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1-4 已知两个矢量场
求：矢量场
并证明在空间各点，解：依题意
的场矢量都与的场矢量垂直。
=
=
根据矢量垂直的定义，若与垂直必有
故
=
所以，在空间各点，总是与
垂直。
1-5 已知，求在柱坐标和球坐标中的表达式。
解：①若位于原点，则有
在柱坐标系中
=
=3cos+4sin
=
=5
==0
其中
在球坐标系中：
=
其中
其中
②若位于处,由柱坐标与直角坐标间的变换关系
坐标单位向量为此点的坐标单位向量
得:
其中
其中: 均为处的,即:
同理球坐标系中
其中
其中 均为 处的,即
1-6 已知= , , 2,
求：，，
解：，， 分别为在，， 上的投影。
， ， ，，，的单位矢量为：
1-7 球坐标中点的表示为(,,),已知(5,,),(4,,)。
求：，之间的距离及的单位矢量。
解：为求得两点间的距离，应先将换成直角坐标
：
同理 ：
两点间的距离为
=
的单位矢量为
=
=
=
1-9 已知标量场
（1） 指出过点（1，1，1）的等值面的形状。 （2） 求出这个等值面在该点的发线方向。
（3） 求出在该点沿方向的导数
解： （1） 等值面方程为：
为椭圆双曲面。
（2） 由梯度性质可知，梯度的方向与等值面垂直
所以 的方向即为法线方向
（3） 根据方向导数的计算式，可知
即为在方向的方向导数
1-10 广义正交坐标系中证明：
解：设广义坐标系的坐标变量为
坐标单位矢量为 长度系数为
则有：
将上式中U,V对调，则有
1-11 已知的夹角。 解：
的梯度为：
，求在（x=1,y=0,z=1）点处的值。指出与z轴
在（1，0，1）处，
所以
与 z轴的夹角为：
而
所以夹角为。
1-12 已知平面矢量场径积分值；
1） 由P1到P2的直线， 2） （1，2）
（2，2）
， 求沿下列路径由P1(1,2)到P2(2,4)的路
（2，4）的折线；
解：路径积分为：
对路径1，有y=2x，所以dy=2dx代入上式中，有
。
对于路径2，，
在段，y=2,dy=0,在段，x=2,dx=0
1-15 计算
解：
1-16 证明
，
其中，
坐标矢量运算。
，分别表示对（x,y,z）和的
=
=
=
=
思考与练习
1 对于任意的三个矢量,证明：
2 已知静电场强度求他们的电场强度。
等于竟电位的负梯度。即，对于下列电位场，
①
②
③
④
⑤
第二章 2-1 2-4 2-8 2-14 2-16 2-17 2-18 2-19 思考与练习
2-1 (1) 叙述库仑定律，并写出数学表达式。
(2)电荷之间的作用力满足牛顿第三定律吗？请给出证明。
解：（1）库仑定律内容为：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小，与它们的电量和
的乘积成正比，与它们之间距离
的平方成反比。作用力的方向沿两者连线的
方向。两点电荷同号时为斥力，异号时为吸力。
即：力。
，，是的矢径，是的矢径，是对的
：比例系数，在MKSA单位制中，
所以：
（2）电荷之间的作用力不满足牛顿第三定律，请看下面的例证：
以速度磁场
运动，q以速度
在
处
运动。如图1-2所示。此时，在处产生有电场和
。而
也产生电场和磁场。但因在处产生的磁场方向与平行。故由洛仑兹公式知，
q所受的力为
只有电场力。
但q1对q2的作用力为：
(N)
既有电场力，又有磁场力，所以两者不相等。
2-4 某材料含有个电子/米及同等数目的正离子。电子以
3
米/秒的平均速度朝一个方向
运动，正离子以10米/秒的平均
速度朝相反的方向运动，求电荷密度及电流密度。
解：因为材料中含有的电子和正离子是同数目的，所以，电荷密度=0库仑/米
3
因为电流方向被定义为正电荷运动方向，所以电流密度=
=
=
一个电子以
强度为
米/秒的速度平行于Z轴的正方向运动。若平行于X轴正方向加有一均匀磁场，
。问:如果要使
电子保持原来的运动状态。需再加一个什么样的电场？
解： 依题意有：
若使电子保持原来的运动状态，应使电子所受的外力——洛仑兹力为零。即：
所以
所以，为使电子保持原来的运动状态，应加一个电场：
2-8 已知总量为Q的电荷均匀分布在内半径为a，外半径为b的空心球上，求空间各处的电场强
度。
解：这是一个已知源的分布，求场的问题
因为电荷在空心球上均匀分布，所以，空心球上的电荷密度为
由积分形式的电场高斯定律：
取一个半径为的球面，当时，有有球对称性知，
当时
由球对称性知：
当时
由球对称性知：
于是，空间的电场分布为：
2-14 已知平面z=a和z=-a上有面电荷分布，电荷密度分别为和，这里是常数。求：
空间各处电场强度
。（提示：用迭加原理）
解：由迭加原理知，
该系统可等效于图1-(a)和1-(b)两系统的迭加，对系统Ⅰ和系统Ⅱ，由对称性知，系统只有z分量。
系统Ⅰ和系统Ⅱ均为无穷大带电平板。
我们知道，位于z=0处的无穷大带电平板在空间产生的场为：
对系统Ⅰ，其在空间产生的电场为：
对系统Ⅱ，在空间产生的电场为：
根据迭加原理，将迭加，便可求得原系统在空间产生的场为
2-16 已知半径为a的无限长导体圆柱，其中有一个半径为c的圆柱空洞。圆柱轴与空洞轴相距
为
，导体上带有沿轴向流动的均匀分布在导体界面上的恒定电流，电流强
。（提示 ：用迭加原理）
度为I0。求：空间的磁场强度
解：对于该系统，在不失一般性的情况下，为方便起见，我们建立如下的坐标系：以半径
为a的圆柱的轴线为z轴，且取x轴过圆柱及空洞轴。如图1-16-1所示。
用迭加原理求解：首先求出在具有空洞的圆柱上的体电流
。然后在空洞处补充一体电流密度为
和
的
电流圆柱。于是，可将原系统等效为如图1-16-2和
