2013高考真题专题汇编立体几何文(师)

一、选择题

1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为

A．180

【答案】D

（ ）

C．220

D．240

B．200

2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为

A．

【答案】A

3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为

（ ）

B． C． D．

A．168

【答案】A

B．88

C．1616

D．816

（ ）

4 ．（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 A．

（ ）

B．2 33 3C．2 3D．

1 3（ ）

【答案】A 5 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是

A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台

【答案】D

6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是

A．108cm

【答案】B

3

（ ）

3

B．100 cm

3

C．92cm D．84cm

3

7 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,则P到各

顶点的距离的不同取值有

D1 C1 B1 A1 D PA C B C．5个

D．6个

（ ）

A．3个 B．4个 第二部分(非选择题 共110分) 【答案】B

8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是

21正视图1侧视图俯视图图 2 B．

（ ）

A．

1 61 3C．

2 3D．1

【答案】B

9 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为

2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______

A．（ ）

D．2

3 2B．1 C．21 2【答案】D

10．（2013年高考浙江卷（文））设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,

（ ）

A．若m∥α,n∥α,则m∥n

C．若m∥n,m⊥α,则n⊥α 【答案】C

B．若m∥α,m∥β,则α∥β D．若m∥α,α⊥β,则m⊥β

11．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球

O的球面上,若

（ ）

AB3，AC4,ABAC,AA112,则球O的半径为

A．

317 2B．210 C．

13 2D．310

【答案】C

12．（2013年高考广东卷（文））设l为直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是

（ ）

A．若l//,l//,则// C．若l,l//,则//

【答案】B

B．若l,l,则// D．若,l//,则l

13．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱

锥侧面积和体积分别是

A．45,8

【答案】B

14．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为

（ ）

B．45,8 3C．4(51),8 3D．8,8

A．200+9π 【答案】A

二、填空题

15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD的体积为

（ ）

D．140+18π

B．200+18π C．140+9π

,底面边长为,则以O为球心,OA为半径

的球的表面积为________.

【答案】24

16．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名着《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆

台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深

九寸,则平地降雨量是__________寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)

【答案】3

17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB1:2,AB平面,H为垂

足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为_______.

【答案】

9; 218．（2013年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

1 2 1 1 2 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 【答案】3

19．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

【答案】3 20．（2013年高考大纲卷（文））已知圆O和圆

K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半

3则球O的表面积等于______. ，且圆O与圆K所在的平面所成角为60，2【答案】16 21．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱的母线长为l,底面半径为r,O是上地面圆心,A、B是

π1下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为,则________.

6r径,OK【答案】3

22．（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

9, 则正方体的棱2长为 ______.

【答案】

3

23．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.

【答案】1616

24．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF

与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

【答案】4

25．（2013年高考安徽（文））如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上

的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).

①当0CQ113时,S为四边形;②当CQ时,S为等腰梯形;③当CQ时,S与C1D1的交点R224满足C1R613;④当CQ1时,S为六边形;⑤当CQ1时,S的面积为.

234【答案】①②③⑤ 三、解答题

26．（2013年高考辽宁卷（文））如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.

(I)求证:BC平面PAC；

(II)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC.

【答案】

27．（2013

年高考浙江卷文））如图,在在四棱锥

P-ABCD中,PA⊥面

（ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;

(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值; (Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求

PG

的值. GC

【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形

ABC是等腰三角形,且底角等于30°,且

ABCBADCDABDCBDABDCBD60且BAC30BDDB,所以;、

PAABCDBDPABDAC,又因为BDPAC;

BDAC(Ⅱ)设

AC,

BDO由

已

,由(1)知

及

DOPAC知

:

,连接GO,所以DG与面APC所成的角是

,

DGO知(1)

BO1,AOCO3DO73211OD24GOPA3tanDGO3,所以DG与面APC所成的角的

22GO1332正切值是43; 3PA2AC231215,因为PCBGDPCGD,在

(Ⅲ)由已知得到:PCPDC中,PD3710,CD7,PC15,设

PGxCG15x10x27(15x)2PGx

32PG315,GC1555GC228．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面

ABCD, ABAA12. D1A1B1C1DAOBC

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

【答案】解: (Ⅰ) 设B1D1线段的中点为O1.

BD和B1D1是ABCDA1B1C1D1的对应棱BD//B1D1.

同理，AO和A1O1是棱柱ABCDA1B1C1D1的对应线段AO//A1O1且AO//OCA1O1//OC且A1O1OC四边形A1OCO1为平行四边形 A1O//O1C.且A1OBDO,O1CB1D1O1面A1BD//面CD1B1.(证毕)

(Ⅱ) A1O面ABCDA1O是三棱柱A1B1D1ABD的高. 在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RTA1OA中，A1O1.

三棱柱A1B1D1ABD的体积VA1B1D1ABDSABDA1O所以,三棱柱A1B1D1ABD的体积VA1B1D1ABD1.

29

．（

2013

年

高

考

福

建

卷

（

文

））

1(2)211. 2如图,在四棱锥

PABCD中,PD面ABCD,AB//DC,ABAD,BC5,DC3,AD4,PAD60.

(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);

(2)若M为PA的中点,求证:DM//面PBC; (3)求三棱锥DPBC的体积.

【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD中,过点C作CEAB,垂足为E,

由已知得,四边形ADCE为矩形,AECD3 在RtBEC中,由BC5,CE4,依勾股定理得: BE3,从而AB6

又由PD平面ABCD得,PDAD

从而在RtPDA中,由AD4,PAD60,得PD43 正视图如右图所示:

(Ⅱ)取PB中点N,连结MN,CN 在PAB中,M是PA中点,

1AB3,又CDAB,CD3 2∴MNCD,MNCD

∴四边形MNCD为平行四边形,∴DMCN 又DM平面PBC,CN平面PBC ∴DM平面PBC

1(Ⅲ)VDPBCVPDBCSDBCPD

3∴MNAB,MN又sPBC6,PD43,所以VDPBC83 解法二:

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)取AB的中点E,连结ME,DE 在梯形ABCD中,BECD,且BECD

∴四边形BCDE为平行四边形

∴DEBC,又DE平面PBC,BC平面PBC ∴DE平面PBC,又在PAB中,MEPB

ME平面PBC,PB平面PBC ∴ME平面PBC.又DEMEE,

∴平面DME平面PBC,又DM平面DME ∴DM平面PBC

(Ⅲ)同解法一

30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形

ABC中,D,E分别是AB,AC边上的

点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥

ABCF,其中BC2. 2(1) 证明:DE//平面BCF;

(2) 证明:CF平面ABF; (3) 当AD2时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG. 3AAGEDGDEFCBF图 4C

B图 5

【答案】(1)在等边三角形ABC中,ADAE

ADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中

也成立,DE//BC ,DE平面BCF,

BC平面BCF,DE//平面BCF;

BFCF12.

(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AFBC①,

在三棱锥ABCF中,

BC22,BC2BF2CF2CFBF②

BFCFFCF平面ABF;

(3)由(1)可知GE//CF,结合(2)可得GE平面DFG.

111111313VFDEGVEDFGDGFGGF32323323324

31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=

,AA1=3,D是BC的中点,点

E在菱BB1上运动. (I) 证明:AD⊥C1E;

(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.

【答案】解: (Ⅰ) 因为E为动点，所以需证AD面CBB1C1.

ABCA1B1C1是直棱柱BB1面ABC,且AD面ABCBB1AD

又RTABC是等腰直角且D为BC的中点，BCAD.

由上两点，且BCBB1BAD面CBB1C1且C1E面CBB1C1ADC1E.(证毕)

(Ⅱ)CA//C1A1,A1C1E60在RTA1C1E中，AE6.

在RTA1B1E中，EB12.ABCA1B1C1是直棱柱EB1是三棱锥EA1B1C1的高VC1A1B1EVEA1B1C113S122A1B1CEB13123所以三棱锥C1A1B1E的体积为3. 32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥PABCD中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面

PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:

(1)PA底面ABCD;(2)BE//平面PAD;(3)平面BEF平面PCD

【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD.

(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形,

所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD 所以BE∥平面PAD.

(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD

所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点

所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.

.

33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,ABAA1,BAA160.

(Ⅰ)证明:ABAC; 1(Ⅱ)若ABCB2,AC16,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.

CC1B1A1

A1,∠BA AB,由于AB=A

BAOA1OA1B,因为CA=CB,所以OC【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接OCO、、

A1=60,故AA,B为等边三角形,所以OA1⊥AB.

0

因为OC?OA1=O,所以AB平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故ABAC. (II)由题设知

ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，AA1B都是边长为2的等边三角形，所以2OCOA13,又AC6，则ACOA12，故OA1OC. 11因为OCABO,所以OA1平面ABC，OA1为棱柱ABC-A1B1C1的高，ABC又ABC的面积S34

．（

2013

年

3，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S考

山

东

卷

（

文

））

ABCOA13.,

四

棱

锥

高如图

PABCD中,ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为

PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN

【答案】

35．（2013年高考四川卷（文））

如图,在三棱柱

ABCA1B1C中,侧棱

AA1底面

ABC,ABAC2AA12,BAC120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异

于端点的点.

