中考专题：垂直平分线与角平分线

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定

C理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等

mAD图1B（2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂C直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且

AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直

mAD图2B平分线上.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三AikOBj图3角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数

学表示：如图3，若直线i,j,k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与

C三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.

经典例题：

例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 针对性练习：

已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直

1

平分线交AB于点D，交BC于点 A E

E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D D，交BC于点

E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是

B A=28度，C 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠

那么∠EBC是

例2. 已知：如图所示，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。 针对性练习：

已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线

N

A O

B

C 例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小

为_______________。 针对性练习：

1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。

例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，

A求证：BD＝AC＋CD. 证明：

课堂练习：

1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）

图8DCBA.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，

如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC， 求证：AO⊥BC.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线 MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

课后作业：

1. 如图7，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点

ADE，△ACE的周长为50，求BC边的长.

2

B图7EC2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。

角平分线

知识要点详解

4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线性质定理的逆定理：

BDEFO图4CA角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.

6、关于三角形三条角平分线的定理：

DPOA图5BCA（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

RFIQE三边的距离相三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到等. B定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别

图6PDC是△ABC的内角

∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线 （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. F经典例题：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠ABP内一点，3

ACEPB=PC， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF

针对性练习：

已知：如图所示PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求

证：AE平分∠BAD. 课堂笔记：

针对性练习：

如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。

例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，

求证：AD＝CD.

AD1. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。 2. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于

______________。

BE图11-1C３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， AM平分∠DAB 。求证： M B=MC DA课后作业：

1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、点D，若BD=CD.

求证：AD平分∠BAC.

B图11-2F2. 如图所示，直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路，ADC个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选（ ）

A. 一处 B. 二处 DC三处 D. 四处 BE图11-3C

EMAB4

EBC的周交点，OE

CF相交于

现在要建一择的地址有

C.