1-16-3所示的系统I和系统II。
（注意，本题不能补充的电流柱。因为这样做不可能将原系统分解成可用积分场定律
求解的分系统）。
依题意有：
下面我们分别求系统I和系统II 的场
系统I：由积分形式场定律
取一个半径为的环路c，它所围的平面面积为s。
当时，
为常矢，
由对称性知：
当时
由对称性知
写成直角坐标变量的形式，可得：
系统I的场为
对于系统II。只需将坐标系平移：-
。并将电流体密度换为
，便可用与系统I相同的求解方法求得：
系统总磁场
为：
即：
2-17 已知一个半径为R的无限长圆柱面，表面沿轴向有强度为
磁场分布
。
的均匀面电流。求：空间的
解：由于系统中所以修正的安培定律为
由于对称性知：关。
是与有关，与无无
取一个半径为的圆为积分回路c，它所
围的平面面积为s。
当时，
当时，
2-18 已知在
的电场分布
和。
之间的区域中，分布有均匀的、密度为的体电荷，求：空间各点
解：由电场高斯定律知首先将坐标系沿x方向平移至中，平移前后
坐标系间的关系为
在坐标系中，选高斯面为一个柱面，柱面的上下底与
柱
平面平行，且距
平面距离相等。为
下底面积大小均为S。
当
由对称性知
且
当
由对称性知：且
所以，总场为将坐标轴平移
2-19 已知一个半径为a的无限长圆柱体。在其上有沿轴向流动密度为
空间各点产生的磁场强度
。
的均匀体电流。求它在
解：无限长圆柱体内的电流密度为
由积分形式场定律知
取一个半径为的环路c,所围的平面面积为s。
当时，
为常矢
。
由对称性知
当时，
由对称性知：
系统在空间产生的磁场为
思考与练习
1 有两个互相平行的无限大金属平板。其上分别带有均匀分布的面电荷
距1cm,板间电压为
。试用电场高斯定律求出
。
和。已知两板相
2 对一个点电荷产生的静电场。如果有一个闭合曲面，它的侧面为顶点在点电荷所处在的圆锥面的一部分。两个端面分别是以点电荷
为球心的，半径为
和
的球
面的一部分。试证明，这个场在该曲面上满足电场高斯定律。
第三章 3-2 3-3 3-5 3-6 3-9
3-10 3-17 思考与练习
3-2 由（3-1）、（3-2）、（3-5）式导出（3-3）和（3-4）式。
解：（3-1）、（3-2）、（3-5）式分别为：
(3-3)式和（3-4）式为：
对（2）式两端求散：
由矢量公式：
所以
将第二项中关于时间的导数和空间的散度交换顺序
有
由（5）式知
所以 +
即：
所以
其中 C是与时间无关的常数.
因为上式对任意时刻t都应成立，我们可设在初始时刻=0，=0，则有c=0。
于是， 即式
如果对（1）式两端求散，即有：
由矢量恒等式，有
所以 =0
交换求导顺序，有
其中 C是与时间无关的常数.
因为上式对任意时刻t都应成立，设在初始时刻 。则有C=0
于是有 ，即为④式
3-3-3 已知导体内的电流与电场之间的关系是。其中为导体的电导率。试由（3-3）
式和（3-5）式证明，在=常数的导体内，不可能积累电荷，说明这个证明为什么在导体表
面不适用。
解：导体内电流和电场的关系为
（3-3）式为
（3-5）式为
将带入（3-5）式中，有：
因为=常数，所以可提到积分号外，于是有
=
所以有：=
将（3-3）式代入，有
满足上述方程的为
为t=0时的电荷密度
3-5 求下列电场的源分布
①
② （a为常数）
解：我们知道，电荷是静电场的通量源。由于两个电场均不存在奇异点。故可用电场高斯定律，
求得它们的源，即电荷的分布。
① (C/)
② (C/)
3-6 已知电场分布为
= (V/M)
求：(1) 空间的体电荷分布
(2)
(3) 系统的总电荷量
解：这是已知场的分布，求源的分布的问题。
（1） 由电场高斯定律，可求得空间的体电荷分布为
]
则有 (V/M)
(V/M)
所以
③ 系统的总电荷量
由于现在系统电荷只是分布于球面上的电荷，所以有
将η代入，可得 Q=0 (C)
所以，系统的净电荷量等于0。
3-9 两块无限大的理想导体平板分别放在x=0和x=d，板间电场为
求：①板间体电荷分布
②理想导体板内电场为0，在两板相对的两个面上的电荷分布是多少③画出板间电场分布示意图（场流图）
(C/)
解：板内的体电荷分布，可直接由电场高斯定律求
两板间的电场分布示意图如下图所示：
3-10 上题中，若板间电场为
，
其中，为常数，
求：①系统的体，面电荷密度；
②求出与给定的相关的磁场；
③系统的体，面电流密度。
解：依题意，系统示意图如图3-8所示，其中，板间电场为：
①系统的体电荷分布，可由电场高斯定律求得
面电荷分布，可有电场边界条件求得
②与的相关的磁场，可由法拉第电磁感应定律求得：
所以可求得
其中
于是有
③系统的体，面电流密度
体电流密度可由修正的安培定律求得。
面电流密度，可由磁场边界条件求得
在导体平板内，
在x=0处，
在x=d处，
3-17 试证明在一个与x 和y 无关的系统中，无散无旋的矢量场是一个均匀时变场。
证： 是无散无旋的矢量场
系统与x ,y无关
矢量场是一个只与时间有关，而与空间无关的场，即为一个均匀时变场。
思考与练习
1 已知空间磁场分布为：
（A/M）
求：空间的电流分布
2 已知空间的电流分布为
试用微分场定律求它产生的磁场分布，并用积分场定律验证。
第四章 4-2 4-5 4-7 4-8 4-13 4-16 4-18 4-20 4-24 4-26
4-2 由于，所以，若已知则可求。该结论是否正确？若已知，能否
求出？
解：该结论是错误的 ，因为电场反映了电位函数在空间的变化情况，故只有知道电位在空间的变
化函
数时，才可求出电场。而只知道某点处的电位值，是无法求出电位在空间的变化情况的。
正如
我们在数学中学到的，如果求函数在某点的导数值，应先对该函数求导，后将坐标值代入。即：
