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《第1章 全等三角形》
一、选择题
1．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断： ①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
4．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
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5．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（ ）
A．BE=CD B．BE＞CD
C．BE＜CD D．大小关系不确定
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④
8．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（ ） ①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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二、填空题
9．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 ．
10．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于 ．
11．如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号： ．
12．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论的序号都填上）
13．如图：在四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为 ．
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14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是 ．
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．
16．如图，小明为了测量河的宽度，他站在河边的点C，头顶为点D，面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A，然后他姿势不变，在原地方转了180°，正好看见了他所在的岸上的一块石头点B，他测出BC=30m，你能猜出河有多宽吗？说说理由．答： m．
17．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄．已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是 km．
18．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是 ． 三、解答题
19．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形，例如图①，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形分割成两个全等图形．
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20．已知：AD∥BC，AD=CB，AE=CF，请问∠B=∠D吗？为什么？
21．如图，已知：CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD=CE，BE交CD于点O．求证：AO平分∠BAC．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：CA是∠DCF的平分线．
24．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
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（1）请找出图2中与△ABE全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC⊥BE．
25．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请
说明理由．
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《第1章 全等三角形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【考点】全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．
【分析】首先由已知可求得∠OAD的度数，通过三角形全等及四边形的知识求出∠AEB的度数，然后其邻补角就可求出了．
【解答】解：∵在△AOD中，∠O=50°，∠D=35°， ∴∠OAD=180°﹣50°﹣35°=95°，
∵在△AOD与△BOC中，OA=OB，OC=OD，∠O=∠O， ∴△AOD≌△BOC， 故∠OBC=∠OAD=95°，
在四边形OBEA中，∠AEB=360°﹣∠OBC﹣∠OAD﹣∠O， =360°﹣95°﹣95°﹣50°， =120°，
又∵∠AEB+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣120°=60°． 故选：A．
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【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；解题过程中用到了三角形、四边形的内角和的知识，要根据题目的要求及已知条件的位置综合运用这些知识．
2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．PO B．PQ C．MO D．MQ 【考点】全等三角形的应用．
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
【解答】解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长， 故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起．
3．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断： ①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【考点】全等三角形的判定． 【专题】压轴题．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②． 【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
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∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确； ∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等， ∴△A1B1C1≌△A2B2C2 ∴②正确； 故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
4．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．
【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选B．
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【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
5．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】全等三角形的判定．
【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边． 【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD， 加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED； 加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED； 加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED； 加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等． 其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④ 故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．
6．如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（ ）
A．BE=CD B．BE＞CD
C．BE＜CD D．大小关系不确定
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
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【分析】由全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAC，从而得出BE=CD． 【解答】解：∵△ABD与△ACE均为正三角形 ∴BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60° ∴∠BAE=∠DAC ∴△BAE≌△DAC ∴BE=CD 故选A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④ 【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系．运用三角形全等的判定方法AAS或ASA判定全等的三角形． 【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE． ∴①△BCD≌△CBE （ASA）； ③△BDA≌△CEA （ASA）； ④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．
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故选D．
