第３４卷第５期 兰州理工大学学报 Ｖｏ１．３４ ＮＯ．５ ２００８年１Ｏ月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ＯｃＬ ２００８ 文章编号：１６７３，－５１９６（２００８）０５一Ｏ１３１—０４ 基于位移形函数和力形函数的 梁柱单元理论对比研究 梁 吉 ，邵丽芳 （１．浙江大学研究生学院，浙江杭州３１００２７；２．浙江交通职业技术学院，浙江杭州３１１１１２） 摘要：基于位移形函数的梁柱单元理论被广泛应用于框架结构梁柱单元的有限元分析，但其计算精度受到位移形 函数的限制而难以提高．对比基于位移形函数的相关理论，总结基于力形函数的梁柱单元理论，进行有限元程序编 制，计算过程中采用柱面弧长法来进行迭代求解．程序计算结果对比表明，基于力形函数的梁柱单元计算效率和计 算精度均高于基于位移形函数的梁柱单元． 关键词：位移形函数；力形函数；梁柱单元 中图分类号：ＴＵ３１１．４１ 文献标识码：Ａ Ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ—ｂａｓｅｄ ａｎｄ ｆｏｒｃｅ－ｂａｓｅｄ ｂｅａｍ－ｃｏｌｕｍｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ＬＩＡＮＧ Ｊｉ ，ＳＨＡＯ Ｌｉ—ｆａｎｇ （１．Ｔｈｅ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｇｒａｄｕａｔｅ Ｓｔｕｄｉｅｓ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００２７，Ｃｈｉｎａ；２．Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｏｎｕｎｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１１ｌｌ２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ—ｂａｓｅｄ ｂｅａｍ－ｃｏｌｕｍｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｈｅｏｒｙ ｗａｓ ｗｉｄｅｌｙ ａｄｏｐｔｅｄ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆｒａｍｅ ｂｅａｍ－ｃｏｌｕｍｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｗａｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ—ｂａｓｅｄ ｂｅａｍ－ｃｏｌｕｍｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｈｅ— ｏｒｙ，ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ－ｂａｓｅｄ ｂｅａｍ－ｃｏｌｕｍｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｈｅｏｒｙ ｗａｓ ｓｕｍｍｅｄ ｕｐ，ａｎｄ ｉｔｓ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｐｒｏｇｒａｍ ｗａｓ ｄｅ— ｖｅｔｏｐｅｄ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗａｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｗｉｔｈ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃ ａｒｃ—ｌｅｎｇｔｈ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｆｏｒｃｅ－ｂａｓｅｄ ｂｅａｍ－ｃｏｌｕｍｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｗａｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ－ｂａｓｅｄ ｏｎｅ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｉｔｓ ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｆｏｒｃｅ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｂｅａｍ—ｃｏｌｕｍｎ ｅｌｅｍｅｎｔ 传统的有限元分析中，框架结构的梁柱单元一 总结基于力形函数的梁柱单元理论．基于力形 般建立在基于位移形函数的基础上，这样的单元形 函数的单元理论在应用时，杆件与杆件内部积分点 式难以追踪到结构非线性高度发展的阶段，为了提 处的横截面之间采用柔度法来处理，即在杆件上选 高计算精度往往需要增加大量的单元数量，这样导 取不同位置处横截面，利用杆端力与截面力的平衡 致计算效率降低［ ．因此，为了对梁柱单元非线性全 条件进而插值得到杆件的刚度；杆件和结构整体沿 过程能有更加精确和完整的把握，有必要采用更加 用经典的刚度法，通过组装杆件刚度得到结构的刚 精确的形函数来具体模拟构件局部的实际受力状 度． 态，这样力形函数的概念被提出［２］．基于力形函数的 与基于位移形函数的相关理论部分进行对比研 单元比基于位移形函数的单元更有理论上的优势， 究，并编制有限元程序进行计算分析．结果表明，基 随着计算机性能的提高和非线性数值技术的发展， 于力形函数的梁柱单元比基于位移形函数的梁柱单 必将得到广泛的应用． 元更具优势，在保证计算效率的前提下，前者的计算 精度更高． 收稿日期：２００８－０４—０７ 基金项目：浙江省交通科技项目（２００８Ｈ２０） 计算过程中采用柱面弧长法来进行迭代求解， 作者简介：梁吉（１９７８一），女，浙江嵊州人，博士 通过与实例比较分析，结果令人满意． 兰州理工大学学报 ｄ（ｚ）一口（ｚ）ｑ 第３４卷 （７） １基于力形函数的梁柱单元理论 与基于位移形函数的梁柱单元理论不同，力形 函数的概念联系的是杆端力向量和截面力向量的关 系，而且随着结构非线性的充分发展，力的关系仍然 式中：口（ｚ）称为位移形函数，这个关系并不能保证 严格精确，只是小变形条件下的假定条件．按照最小 势能原理，由截面内力得到单元内力的公式 保证严格精确． Ｐ—ｆＬａ（ｚ） Ｄ（ｚ）ｄｒ Ｊ ０ （８） （９） 同理由截面刚度得到了单元的刚度 以平面框架为例，设单元力向量Ｐ—Ｉ Ｐ ｌ，分别 Ｋ二＝＝Ｉ口（ｚ） 七（ｚ）口（ｚ）ｄｘ ｚ］ 对应轴力、剪力和弯矩，对应的位移向量ｇ—ｌ Ｉ， ｌ ｊ 杆件的柔度矩阵Ｆ；横截面上的内力Ｄ（ ）和杆端力 向量Ｐ可以建立直接的关系 Ｄ（ｚ）一６（ ）Ｐ （１） 式中：６（ｚ）称为内力形函数，由力的平衡得到 厂１ Ｏ ０］ ６（ｚ）一ｌ０ Ｌ—ｚ一１ｊ 这个关系可以保证严格精确，这比传统的位移 形函数要优越 引． 由最小余能原理，由截面位移得到杆端位移的 公式 ｒｆ． ｑ—ｌ ６（ｚ） ｄ（ｘ）ｄｘ （２） 同理由截面柔度得到了杆单元的柔度 ｒ，． Ｆ—Ｉ （ｚ） ｆ（ｘ）ｂ（ｘ）ｄｘ （３） 式中：，（ｚ）为截面的柔度矩阵． 非线性迭代过程中，截面的残余变形为 ，．（ ）一ｆ（ｘ）ＤＲ（ｚ） （４） 式中：Ｄ （ｚ）为截面的不平衡力． 为了求得单元的不平衡力大小，沿杆长将截面 的残余变形积分得到杆端不平衡位移 ｒ￡． ｓ—Ｉ ６（ ） ，．