4-5 已知在面上有三个点电荷，求：
解：根据点电荷电位公式和场的叠加原理
4-7 对于图4-6所示的线电荷环，在下列两种情况下，求其轴线上的电位和电场分布：
（1） （常数）
(2)
解：系统示意图如图4-7-1所示。
这是一个已知空间电荷分布，求电
位与电场的问题。由于电荷是分布
在空间有限域内，所以，我们可以
用
来求解。首先看第一种情况
（1）
可求得
下面我们来求电场，我们已经讲过，用电位求电场时必须在知道电位的空间表达式时，由
求
得的电场才是正确的。下面我们分析一下，此时，能否用由求。
由对称性，我们可以知道， 的圆环在z轴上产生的电场只有z方向上的分量。而上面求得的
又
正好给出了电位在z轴上随z的全部变化关系，故可使用通过求得z轴上的电场来。
即：
时，z轴上的电位和电场分布为
下面再来看第二种情况。
（2）
不难求得
这个结果是不难理解的。由于此时，园环上的电
荷分布具有相对于yoz平面的奇对称性，所以，整个yoz
平面都是零等位面，显然，z轴的电位也应是等于零的。那么，z 轴上的电场呢？只需简单分析一下，便
会知道，在的半空间有负电荷分布，在的半空间有正电荷分布，显然，处电场应是指
向负x轴负方向的，而前面求得的只反映了在z轴方向电位保持常数。并未给出电位随x变化的关系，
因此，不能再用来由求了，那么，如何求z轴上的电场呢？方法有两种，一种是求
出空间任一点出的位函数，对求负梯度得到，进而得到z轴上的电位和电场。另一种方法是，直
接求带电园环在z轴上产生的电场。有兴趣的读者，可以练习用第一种方法求解，下面我们采用第二种方
法求解。首先在带电圆环点处取一微元dS,则其在z轴上产生的电场在z处为：
其中，为由点指向z点的单位矢径。r为P点到z点的距离。
由于z轴上的电场只有方向的分量，即
因此，我们只要计算就可以了。由坐标关系可知
所以，
4-8 长为4a的均匀线电荷，弯成正方形后，若电荷分布不变，求该正方形轴线上的电位和电场分布。
解 ：
设：电荷线密度
对于z轴来讲，各段所处的状况相同，所以，各段在P点产生的电位相等，
根据电位的叠加原理。
4-13 一个电阻器如图所示，其上有均匀的恒定电流流过，若各导体介电常数均为电阻横截面积为
,求：
(1) 电阻内的电位分布。
(2) 电阻两端的电压。
(3) 电荷分布。
电阻内的
解：如图所示，选择电流流动方向为x轴方向。且取左端J=∞的理想导体处为坐标原点
(1) 首先，应将各参量的单位变换成公制单位，即
电阻器中的电流密度为：
由导体中电流与电场的关系可知
所以
电位Φ可由求得，不妨取
求得不妨取则有
(2) 电阻器两端的电压为
（3） 电阻器内的电荷分布。首先我们看体电荷分布
由于三段导体内均为均匀场，所以，电阻器中的体电荷密度为0，即
而面电荷密度可由电场边界条件求得：
4-16 证明格林定理(4-110)和(4-111)两式.
解:格林第一公式为:
由高斯定理有:
由矢量公式:
有:
所以有:
格林第二公式为:
由当前所证知:
将上面两式相减,有:
证毕.
4-18 已知图所示正方形网格边缘各节点的电位（单位为V），求中间4节点上的电位Ｕ1，Ｕ2，Ｕ3和Ｕ4
（精确到0.1V）
解：根据平均值定理，可知
即：
首先由正方形网格边缘的电位值可知，由极位定理，网格的电位应≥1，故先任意一组零阶解，例如
选
由式（1）知：
如此继续下去，可求得：
u1→3(V)
u2=u3→4(V)
u4→5(V)
此题的精确解应为
u1=3(V)
u2=u3=4(V)
u4=5(V)
4-20 在距离地面50cm的地方，平行于地面放置了一条半径为10cm的无限长带电直导线，导线上每米带有
电量0.1C.
求：地面上方空气中的电位分布。
解：设无限长带电直导线的直径为２Ｒ，则应有：
２Ｒ＝１０cm或Ｒ＝5×10(m)
-2
b = 50 cm = 50×10(m)且λ0=0.1(C/M)
-2
显然，本题可以用镜象法来求解。镜象系统如图4-20（a）所示。由于此时带电直线的半径与其间距
离属于同数量级，故，应采用电轴法，求图4-20（a）系统在空间的场分布。
电轴法示意图如图4-20（b）所示。
首先，应求出等效线电荷的位量。
由讲义（4-170）式及（4-30）图可知
将b = 50×10(m), Ｒ＝5×10(m)代入，可得
-2
-2
d≈0.49(m)
于是，由无穷长线电荷在空间电位的分布可知，图4-20(b)的位于±d处的等效线电荷在空间产生的
电位为
由镜象法的规则知，该位函数在X＞０的空间适用．所以，地面上面空气中的电位分布为
4-24 有一个与周围绝缘的不带电导体球，若我们依次按下列步骤来做，请讨论球的电位和电荷分布的变化
①将一个点电荷由无穷远处移至球外某点。
②将球用导线与大地相连接。
③将导线拆除。
④将点电荷移回无穷远处。
答：设点电荷为+q，且导体球的存在不影响点电荷的分布。将一个点电荷由无穷处移至球外某点时，导体
球的电位上升，且为正。同时，在导体球靠近点电荷处，分布有负电荷，等量的正电荷在导体球处均
匀分布；当将球用导线与大地相连接时，导体球的电位为零，导体球的电位为零，导体球面上负电荷
分布不变，正电荷分布为零；将导线拆除时，电位仍为零，电荷分布不变，将点电荷移回无穷远处时，
电
位降为 负电荷分布均匀。
4-26 已知在x=0和x=d处放置两块无限大的理想导体板，中间充有电导率为
的导体，两平板间的电压为 Ｖ0(x=0处的板接地)。
求：板间导体内的电场分布。体电荷密度以及两板相对的面上的面电荷密度是多少（导体介电常数为
ε0）。
解：系统示意图如图所示，由于导体两边有电势差，因此，其间必有电流流动，设电流体密度为 ，
依题意系统是与时间无关的，因此，导体只能存在稳定电流，即应有 (J0为常数)