【点评】此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，难度不大．
8．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（ ） ①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线分线段成比例． 【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项． 【解答】解：
（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACE=∠BCD=120°， 在△BCD和△ACE中 ∵
∴△BCD≌△ACE
∴AE=BD，故结论①正确； （2）∵△BCD≌△ECA， ∴∠GAC=∠FBC，
又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC ∴△ACG≌△BCF， ∴AG=BF，故结论②正确；
（3）∠DCE=∠ABC=60°，∴DC∥AB，∴∵∠ACB=∠DEC=60°，∴DE∥AC，∴
=， ，
，
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∴，∴FG∥BE，故结论③正确；
（4）
过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z， 则∠CNE=∠CZD=90°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CDZ=∠CEN， 在△CDZ和△CEN中 ∵
，
∴△CDZ≌△CEN， ∴CZ=CN，
∵CN⊥AE，CZ⊥BD，
∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．
综上所述，四个结论均正确，故本题选D．
【点评】本题综合考查了全等、圆、相似、特殊三角形等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用． 二、填空题
9．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 利用三角形的稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
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【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
10．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于 70° ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】在△BCO中利用外角和定理求得∠DBE的度数，然后证明△ADO≌△BCO，求得∠D的度数，在△BED中利用内角和定理求解．
【解答】解：∠DBE=∠O+∠C=60°+25°=85°， ∵在△ADO和△BCO，
，
∴△ADO≌△BCO， ∴∠D=∠C=25°，
∴∠BED=180°﹣∠D﹣∠DBE=180°﹣25°﹣85°=70°． 故答案是：70°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，正确证明△ADO≌△BCO是关键．
11．如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号： ①②④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【分析】要得到OP=OP′就要证明两三角形全等，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，于是答案可得．
【解答】解：①OCP=∠OCP′，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′； ②∠OPC=∠OP′C；符合AAS，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′； ④PP′⊥OC，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′； ③中给的条件是边边角，全等三角形判定中没有这个定理． 故填①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；转化为添加条件使三角形全等是正确解答本题的关键．
12．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是 ①②③ ．（将你认为正确的结论的序号都填上）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确．
【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF， ∴△ABE≌△ACF，
∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确； ∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM， ∴ACN≌△ABM，即结论③正确； ∵∠BAE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE﹣∠BAC，∠2=∠CAF﹣∠BAC， ∴∠1=∠2，即结论①正确； ∴△AEM≌△AFN， ∴AM=AN，∴CM=BN， ∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，
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∴题中正确的结论应该是①②③． 故答案为：①②③．
【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键．
13．如图：在四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积． 【专题】计算题．
【分析】可过点C作CF⊥DE，得出Rt△ADE≌Rt△DCF，得出线段之间的关系，进而将四边形的面积转化为矩形BCFE的面积与2个△CDF的面积，通过线段之间的转化，即可得出结论． 【解答】解：过点C作CF⊥DE交DE于F，
∵AD=CD，∠ADE=90°﹣∠CDF=∠DCF，∠AED=∠DFC=90°， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE=CF=BE，
又四边形ABCD的面积为16，即S矩形BCFE+2S△CDF=16， 即BE•EF+2×CF•DF=16， BE•DE=BE•BE=16，解得DE=4． 故此题答案为4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，能够熟练掌握．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是 1 ．
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【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题．
【分析】根据AD⊥BC，CE⊥AB，得出∠ADB=∠AEH=90°，再根据∠BAD=∠BCE，利用AAS得到△HEA≌△BEC，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由HC=EC﹣EH代入计算即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠AEH=90°， ∵∠AHE=∠CHD， ∴∠BAD=∠BCE， ∵在△HEA和△BEC中，
，
∴△HEA≌△BEC（AAS）， ∴AE=EC=4，
则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1． 故答案为：1．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质，解题的关键是找出图中的全等三角形，并进行证明．
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= 3 cm．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【分析】根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC﹣CE，代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB=90°， ∴∠ECF+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B（等角的余角相等）， 在△FCE和△ABC中，∴△ABC≌△FEC（ASA）， ∴AC=EF，
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm， ∴AE=5﹣2=3cm． 故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．
16．如图，小明为了测量河的宽度，他站在河边的点C，头顶为点D，面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A，然后他姿势不变，在原地方转了180°，正好看见了他所在的岸上的一块石头点B，他测出BC=30m，你能猜出河有多宽吗？说说理由．答： 30 m．
，
【考点】全等三角形的应用． 【专题】应用题．
【分析】要转化为数学问题，须仔细读题，找出有用的已知条件，其中∠BDC=∠ADC是不易被发现的．
【解答】解：由题意知∠BCD=∠ACD=90°，CD=CD，∠BDC=∠ADC， ∴△BCD≌△ACD， ∴AC=BC=30m．
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故答案为：30．
【点评】解决本题的关键是条件∠BDC=∠ADC的找出，做题时要认真读题，理解题意，这是正确解题的保证．
17．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄．已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是 15 km．
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设AE=x，则BE=25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2=AD2+AE2=102+x2， 在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE=CE，