（ ）（ｋ （５） Ｊ ０ 于是可以等效地得到单元的不平衡力 Ｒ—ＫＳ （６） ２基于位移形函数的梁柱单元理论 传统的基于位移形函数的梁柱单元理论联系的 是单元位移和截面位移之间的关系［４］． 以平面框架为例，设单元对应的位移向量ｇ一 ｆ ］』 ，杆件的刚度矩阵Ｋ；横截面上的位移ｄ（ｚ）和 ＬＩ ｊ 单元位移向量口可以建立直接的关系 式中： （ｚ）为截面的刚度矩阵． 为了求得单元的不平衡力大小，沿杆长将截面 的不平衡力积分得到单元不平衡力 Ｒ—Ｉ ｎ（ｚ） ＤＲ（ｚ）ｄｚ （１ｏ） 式中：Ｄ （－ｚ）为截面的不平衡力． ３两种单元理论的对比分析 由前面对上述两种梁柱单元的理论探讨，将其 进行对比可以看出，首先，基于力形函数的单元理论 是建立在严格坚实的理论基础上，而基于位移形函 数的单元理论则建立在较为粗糙的假定上，这决定 了两种梁柱单元的精度差别，即基于力形函数的单 元理论相比于基于位移形函数的单元更具精度优 势；其次，在不平衡力的求解过程中，基于位移形函 数的梁柱单元必须通过截面的不平衡位移来求解单 元的不平衡位移，从而间接求解单元的不平衡力；而 基于位移形函数的梁柱单元则可以直接通过截面的 不平衡力积分求得单元的不平衡力大小，从这个角 度可以看出，基于位移形函数的单元求解流程比基 于力形函数的单元更为简洁和高效． 上述两种单元理论有必要通过实际的计算实例 加以检验．根据上述理论，着手进行有限元软件的开 发工作，选取实例对上述两种单元理论进行对比分 析．分析过程中，迭代控制采用柱面弧长法进行［５］． ４柱面弧长法迭代 一般的迭代方程为 ＫＡｕ一 ｄ－Ｒ 式中：Ｋ为刚度矩阵， 为固定力矢量，Ｒ为不平衡 力，Ａｕ为位移增量， 为加载因子增量，后两者为 未知量． 令 ＫＡｕ—Ａ）Ｊ￣ＡｕＩ＋Ｋ△ Ⅱ 式中：Ｋ△ Ｉ一乒，ＫＡｕｎ—Ｒ，完全可以预先解出来， 于是Ａｕ可以由 来表示． 下面以柱面弧长法为例来求 ． 第５期 梁吉等：基于位移形函数和力形函数的梁柱单元理论对比研究 约束方程为 （ｕｋ＋Ａｕ）Ｔ（“ ＋Ａｕ）一（１， ）Ｔｌｆ 分别采用基于位移形函数和基于力形函数的单 元形式对上述结构进行推覆分析，结果见图２．图 中，ＤＢ表示基于位移的单元形式，ＦＢ表示基于力 形函数的单元形式，后面的数字表示每个杆件划分 的单元个数．可见，基于位移形函数的单元随着单元 数量的增加其精度逐渐提高，只有在单元数量较多 时（图中的ＤＢ１０）才达到与基于力形函数的单元计 于是有 ２Ａｕ Ｕ Ｊ—Ａｕ Ａｕ一０ 代入 ＫＡｕ—ＡＡＫＡｕＩ ＫＡｕｕ 得到关于 的二次方程： ｎ△ 。＋２．０ｂ ＋ｃ一０ ３个系数由下式确定， ｎ一（Ａｕ ） Ａｕ ｂ一（Ａｕ ） △ ＋（Ａｕ ）Ｔｄ ｃ一２．０（Ａｕ￣） ＋（ＡｕＩ）ＡｕＨ 于是可以得到 的２个值，当Ｋ的特征值全 为正值时，可以继续加载，取正值，否则取负值． ５计算实例分析 单层单跨混凝土平面框架，梁柱尺寸均相同．横 截面１００ ｍｉｎｘ １００ ｍｉｌｌ，上下各配１根１０ ｍｍ的钢 筋，长度１ ０００ ｍｍ；混凝土极限强度厂ｃ一３５ ＭＰａ； 钢筋强度，ｙ＝３００ ＭＰａ；钢筋极限应变ｅ 一０．００８． 材料采用的滞回关系如图ｌ所示．在一层顶部施加 水平推力进行单向推覆，计算基底剪力Ｐ和顶点位 移 的全过程曲线．自编有限元程序ＡＲＸ２，弹塑性 纤维模型的本构关系见图ｌ，图１ａ中钢筋的本构关 系不考虑强化． 仃ｌ ｌ ｛ ／ ’／ ／一＇／Ｅ ’ Ｅ ／ 。／ 夕 （ａ）钢筋的本构关系 ＣＹＩ ０ 一￡０ ￡Ｐ ￡ ￡ 混＿￡ （ｂ）混凝土的本构关系 图ｌ程序所采用的材料本构关系 Ｆｉｇ．１ Ｐｒｉｍｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｐｒｏｇｒａｍｓ 算结果类似的精度． Ｚ ＼ 之 图２两种单元的分析结果对比 Ｆｉｇ．．