。由导体中电流和电场的关系，可知，导体中的电场为：
而我们已经知道，导体间的电流差为V0，所以由
可得
(1) 电场为
(2) 电荷体密度可由电场高斯定律求得为:
(3) 两板上的面电荷密度为:
/wEPDwUJLTY0MT 第五章 5-1 5-3 5-4 5-5 5-7 5-8 5-9 5-14
5-1．已知一条电流线如图所示。求0点的磁场强度H。
解： 这是一个已知空间电流分布，求磁场分布的问题。磁场强度可直接通过毕奥-沙瓦定律
求得。为方便起见，建立如图所示的坐标系。按照毕奥-沙瓦定律，有：
由图可知，可分为三部分：。
其中为
一段。
一段，为一段，为
于是可写为：
将本题条件代入，有
所以，Ｏ点的磁场强度为
5-3．有一条电流强度为人（A）的等边三角形恒定龟流线，求三角形重心处的磁场强度。
解：设：等边三角形的每条边长为２ａ，
经几何分析，等边三角形的重心处，
即为齐中心处（０，０，０），
１，
ＡＢ段：， ｘ＝ａ
ＢＣ段：，
ＣＡ段：，
根据毕奥-沙瓦定律：
２，分析： 由积分公式：
３，使用书中６．１．３ 例１结果，式（６－２８）
由积分公式：
有：
5-4．一条无限长的直线电流线，电流强度为，人是常数，周围是真空。
（1）用毕奥-沙瓦定律求出空间磁场强度的分布。
（2）若在它旁边有一矩形线框，线框有两边与电流线乎行，求与线框相交链的磁通量。
解：依题意，可建立如图所示的坐标系。
（１） 为求得无限长线电流产生的磁场，我们先讨论长为２ｌ的线电流产生的磁场。如图所示，
在长为２ｌ的线电流上，取电流元，该电流元在P点产生的磁场，可由毕奥-沙瓦
定律求得：
于是，2l长的线电流在P点产生的总磁场为：
其中，
将及代入中，可得：
将代入，
并由积分公式：
最后求得：
下面我们求当电流线为无穷长时，其在P点产生的磁场强度
此时，令,可得
(2) 设线框与电流线的相对位置如图6-4（b）所示。并取矩形线框的两个边长分别为a和b，到
电流线间的距离为l。则可建立图中所示的坐标系，并可求得与线框交链的磁道量为
所以，与线框交链的磁通量为
5-5．对于第2，能否用轴线上的磁矢位求出轴线上的磁场强度？为什么？如果你认为可以用轴
线上的磁矢位来求轴线上的磁场强度，请求出结果来。
解：由磁矢位的计算公式
可求得轴线上的磁矢位为：
故无法用轴线上的磁矢位求轴线上的磁场强度。
5-7．如图所示，为理想导体，理想导体内部。无限长的恒定电流线是沿方向流动的
（1）从边界条件导出在使用镜象法求x＜0区域中的磁场时的镜象电流。
（2）求出r＜o区域中的磁场强度，画出示意场图。
（3）求出面上的面电流密度。
解：
把系统分成两部分： I——空气域
II——理想导体域
边界条件为：
根据场的叠加原理，x=0处的场即为原电流源产生的场和它的镜像产生的场的叠加。由于
无限长线电流产生的场为
所以，
其中：
在x=0处，
由边界条件可知：
当 时，即可保证边界条件
在x<0的区域中，为分别产生的场的叠加
当x=0时
55
5-8 证明与和对应的磁场都是
。
请找出存在这一现象的电流体系，并加以解释。
解：
二维闭合矩形面电流和二维圆形面电流在x,y轴上产生的磁矢量位分别为。这说明，电流
源的分布不同，也能产生相同的场。
5-9 已知电流强度的总电流以面电流形式沿的圆锥面汇聚到圆锥面的顶点，
再沿 圆锥面流出去，电流分布与无关。请使用磁标位求出区域中的磁场
分布。
解：利用球坐标系
因为在求解区域中，，所以，，所以可以采用标量位法。根据叠加法，可以
把系统分成两部分。
边界条件（1）
边界条件（2）
由系统的对称性可知：无关。
取的形式为：
再根据边界条件：
5-14 己知磁偶极子 为常数）位于（0，0，1），求它对应的磁矢位及在远区的多
极子展开式的第一项是什么？如果只使用这一项，它的近似程度如何？
解：如果磁偶极子位于（0，0，0），则它所对应的磁矢位应为
则当磁偶极子位于 （0，0，1）时,
从第一次项可以看出，位于（0，0，1）的磁偶极子的磁矢位在远区的一阶近似仍为一
位于（0，0，0）的磁偶极子的磁矢位。
第六章 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-8 6-9 6-11 6-12 6-13 6-14 6-20 6-22 6-23 6-25 6-30 6-31
6-1 证明：若是拉普拉斯方程的解，则也是拉普拉斯方程的解。
证明：拉氏方程为：
即
是一个具有多重连续偏导的函数
上式=
同理可证：
6-2 试用上题的结论构造几个能满足拉普拉斯方程的解。
解： 由题5-25知：是拉普拉斯方程的解,则依5-19题的结论
及
均是拉普拉斯方程的解。
又如，由题5-7，可知
由5-21题的结论，有
均是拉普拉斯方程的
解。
6-3 用代入法证明：
解： 在球坐标中，拉氏方程为：
满足拉普拉斯方程。
当时，代入中
满足拉氏方程。
6-4 已知一个在z方向无限长的系统如图所示。两块半无界导体板在z轴是绝缘的，
常数,解：
。求：除去
之外的空区域的电位分布。
都是
首先我们看一下求解区域。此时因为求除去
，故
以外区域中的解，并考虑到
可取求解区域为 （取亦可）
在该区域内，因为没有电荷分布，故电位满足拉普拉斯方程下面考虑边界条件。依题意，边界条件为:
。
显然，对于这样的边界条件，我们可以选
为试探解。代入边界条件，
当时，
当时，
将上述两式联立，可求得：
所以本问题的电位解应为
6-5 由图5-7中，若已知：
求槽内的电位分布。
解：
这是一个给定边值的静电场问题。可以看出，整个系统是一个与z无关的二维系统，且在求解区域内，电位满足拉普拉阿斯方程，即
。系统的边界条件，可依题意直接写出：
B.C.