所以：102+x2=152+（25﹣x）2， 解得：x=15km．
所以，E应建在距A点15km处． 故答案为：15
【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
18．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是 1＜x＜6 ． 【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【解答】解：如图所示，AB=5，AC=7，
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设BC=2a，AD=x， 延长AD至E，使AD=DE， 在△BDE与△CDA中，
∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE， ∴△BDE≌△CDA， ∴AE=2x，BE=AC=7，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即7﹣5＜2x＜7+5， ∴1＜x＜6． 故答案为：1＜x＜6．
【点评】有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 三、解答题
19．（2008春•大丰市期末）如图，把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形，例如图①，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形分割成两个全等图形．
【考点】作图—应用与设计作图． 【专题】网格型．
【分析】利用正方形的对称轴和中心结合正方形的面积即可解决问题． 【解答】解：如图所示：
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【点评】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
20．已知：AD∥BC，AD=CB，AE=CF，请问∠B=∠D吗？为什么？
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠C，已知AD=BC，根据等式的性质得AF=CE，从而可根据SAS判定△DAF≌△BCE，根据全等三角形的对应角相等即可求证． 【解答】解：∠B=∠D．原因如下： ∵AD∥BC， ∴∠A=∠C． ∵AE=CF， ∴AF=CE． ∵AD=BC， ∴△DAF≌△BCE． ∴∠B=∠D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法及全等三角形的性质的理解及运用．
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21．如图，已知：CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD=CE，BE交CD于点O．求证：AO平分∠BAC．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】首先证得△BOD≌△COE，得到：BD=CE，然后证明Rt△AOD≌Rt△AOE，从而证得． 【解答】证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°， 又∵∠BOD=∠COE，BD=CE， ∴△BOD≌△COE ∴OD=OE
又由已知条件得△AOD和△AOE都是Rt△， 且OD=OE，OA=OA， ∴Rt△AOD≌Rt△AOE． ∴∠DAO=∠EAO， 即AO平分∠BAC．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定，可以通过全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】动点型．
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【分析】要证BE=DE，先证△ADC≌△ABC，再证△ADE≌△ABE即可． 【解答】解：相等． 证明如下：
在△ABC和△ADC中，
AB=AD，AC=AC（公共边）BC=DC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAE=∠BAE， 在△ADE和△ABE中， AB=AD，∠DAE=∠BAE，AE=AE， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， ∴BE=DE．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，利用全等得出结论证明三角形全等是常用的方法．
23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：CA是∠DCF的平分线．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】先证△ABF≌△CBF，得出AF=FC，利用等腰三角形的性质可知∠3=∠4，再利用平行线的性质可证出∠4=∠5，等量代换，可得：∠3=∠5．那么AC就是∠DCF的平分线． 【解答】证明：∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠1=∠2， 又AB=BC，BF=BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴FA=FC， ∴∠3=∠4， 又AF∥DC，
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∴∠4=∠5， ∴∠3=∠5，
∴CA是∠DCF的平分线．
【点评】本题考查了角平分线的性质、判定，全等三角形的判定和性质；找着并利用△ABF≌△CBF是正确解答题目的关键．
24．（2008•泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中与△ABE全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC⊥BE．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题．
【分析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD=∠ABE=45°，已知∠ACB=45°，所以可得到∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，即DC⊥BE． 【解答】（1）解：图2中△ACD≌△ABE． 证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°． ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE． 即∠BAE=∠CAD． ∵在△ABE与△ACD中，
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∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）证明：由（1）△ABE≌△ACD， 则∠ACD=∠ABE=45°． 又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°． ∴DC⊥BE．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．
25．（2008•河北）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请
说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质． 【专题】探究型．
【分析】（1）根据图形就可以猜想出结论．
（2）要证BQ=AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA=90°，只要证出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可证出． （3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．
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【解答】解：（1）AB=AP；AB⊥AP；
（2）BQ=AP；BQ⊥AP．
证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP， ∴∠EPF=45°． 又∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ=45°． ∴CQ=CP．
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中， BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP， ∴△BCQ≌△ACP（SAS）， ∴BQ=AP．
②如图，延长BQ交AP于点M． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠1=∠2．
∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4， ∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°． ∴∠QMA=90°． ∴BQ⊥AP；
（3）成立．
证明：①如图，∵∠EPF=45°， ∴∠CPQ=45°． 又∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ=45°． ∴CQ=CP．
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中， BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°， ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP． ∴BQ=AP．
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②如图③，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQC=∠APC．
∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°， 又∵∠CBQ=∠PBN， ∴∠APC+∠PBN=90°． ∴∠PNB=90°． ∴QB⊥AP．
【点评】证明两个线段相等可以转化为证明三角形全等的问题．证明垂直的问题可以转化为证明两直线所形成的角是直角来解决．
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