２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｎａｌｙｔｉｃ ｒｅｓｕｌｔｓｆｒｏｍｔｗｏ ｄｉｆ－ ｆｅｒｅｎｔ ｄｅｍｅｎｔｓ 需要着重指出的是，上述两种单元形式均采用 了相同的材料本构关系，在结构整体加载上采用了 相同的迭代方法，所不同的仅仅是单元形函数不同， 因此，计算的结果具有一定的可比性． 由于上述的计算中，两种单元形式的计算均回 避了单元内部的迭代循环，直接采用了在结构层次 上的迭代循环，因此计算所耗费的时间很大程度上 由结构的单元数量决定，因此，同样的计算精度下， 基于力形函数的单元形式有明显的时间优势．上述 计算对比表明在混凝土结构中也有类似于Ｍ．Ｂａｒ— ｂａｔｏ和Ｊ．Ｐ．Ｃｏｎｔｅ等人选取钢结构进行对比计算 结论 可以看到，两种单元形式的计算结果即使采取 了增加单元数量的方法来提高精度，但是在临近极 限荷载附近，结构的非线性得到高度充分的发展，此 时两者的计算结果仍然存在一定差别，这是由于这 两种单元固有的形函数特性决定的［７］． ６结论 通过上述程序计算结果和实例的对比分析可 见，基于力形函数的梁柱单元的非线性受力全过程 优势明显． １）与基于位移形函数的梁柱单元理论相比，基 于力形函数的梁柱单元理论在处理截面和梁柱单元 时采用有限元柔度法（有精确成立的力形函数做基 兰州理工大学学报 第３４卷 础）进行，使得分析具有坚实的理论基础，但是单元 ｓｉｓ ｏｆ ＲＣ ｍｅｍｂｅｒｓ，ｉｎｔｌ口］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９３，１（１）：１７—３０ 不平衡力的求解则较为繁琐． ２）计算实例表明，在相同的单元数量的前提 下，基于位移形函数的梁柱单元计算精度比基于力 形函数的梁柱单元要差很多．因此，要提高非线性有 、［２］ 吕西林，金国芳，吴晓涵．钢筋混凝土结构非线性有限元理论与 应用［Ｍ］．上海：同济大学出版社，１９９６． ［３］顾祥林，孙飞飞．混凝土结构的计算机仿真［Ｍ］．上海：同济大 学出版社，２００２． 限元的计算精度，须增大基于位移形函数的梁柱单 元数量． ３）柱面弧长法为全过程的分析提供了良好的 平台，但步长的选择、计算的稳定性则有待进一步加 ［４］黄宗明，陈滔．基于有限单元柔度法和刚度法的非线性梁柱 单元比较研究口］．工程力学，２００３，２０（５）：２４—３１． ［５］伍永飞．钢筋混凝土框架结构静力非线性分析程序研制［Ｄ］． 上海：同济大学，２００７． ［６］ＢＡＲＢＡＴＯ Ｍ，ＣＯＮＴＥ Ｊ Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ 强． 基于力形函数的梁柱单元理论在钢筋混凝土结 构中有着广阔的应用前景，如何进一步对该理论进 行优化，使得分析结果更加精确有效将是今后要着 重研究的重点之一． 参考文献： ［１］ＬＩ Ｋ Ｎ，ＯＴＡＮＩ Ｓ Ｍｕｌｔｉ－ｓｐｒｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ３－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｎａｌｙ ａｎａｌｙｓｉｓ：ａ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｏｒｃｅ－ｂａｓｅｄ ａｎｄ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ－ ｂａｓｅｄ ｆｒａｍｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌｓ口］．Ｃｏｍｐｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１９４（１２）：１ ４７９—１ ５１２． ［７３方志，祝彦知，周宏字．一种梁柱非线性分析新方法［Ｊ］．应 用力学学报，２００５，２２（１）：１３９—１４２．