(1) x=0,,
(2) x=a,,
(3) y=0,,
(4)y=b, ,
下面，我们根据边界条件来选取试探解。首先我们看一下x方向上的两个边界条件。由于在x=0和x=a处，出现了两个电位零点。因此，根据直角坐标系中解的物理含义可知，此时应将x方向的解选为正弦形式。而y方向的边界条件表明，在y=0处，有一个电位的零点，故只能选双曲正弦函数。但当我们将解选为级数形式，
即 ：
为了求得系数即 y=b时，
，我们先要将扩展为以2a为周期的奇函数V(x).
由付氏级数的知识可得：
其中有
所以：
或
(V)
6-6 在图5-15中，若已知：
（V） （
求立方体内的电位和电场分布。
）
解：
在程
，，的区域中，电位无源，所以满足的方
在所讨论区域内的边界条件为：
采用直角坐标系中，因为x,y 方向均取正弦形，z方向有一个零点，z方向采用正曲函数形式。
而 ，
其中A为常数
z=c时，
6-8 已知区域V（0 , ,在处侧的电位分布为 ,，其余各面电0，求V的电位分布。 解： 在的区域内，电位无源，所以满足的方程。 边界条件为： , , , , , , , , , , , , , , , , , , 根据迭加原理，可以把系统分成两部分再迭加进行计算 （1） , , , , , , , , , , , , , , , , , , （2） , , , , , , , , , , , , , , , , , , 根据边界条件（1），可设 代入边界条件： 同理： 6-9 已知一个在z方向无限长的矩形域如图所示，yi已知 ， 其余三面电位为0。求矩形域内的电位和电场分布并画出示意图。 若域外电场为0，求各面上的面电荷密度以及各面在 z方向上长1米的尺寸上所带的电荷总量。 解：在的区域内，电位 无源，所以满足 的方程。 边界条件： 因为系统与z方向无关，所以可设： ，根据边界条件，则可设X(x)为的形式，因此，Y(y) 则设为的形式，考虑到y=b时，则Y(y)为的形式。 当y=0时， 面电荷密度分别为： 当时， 当时， 当时， 6-11 画出图5-6所示系统在例题给定的三种情况下的示意图。 解：根据例题中求得的结果有： 当（a） 时，电场分布为 (V/M) 电荷分布为： 根据电场及电荷分布，可得电场的场图如图5-8（a）所示。 （b） 当时，电场分布为 电荷分布为： 根据这样的电荷分布和电场分布，可知，在 别为 及 电位的极大极小值分 和0，而区域内，电位满足拉普拉斯方程，及根据电位极值定理知，区域内的电位 之间且对于x=0对称，故可得到如图5-8(b)所示的示意场图。 应界于0和 （c） 当时，区域内的电场分布为 电荷分布为： 此时，在及处，电位的极大极小值分别为和，根据电位极值定理知， 区域内的电位应界于和 之间且具有对于x=0反对称，故可得到如图5-8(c)所示的 示意场图。 注意：在图(b)(c)中电力线在出并不垂直于边界，而在y=0，d 处，必须垂直边界 这一点，大家可以从电场的表达式中看出。 6-12 图示为一二维空气域，已知y=0和y=b处为两块导体板， ,求矩形 域内的电位和电场分布。 解： 在所考虑区域内 ，电位无源，所以满足的方程。 利用迭加原理，可把系统分成两部分考虑。 因为系统与z无关，所以在直角坐标系中，可选择 根据边界条件（1）（2），则分别选择，为 6-13 在图5-16中，若已知 缝中得电位，电场分布，并求出 ,导体是接地的，求在此情况下， 两面上的面电荷密度。 解： 在所研究的区域内 电位无源 所以满足边界条件应为 的方程。 以边界条件可以看出，由于的函数形式没有给出，因而不可能用n为某一数值的 简单形式来满足边界条件，但是我们可以应用迭加原理，可知： 一定是拉氏方程的解，我们也可以看出， 满足除 处以外的边界条件，这样我们即有： 我们首先需要将在函数。将V 这一定义域中的V开拓为开拓成以2a为周期的奇函数形式。 定义域中的周期 即 ； 其中k=0, 6-14 对于图5-16，画出例题条件下和10题所给条件下的示意场图。指出两图的差别。 解：首先，我们讨论在例题条件下，求解域内的场图有例题可知，此时，在处加 的激励电压为 系统的边界条件，很容易写出，为 根据上述边界条件，可求得求解区域内的电位分布为 电场分布为 根据上述电位，电场的表达式，不难看出，在 ，电场具有 处，电场只有分量，在 分量，除此之外，电场应同时具有x和y 分量。且在y=0处， 是个常值，所以，电力线在y=0处应均匀分布。故可得图5-11（a）所示的场 图。 如果，将边界条件换为不与导体接地。那么，可求得其边界条件应为： 6-20 已知在的平面上，面电荷分布为 求空 间中的电位和电场分布。画出示意场图，并指出可以在什么位置上放置导体平板而不改变原系统的场分布。由于整个空间除z=0的无穷大带电平板外，其余空间内无任何电荷分布，故我们可将空间分为两个部分： 区域I: 区域II: 图5-20 显然，这两个区域中，电位满足拉普拉斯方程。故我们可以在拉氏方程解族中选解. 下面我们来看看系统的边界条件. z=0处 ，， z=0 ,, ,, ,, 根据上述边界条件，可将试探解选为： 代入边界条件可解得： A1=A2= 所以，系统的位函数为： 电场为： 下面我们对上面的结果作一下简单的讨论。 当时，上面的解就是的无穷大带电平板的解，即： 但当我们将这个条件代入位函数中时，会发现，显然这样的解是没有意义的。导致这一结果的原因，是因为在边界条件中，我们曾把无穷这点作为零点位的参考点，而事实上，对于无穷大带电平板来说，无穷远外已不能再作为零电位参考点了.所以应当采用另外的电位参考点，以保证有限空间中，电位不是无穷. 系统的示意图如图5-20(a)所示，图中我们只画了上半空间的场，下半空间的场与之是对称的.