=一2e2． 涉及知识点：微积分