初中数学专题折叠问题

学习要点与方法点拨：

出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题

折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；

考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段 之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称 轴、对应边平行或交点在对称轴上。？

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成 一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。

基本图形：

在矩形ABCD中，将△ ABF沿BE折叠至△ FBE,可得何结论?

(1) 基本图形练习:

如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD，

展开纸片；再次折叠，使得A和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到厶人丘卩则厶AEF是等 腰三角形，对吗?

(2) 折叠中角的考法与做法:

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE(图

1);再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D',折痕为EG(图2),再展开纸 片，求图(3)中角a的大小。

(3) 折叠中边的考法与做法:

如图，将边长为6cm的正方形ABCDff叠，使点D落在AB边中点

模块精讲

第一步：将已知条件标在图上;

折痕为FH点C落在Q处，EQ与 BC交于点G则厶EBG勺周长是多少?

★解题步骤:

丿 例1. (2014?扬州)已知矩形ABCD勺一条边AD=8将矩形ABCDff叠，使得顶点B落在CD 边上的P点处.

(1) 如图1，已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OR OA

① 求证：△ OCRA PDA

② 若△ 0。卩与厶PDA的面积比为1: 4,求边AB的长；

(2) 若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/ OAB的度数；

(3) 如图2,在(1)的条件下，擦去折痕AO线段OP连结BP.动点M在线段AP上

（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM连结MN交PB于点F, 作MEIBP于点E.试问当点M N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化， 说明理由；若不变，求出线段 EF的长度.

例2. （2013?苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ ADE沿AE折叠后得 到厶AFE且点F在矩形ABC呐部.将AF延长交边BC于点G.若+丄，则—= _____________ 用 含k的代数式表示）.

例3、 （2013?苏州）如图，点 O为矩形ABCD勺对称中心，AB=10cm BC=12cm点E、F、G 分别从A、BC三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s， 点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C （即点F与点C重 合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△ EBF关于直线EF的对称图形是△ EB F.设 点E、F、G运动的时间为t （单位：s）.

（1） ________________ 当t= s时，四边形EBFB为正方形；

（2） 若以点E、B F为顶点的三角形与以点F，C, G为顶点的三角形相似，求t的值；

（3） 是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由.

例4、如图，已知矩形纸片ABCD AD=2 AB=4将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重 合，折痕FG分别与AB CD交于点G, F，AE与FG交于点O.

（1）如图1,求证：A，G, E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2,当厶AED勺外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点;

（3）如图2,在（2）的条件下，求折痕FG的长.

例5、已知AD// BC, AB丄AD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上 •若点E与点B关于

E

A. 1+tan / ADB= 2 2BC=5CF AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G,贝V C.Z AEB+22 =Z DEF

课堂练习 1、

4cos/ AGB=6

2、（ 2014连云港）如图1,将正方形纸片ABCD寸折，使AB与CD重合，折痕为EF•如图 2, 展开后再折叠一次，使点 C与点E重合，折痕为GH点B的对应点为点M EM交AB于 N,贝U tan / ANE=__________ .

图3 图4

3、 （ 2014?徐州）如图3,在等腰三角形纸片ABC中, AB=ACZ A=50 ,折叠该纸片，使 点A落在点B处，折痕为DE则/CBE= ______________ ° .

4、 （ 2014?扬州）如图4,A ABC的中位线DE=5crp把厶ABC沿DE折叠，使点A落在边BC 上的点F处，若A F两点间的距离是8cm,则厶ABC的面积为 ________________ cmi.

5、（ 2013?扬州）如图 1,在梯形 ABCD中，AB// CD, / B=90 , AB=2 CD=1 BC=m P为 线段BC上的一动点，且和 B C不重合，连接PA过P作PEL PA交CD所在直线于E.设 BP=X CE=y

(1) 求y与x的函数关系式；

(2) 若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；

(3) 如图2,若m=4将厶PEC沿PE翻折至△ PEG位置，/ BAG=90，求BP长.

课后巩固习题

1、 (2014?淮安)如图，在三角形纸片 ABC中, AD平分/ BAC将△ ABC折叠，使点A与点 D重合，展开后折痕分别交 AB AC于点E、F,连接DE DF.求证：四边形AEDF是菱形.

2、 ( 2013?宿迁)如图，在梯形 ABCD中, AB// DC / B=90°，且 AB=10 BC=6 CD=2 点 E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF// AD交边AB于点卩.将厶BEF沿 EF所在的直线 折叠得到厶GEF直线FG EG分别交AD于点M N,当EG过点D时，点E即停止运动.设 BE=x △ GEF与梯形ABCD勺重叠部分的面积为y.

(1) 证明△ AMF是等腰三角形；

(2) 当EG过点D时(如图(3))，求x的值；

(3) 将y表示成x的函数，并求y的最大值.

3、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8，把△ BCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C'处,BC交 AD于点G,E,F,分别是C'D和BD上的点，线段EF交AD于点 巴把厶FDE沿着EF折叠，使点D 落在D'处，点D'恰好与点A重合.

4、 （ 1）求证：三角形ABG^A C'DG

5、 （ 2）求 tan / ABG的值；6（ 3）求EF的长。

3、

？