下面,我们来讨论,在什么位置上放置导体平板而不改变原系统的解.首先,我们知道,金属导体表面的边界条件应为: , 即：电场的切向分量为零. 所以,只要我们将金属平板放置在与平板相切的方向上和电场分量为零的点处,就不会改变原系统电位的边界条件.所以当金属平板沿着与X轴垂直的方向放置时，应有： 故将金属平板放在的平面上，将不会改变原系统的分布. 图6-20(a) 6-22. 在的球面上，分布有面电荷。已知面电荷密度为. 请计算系 统的总电荷量。并求出系统在空间产主的电位和电场分布。试画出系统的示意图。 系统如图所示，为方便起见我们把球心作为坐标系的原点，可求得系统的总电荷量为： 可见，系统的净电荷量不等于零。为了求得该系统的位函数解，首先我们看一下系统位函数满足的方程。显然 带电球面将空间分为两个部分： 区域I: ，区域II: , 且在这两个区域中，因无电荷分布，所以电位满足拉普拉斯方程。下面我们写出系统的边界条件： 由边界条件3可知，位函数随按的规律变化，故可选解为 。但应注意的一点是，由解 的物理意义可知对坐标系中 的拉普拉斯方程解对应于电多极子的场解，其对应系统的净电 荷量等于零。而当系统的净电荷量不为零时，解中必须含有平凡解电位随 项，本题中，一方面， 而变，另一方面，系统的净电荷量不为零，所以，我们可以选解为： 除这种方法外，我们还可以采用迭加原理求解（1） 使用迭加原理 依题，可将该系统化为两个系统的迭加：如下图所示 。下面我们分别用这两个方法解。 在系统I上， 球面上的面电荷密度为 在系统II上，球面上的面电荷密度为 对第一个系统，电流在区域I及II中均满足拉普拉斯方程 边界条件为 由于该系统的净电荷量 所以可选作试探解。 即： 代入B、C：可解得 所以位函数为： （V） 其电场为 对第二个系统，可写出其边界条件为： 由边界条件可以看出，这是一个只与所以可选平凡解 有关，与无关的系统。 作为试探解 即 ， 代入边界条件可解得：所以，位函数解为 将系统I与系统Ⅱ的解迭加，就可得到原系统的解答： 下面我们再用直接选解法求解 Φ 根据前面的分析，可将试探解选为 系统的边界条件： 2 代入边界条件后，可解得: 所以电流的解为 与前面方法中求得的结果有相同 以下过程得 系统的场图为：在球内，相当于一个四极子场球外，为一个四极子场和点电荷场的迭加 图6-22（B） 6-23．已知在 和 值应是多少。 的柱面上，由两边测量所得的电阻 解：表面上这是一个求电阻的问题，但我们知道，电阻等于电压与电流的比值，所以，为了求得该电阻器的电阻，我们可以先在加上一个电压 两边 ，然后求出此时导体 中的电流，这样可求出电阻值了，又因为总电流 的 又与其电场有关，即 ，现在 已知，所以应求解 ，而电阻器中 。这样看来，问题的实质仍 是求电场，下面我们来看看在具有恒定电流的系统中，电位应满足的方程。由于电流恒定，所以 ，而 于是便可导出 ，所以 ，可见， 只要 =常数，就应有 ， ，于是，我们把该电阻器按其电导率的情况，分为两部分： 我们可写出这个系统的边界条件为： 设 于是边界条件为： 时 这个条件是由边界上的电荷守恒定律导出的，在边界上有 于 均有限，所以 故有 ，即上面的条件。 ，由 这个条件也是由理 导出的，因为空间域中，故为上式，以下条件同 根据以上边界条件，可选解为： 即 代入边界条件，可求得： ∴电阻器中的电压分布为： 根据电位分布，便可求得电阻器中的电流分布： 电流强度 ∴电阻器的电阻为 6-25．图中所示的方形导体块在X方向无限长，在Z方向宽度为 b, 在X=0处加有电压 ,如图所示接有一个电压表。求当电压表的触点移动时，电压表的指示应 如何变化。画出导体块内的电位和电场示意图。计算在O到X的长度内，流入底板的电流强度值。 解: 该题实质上还是求电场分布的题目。 下面我们根据题目所给条件，分析一下此题。 因为，所以由 可得 又因为此时，所以，电导率为的导体内，电位是满足拉普拉斯方程的，所 以我们可以从拉普拉斯方程的解族中选取适当的试探解。 下面我们分析一下边界条件。直接从题中的已知条件，可写出： 下面我们来看看面上的边界条件，由于导体的电导率 有限，所以不会有面电流存 在，而且也不会有电流由导体中流到空气域中。所以，应有： 下面我们来看看当的边界条件，首先加在处的激励是分布在有限域中的， 又为一个零电位等位体，所以，这样的激励在产生的响应应该是趋于零的。 所以，边界条件可以写为时， 根据上面的边界条件，可把试探解选为： 可解得： 所以，电阻器中的电位分布为：当电压表触点在 面移动时， 的变化规律为： 所以电压表的指示应按指数律变化。 下面我们讨论电阻器中场的分布： 根据上述电位电场分布，可得系统的电位电场示意图为： 根据电场分布，可得其电流分布 为： 所以流入底板的电流强度为： 6-30．在图5一28中，若导体球的电位为,求系统的电位分布。 解：在I.、II.、III区域中，由于都不存在自由电荷。 根据场的迭加原理，我们可以把系统分成两部分： 根据边界条件（1），我们可以把的试探解写成： 即满足 拉普拉斯方程。 边界条件： 时， 时， 由边界条件（2），选定的试探解为： 由于系统与 无关，则 考虑到边界条件(2) 6-31．什么叫静电屏蔽？“理想导体球壳内的电荷，由于被球壳所屏蔽，在球外不产生电场。” 这个结论对吗？为什么？ 答：由于有封闭导电金属体的存在，而使内部静电厂和外部静电场隔离叫静电屏蔽。题中的结论是不正确的，因为理想导体球壳的存在，只能屏蔽应将球接地。 部分的场。要做到球外不产生电场 第七章7-1 7-7 7-9 7-1. 