考研数学三(微积分)模拟试卷203(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．

A．若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散

B．若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界

C．若{an}无界且

D．若an为无穷大，且则bn一定是无穷小

正确答案：D

解析：A不对，如an=2+(－1)n，bn=－2－(－1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；B，C都不对，如an=n[1+(－1)n]，bn=n [1－(－1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界且；正确答案为

D． 知识模块：函数、极限、连续

2． f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )．

A．可导

B．不可导

C．连续但不一定可导

D．不连续

正确答案：C

解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选

C． 知识模块：一元函数微分学

3． 下列说法正确的是( )．

A．设f(x)在x0二阶可导，则f’’(x)在x=x0处连续

B．f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值

C．f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值

D．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点

正确答案：D

解析：令不存在，所以A不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以B不对；C显然不对，选

D． 知识模块：一元函数微分学

填空题

4． 设f(x)连续，且f(1)=1，则=______．

正确答案：

解析： 知识模块：函数、极限、连续

5． 设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=______．

正确答案：

解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得 知识模块：一元函数微分学

6． ______．

正确答案：

解析： 知识模块：一元函数积分学

7． 设f(x)=∫0xecostdt．求∫0πf(x)cosxdx．

正确答案：e－1－e

解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx =－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e． 知识模块：一元函数积分学

8． 以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．

正确答案：y’’－3y’’+4y’－2y=0

解析：特征值为λ1=1，λ2,3=1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1+i)(λ－1－i)=0，即λ3－3λ2 +4λ－2=0，所求方程为y’’－3y’’+4y’－2y=0． 知识模块：常微分方程与差分方程

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9． 求

正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续

10． 设求f(x)的间断点并指出其类型．

正确答案：首先其次f(x)的间断点为x=kπ(k=0，±1，…)，因为，所以x=0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=kπ(k=±1，…)为函数f(x)的第二类间断点． 涉及知识点：函数、极限、连续

11． 确定a，b，使得x－(a+bcosx)sinx，当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．

正确答案：令y=x－(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x～(a+bcosx)cosx，y’’=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y’’’=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y’’(0)=0，所以令y’(0)=y’’(0)=0得故当时，x－(a+bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小． 涉及知识点：函数、极限、连续

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1)=0．证明：

12． 存在使得f(η)=η；

正确答案：令φ(x)=f(x)－X，φ(x)在[0，1]上连续，φ(1)=－1＜0，由零点定理，存在使得φ(η)=0，即f(η)=η． 涉及知识点：一元函数微分学

13． 对任意的k∈(－∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．

正确答案：设F(x)=e－kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1． 涉及知识点：一元函数微分学

14． 当x＞0时，证明：

正确答案：令f(x)=(+1)ln(1+x)－2arctanx，f(0)=0．所以从而f’(x)≥0(x＞0)．由得f(x)≥f(0)=0(x＞0)，即 涉及知识点：一元函数微分学

15． 求

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

16． 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f’’(x)＜0．证明：∫01f(x2)dx≤

正确答案：由泰勒公式，得 涉及知识点：一元函数积分学

17． 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f∫abxφ(x)dx]．

正确答案：因为f’’(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]，上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]． 涉及知识点：一元函数积分学

18． 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x+y=6所同围成的闭区域D上的最小值和最大值．

正确答案：(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值， 在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0； 在L2：x=0(0≤Y≤6)上，z=0；在L3：Y=6－x(0≤x≤6)上，z=－2x2(6－x)=2x3－12x2，由=6x2－24x=0得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=－，所以f(x，y)在L 涉及知识点：多元函数微分学

19． 设二元函数f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

正确答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．因为所以φ(0，0)=0．(充分性)若φ(0，0)=0，则f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．因为即f(x，y)在点(0，0)处可微． 涉及知识点：多元函数微分学

20． 计算二重积分

正确答案： 涉及知识点：重积分

21． 设f(x)为连续函数，计算其中D是由y=x3，y=1，x=－1围成的区域．

正确答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则 涉及知识点：重积分

22． 若正项级数收敛．

正确答案：因为当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而收敛． 涉及知识点：级数

设(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，证明：

23． 若级数收敛；

正确答案：(1)由则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，无论A=0还是A＞0，若级数收敛． 涉及知识点：级数

24． 若级数发散．

正确答案：(2)若A=0，由级数敛散性相同，故若级数发散． 涉及知识点：级数

25． 设f(x)在(－∞，+∞)内一阶连续可导，且发散.

正确答案：由，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，由莱布尼茨审敛法知收敛，因为发散． 涉及知识点：级数

26． 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0．(1)求f(x)；(2)证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．

正确答案：(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)－∫0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f’’(x)=－(x+2)f’(x)=>再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=－1，所以C=－1，于是(2)当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)－e－x．g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=由=>g(x)≥0=>f(x)≥e－x(x≥0)． 涉及知识点：常微分方程与差分方程

27． 用变量代换x=sint将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．

正确答案：的通解为y=C1e－2t+C2e2t，故原方程的通解为y=C1e－2arcsinx+C2e2arcsinx． 涉及知识点：常微分方程与差分方程

28． 高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0．9，问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是cm，时间单位为h)?

正确答案：t时刻雪堆体积侧面积根据题意得因为h(0)=130，所以C=130，则得t=100，即经过100小时全部融化． 涉及知识点：常微分方程与差分方程