(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面ADD1A1; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1QC1D的体积.(锥体体积公式:V底面面积,h为高)

1Sh,其中S为3

【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点P作直线l//BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,

由直线与平面平行的判定定理可知,l//平面A1BC.

由已知,ABAC,D是BC中点,所以BC⊥AD,则直线lAD, 又因为AA1底面ABC,所以AA1l,

又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交, 所以直线l平面ADD1A1

(Ⅱ)过D作DEAC于E,因为AA1平面ABC,所以AA1DE,

C1A1CQEDPlABD1B1又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,所以DE平面AA1C1C, 由ABAC2,∠BAC120,有AD1,∠DAC60, 所以在△ACD中,DE又SAQC133, AD2211331 1A1C1AA11,所以VA1QC1DVDA1QC1DESA1QC1332623因此三棱锥A1QC1D的体积为

636．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现

矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2,C1C2d3,且d1d2d3. 过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中. (Ⅰ)证明:中截面DEFG是梯形;

(Ⅱ)在△ABC中,记BCa,BC边上的高为h,面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量

1(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估S中h来估算. 已知V(d1d2d3)S,试

3判断V估与V的大小关系,并加以证明.

第20题图

【答案】(Ⅰ)依题意A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,

所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又A1A2d1,B1B2d2,C1C2d3,且d1d2d3 . 因此四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形.

由AA2∥平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFNME,

可得AA2∥ME,即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG. 又M、N分别为AB、AC的中点,

则D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1 的中点, 即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.

1111因此 DE(A1A2B1B2)(d1d2),FG(A1A2C1C2)(d1d3),

2222而d1d2d3,故DEFG,所以中截面DEFG是梯形. (Ⅱ)V估V. 证明如下:

由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN. 而EM∥A1A2,所以EMMN,同理可得FNMN. 由MN是△ABC的中位线,可得MN11BCa即为梯形DEFG的高, 221dd2d1d3aa因此S中S梯形DEFG(1)(2d1d2d3),

22228即V估S中hah(2d1d2d3). 811ah又Sah,所以V(d1d2d3)S(d1d2d3).

236于是VV估ahahah(d1d2d3)(2d1d2d3)[(d2d1)(d3d1)]. 6824由d1d2d3,得d2d10,d3d10,故V估V.

37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.

(1) 证明: BC1//平面A1CD; (2) 设AA1= AC=CB=2,AB=2

,求三棱锥C一A1DE的体积.

【答案】

38．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥

PABCD中，ABCBAD90，BC2AD,PAB与PAD都是边长为2的等边三角形.

(I)证明:PBCD; (II)求点A到平面PCD的距离.

【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.

过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.

由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故OEBD,从而PBOE. 因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,PBCD.

(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB. 由(Ⅰ)知,PBCD,故OFCD.

1BD2,OPPD2OD22, 2故POD为等腰三角形,因此,OFPD. 又PDCDD,所以OF平面PCD.

因为AE//CD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE//平面PCD.

1因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OFPB1,

2又OD所以A至平面PCD的距离为1.

39．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,BAD60.已知

PBPD2,PA6 .

(Ⅰ)证明:PCBD

(Ⅱ)若E为PA的中点,求三菱锥PBCE的体积.

【答案】解:

(1)证明:连接BD,AC交于O点

PBPD POBD

又ABCD是菱形 BDAC

而ACPOO BD⊥面PAC BD⊥PC (2) 由(1)BD⊥面PAC

S△PEC2113 S△PAC623sin45=632221111SPECBO3 2322VPBECVBPEC表面积.

O40．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥OABC底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及

BAC第19题图【答案】

41．（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;

(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

【答案】

42．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)

如题(19)图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA23,BCCD2,

ACBACD3

.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;

(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF7FC,求三棱锥PBDF的体积.

【答案】

43．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=

,AA1=3,E为

CD上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;

(2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离

【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BFAD2,EFABDE1,FC2

在RtBFE中，BE＝3 ，RtBFC中，BC＝6 . 在BCE中，因为BEBC＝9＝EC,故BEBC 由BB1平面ABCD，得BEBB1，所以BE平面BB1C1C (2)三棱锥EA1B1C1的体积V＝AA1•SA1B1C1＝2 22213在RtA1D1C1中，AC＝A1D12D1C12=32 , 11EA1＝ADEDAA1=23 同理,EC1＝ECCC1=32 ，因此SA1C1E35.设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1EAC11的体积

22222101 V＝•d•SA1EC1＝5d,从而5d2,d53