半径为a的永久极化物质的无限长圆柱，极化强度于空气中，求出全部极化电荷分布及系统的可求得极化电荷分布为： ， ，其中 为常数，该圆柱沿Z轴方向置 ，画出它们的示意场图。 柱内： ： 柱面将空间分为两个区域，I,II,如图所示，在这两个区域内均无电荷分布，故电位满足拉普拉斯方程即： ，下面写出系统的边界条件： 根据边界条件（3）可将试探解选为： 再考虑到边界条件（1）和（4），则应有 由B、C、（2）有： 由B、C、（3）有： 代入 中，可得到空间的电位分布为： 并可求得空间的电场的分布为： 电位移矢量为 根据E、D的结果，很容易得到7-7．半径为R导体球外为介电常数为球的最高电位解： 。 . 的均匀介质，已知介质的击穿电场为 ，求不产生电击时，导体 与球的半径有何关系？请以这个结论为依据解释避雷器的工作原理。 在时 当 当使用避雷针时，带电云和击穿空气与避雷针构成等位体，即与地球构成等位体，而地球的半径极大，所以不能再次击穿空气，从而安全。避雷针的工作原理如下： 由于避雷针的半径极小，所以当带电云接近建筑物时，同样的电场强度，则避雷针的耐压较低。（这也同样是由于避雷针与带电云间的距离较小），致使避雷针与带电云间的空气首先被击穿，电流通过避雷针入 地，从而保护了建筑物。 并可求得空间的电场的分布为： 电位移矢量为 根据E、D的结果，很容易得到 ， 及球面的电 7-9．一个点电荷q置于一个半径为R的介质球的球心，球外是空气，求系统的荷分布。 解：在I,II两个区域内，没有自由电荷存在，（，所以满足 则在I区，II区： 又因为系统是静态的，所以 ，所以满足 的方程 则边界条件为： 选用球坐标系，由系统的对称分布可知，系统函数与 ，参考电源场的形式，选 根据边界条件可知： 第八章8-1 8-5 8-7 8-1．三个点电荷 在真空中 （1） 分别置于（1，0，0），（-1，0，0）和（0，0，1）处， （2） 分别置于（系统的电场能。 解：根据点电荷系统储存的静电场能 公式（8－9），可得 ，0，0），（0。0。0）和（0， ，0）处，求两种情况下， 对于第一种情况： = ； = ； = ， = 对于第二种情况： （） = ； = = = ； =。（J） 在这两种情况下，三个点电荷的相应位置没有变化，所以系统的储能不变，这说明系统的储能只与储能中电荷的相应位置有关。 8－5。在两平行理想导电板中间的一半充满电导率为其余为空气。在 的均匀、线性导体块，如图所示， 处有一个电压源激励这个系统，保持板间各点的电场为 忽略 方向的所有变化及所有边缘效应（对于 方向的宽度 ），求： 矢量的简图； 储存的 板间磁场；矢量及功率损耗密度； 总电能和总磁能，损耗的总功率及电源供给的总功率。 解：（1）忽略方向的变化，及所有的边缘效应，即 依题意，板间有均匀电场，故在导体内，可求得体电流分布： ， 于是，在图示两区域中，磁场满足的旋度方程为： I 域： 由对称性不难得到 ; II 域： 带入 中，得 ，， 因为即 与 ，故可得 无关，故 为一均匀场， 将带入中，不难求得： ，， 由于，故， 可见，只是的函数，且 所以， 及 均可由边界条件确定。 ： 首先我们求系统内的总电流 在 边界条件为 处， ，这里 故可求得 在处，由边界条件：，这里 不难得到 ； 由处的边界条件：这里，不难得到， 故 ， 再由时 可得 C=0, 于是，磁场分布为： （2）玻印亭矢量为： （3） 功率上损耗密度：(3) 玻印亭矢量间图为： (4) 因为(5) 故 故总电能 同理，因为 故 所以 + =， 所以，总电能： ；总磁能：； 损耗的总功率： ； 电源供给的总功率为：。 ），外导体为理想导体， 8－7 同轴电缆的内导体用均匀、线性导电材料制成（电导率为 电缆的一端短路，另一端与直流电源联接（假定圆对称）求：（1） 两导体间空气域和内导体里的 和 场； （2） 电缆横截面上Poynting矢量的面积分； （3） 内导体上的Poynting矢量； （4） 进入单位长内导体的Poynting矢量的通量； （5） 单位长度上内导体消耗的功率。 解：（1）由于系统具有圆对称性，故系统与域中，电位满足拉普拉斯方程，即： 无关，但与 有关，在如图所示的两个区 Ⅰ：Ⅱ：此时由于 与 无关，与 ； 有关，故可将其试探巨解选为： 系统边界条件为： ① ③ ⑤ 有限；② ；④；⑥ ； ； ； ⑦ 由条件①知： 即 ； , ， ， 将边界条件代入：由②得： ; 由③得：由④得： 由⑤得：由⑥得： 由⑦ 得：自然满足。 ， , ， 从上述条件最终可解得： 中的电流为： 磁场可由安培环路定律求得： 由系统对称性及可知，具有分量： = ; 可解得： 由对称性知， 只有 分量。 ， 由边界条件： ， 可得： 即 ，，，， 。 （2）玻印亭矢量为： 电缆横截面玻截面玻印恒矢量的面积分为： = == = ； (3) 内导体中的玻印亭矢量： (4) (5) 进入单位内导体的玻印亭矢量的通量： = （6）单位长度上内导体消耗的功率： 。 第九章9-1 9-2 9-3 9-8 9－1用代入法验证（9－29）和（9－30）这一组解满足（9－2）和（9－3）式。 解：（9－29）和（9－30）式分别为： ； （9－2）和（9－3）分别为： 把（9－29）和（9－30）式分别代入（9－2）和（9－3）为： , -, = . , 由此可见，（9－29）和（9－30）式满足（9－2）和（9－3）。 9—2 导出（9－59）式 解：因 ， ， ， 。 将以上各式在处展开成的级数，即 , , 故 故 + 故 故故 ， ， 故， 故 故， ， 由（9-56）式可得： 故故 ， 故综合以上各式，可得： 。 9－3 导出（9－95）式 解：（9－55）式为：， 因 因由（9-92）式可知： ， 故 ， ， 与同理，， 故， 故 ， 故 因在板间闪设有，，故，故 因和 (这是因为)。即。 故故 ， ，同理，与的推导过程相同，可得， = 故， 故 故 故 9-8正方形平板电容器，边长为3cm.板间距为1mm，若使其中的磁场储能超过15%，它的工作频率应当是多少？ 解：因为板间距离d与板的边长相比远远的小，所以可以认为电磁场与板外的分布为零，且能量完全集中于板间部分。 因， ； 故 （其中= (T是场的周期) （度/秒） 第十章 10-4 10-7 10-8 10-10 10-21 10-23 10-4 已知空气中的均匀平面波的电场为： 求该波磁场 解： 于是由麦克斯韦方程，可得： 此时 所以 麦克斯韦方程简化为 ） （I） 及（II） 由（I）将代入可得： c为常量 由于我们是考虑的时变场，可令 c=0 于是 ）； （其中使用了 同理由（II）可得：于是磁场为： = 10-7 证明在自由空间中，磁场满足证：因为在自由空间中，自由电荷密度斯韦方程可简化为： 和自由电流密度都为零，所以麦克 对（2）式取旋度，则再代入（1）式，则 ， ； ； ； 。 10-8 证明在线性无源各项同性媒质中，磁场满足： ，其中 解：由场定律知 ， 令 有： 对该式两端求旋度：而 ， 所以 ， 其中 10-10已知一个平面波在空间某点的电场为：其中， ， ， 若此波为圆极化波，求为何值？ 解：可根据口极化波的定义去求，依题意有： ； 另 ； ； = 当 且 时则为口极化，有 即 最后可得 工程上，常用下面的简单方法求解： 其中， 根据口极化波的判据，若使此波为口极化波，应有 且和在相位上相差 即 所以= = or . 10-21 紫铜中，平面波的相移常数 长、相速和群速。 弧度/秒，试确定波的频率、波 解：紫铜为良导体，故 所以可知 ，波长 ； 相速 ；群速 。 10－23 设地球的 试问在什么频率上可将地球视 为理想电解质？在该频率上可以假设衰减因子为零吗？ 解： 均匀理想电解质的特性参数为：从已知条件看： 所以地球不是一个理想介质。 因 平面波的衰减因子 讨论： 当此式《〈1时，则 ， ， 故当 时，地球可视为理想电解质，此时衰减因子不为零。 第十一章 11-5 11-7 11-12 11-5自由空间中的均匀平面波正射到已知电介质的 处的一个无限大理想电介质平板上， 式中 为一常数。 ，且入射波电场为： 求： （1）这个波在空气中的波长、频率以及它在电介质中的波长和频率； （2）复数形式的入射磁场（3）求出 ； 处的反射系数； （4）求反射场和透射场； （5）在两个区域中，求总电场的时域表达式； （6）求两个区域内平均功率的表达式。 解：（1）由 可知 所以这个波在空气中的波长为 频率为 （弧/秒） 故 介质中的波长和频率为 介质中的频率等于自由空间的频率 ；（弧/米） （2）复数形式的入射磁场： 这是一个沿方向传播的均匀平面波，且入射场在 真空中传播。 故 （3） 处的反射系数和透射系数 由反射系数和透射系数公式可得 （3）反射场和透射场为 ， 其中 所以反射场为 ； ； 。 透射场为 （4）总场为部分： 部分： 且时域表达式为 （5）平均功率为 区域中： ； 故 ; 故 区域中：； 所以 故 11-7 频率的方向极化均匀平面波，在空气中正入射到一无损耗 ， 电介质平板，在它的背后放上一层理想导体板。电介质的且 厚为1米。 a) 空气与电介质分界面上的反射系数是多少 b) 在电介质外和电介质内，画出 随 变化的曲线； 解：； 设 ， 入射波： ； 反射波： ，透射波：； 反透射波： 根据边界条件： ① 在处， 故 ； ②在处 故 故 a), 在空气一介质分界面反射系数＝ 当介质厚度为2m时，空气一介质分界面反射系数，依据前面的步骤计算可得＝ b)图略 11－12 频率 间的交界面时，试求： a) 临界角 ； 的均匀平面波由媒质斜入射到自由空 b) 垂直极化平面波以c) 圆极化平面波以 入射时，求折射波的传播方向和它的相速入射时，反射波的极化状态怎样？ ； 解：由折射定律知，透射角因为 与入射角的关系为： 所以， 当入射角等于临界角时，时有, 所以， 故，限界角为； （2）时，即，折射波应正比于： 因为， 所以， （弧/米）， 所以， 可见，波的传播方向为方向，相速为： （1）如果入射波是极化平面波，且有：其中 ， 为与入射面垂直的单位矢量， ，则有，根据圆极化平面波的概念， 为与入射面平行的单位矢量， 不妨取 当上面的波入射到界面时，因为 ，所以垂直极化分量波全反射。由于 , 而： ， 故，，， 故， 故 而平行极化分量，由于此时，布鲁特角而 故不会发生全折射，反射系数为： 将代入可得 于是 比较和有：其间相位差： 由于，故不再是圆极化，而是椭圆极化了。 第十二章 12-6 12-7 12-6 在空气中有效长度为0.01λ的电偶极子，以相同频率用在净水中，设净水无限大，且电导率 ，估算天线在水中的辐射电阻。 解：依照题意，可知电偶极子的实际长度为：； 电磁波在水中的波长为： 因为 ，故 即在水中仍可视为电偶极子。 因电偶极子在空气中的辐射电阻为： ，其中 的辐射电阻。 为自由空间中电磁波 在水中，电磁波的辐射电阻为： 即：在水中的辐射电阻是空气中的将具体值代入。可求得： 倍。 ； 。 12－7 已知一个天线产生的磁场为：它的辐射电场和辐射场的 。 ，求 解：一天线产生的磁场为 求其辐射电场，即满足，所以，辐射场中只需保留一项，而可略去 一项，即，辐射场： 辐射电场可由场定律求得：，故 故 辐射电场为： 辐射场的复数被印亭矢量为： ; 当 时， 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容