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一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）． 1．（3分）﹣5的倒数是（ ） A．﹣5
B．5
C． D． 2． （3分）据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（ ）A．37×105
B．3.7×105
C．3.7×106
D．0.37×107
3．（3分）下列运算正确的是（ ） A．3a+2a＝5a2 C．3a+3b＝3ab
B．2a2b﹣a2b＝a2b D．a5﹣a2＝a3
4．（3分）下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D． 5．（3分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（ ）
A．54° B．56° C．44°
，π，1.5，5，0，D．46°
六个数，从中任意抽取一张，卡6．（3分）在六张卡片上分别写有片上的数为无理数的概率是（ ） A． B． C． D． 7．（3分）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数是（ ） A．8
B．6
C．5
D．0
8．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时
间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A．C．＝＝ B．D．＝＝
9．（3分）下列命题中哪一个是假命题（ ） A．8的立方根是2
B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大 C．菱形的对角线相等且平分
D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于
点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
11．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a＞0）与x轴交于A、B两点，顶点为C点．以C点为圆心，半径为2画圆，点P在⊙C上，连接OP，若OP的最小值为3，则C点坐标是（ ）
A．（
，﹣）
D．（3，﹣4）
B．（4，﹣5） C．（3，﹣5）
12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数的图象过D点
和边BC的中点E，连接DE，若△CDE的面积是1，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
二、填空题（本部分共4小题，每小题3分，共12分，请将正确的答案填在答题卡上）． 13．（3分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
14．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（2，3），则C点坐标是 ．
15．（3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是 m（结果保留根号）；
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若BE＝3，则sin∠CFD的值为 ．
三、解答题（本大题共7题．其中17题5分，18题6分，19题7分，20题8分，21题8分，22题9分，23题9分，共52分）． 17．（5分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2．
19．（7分）某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他．随机调查了该校m名学生（每名学生必选且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，并请根据以上信息补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 度；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．20．（8分）如图，矩形ABCD对角线相交于O点，DE∥AC，CE∥BD，连接BE． （1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOD＝120°，CD＝2，求DE和tan∠DBE的值．
21．（8分）某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已
3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？ 22．（9分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，CD＝2，AD＝4，求直径AB的长；
（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．
23．（9分）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（3，0）、C三点． （1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ∥y轴交BC于Q点．请问是否存在 点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE． 若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
2019年广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）． 1．（3分）﹣5的倒数是（ ） A．﹣5
B．5
C． D． 【分析】根据倒数的定义可直接解答． 【解答】解：﹣5的倒数是﹣故选：D．
【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2． （3分）据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（ ）A．37×105
B．3.7×105
C．3.7×106
D．0.37×107
；
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于3700000人有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6． 【解答】解：3700000＝3.7×106， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 3．（3分）下列运算正确的是（ ） A．3a+2a＝5a2 C．3a+3b＝3ab
B．2a2b﹣a2b＝a2b D．a5﹣a2＝a3
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此解答即可．
【解答】解：A．原式＝5a，故A错误； B．原式＝a2b，故B正确；
C．3a与3b不是同类项，不能合并，故C错误； D．a5与a2不是同类项，不能合并，故D错误． 故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，正确理解同类项的意义是解题的关键． 4．（3分）下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（ ）
A．54° B．56° C．44° D．46°
【分析】先根据AB⊥BC，即可得到∠3＝90°﹣∠1＝54°．再根据a∥b，即可得出∠3＝∠2＝54°．
【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝36°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝54°． ∵a∥b，
∴∠3＝∠2＝54°． 故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键． 6．（3分）在六张卡片上分别写有，π，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵六张卡片上分别写有，π，1.5，5，0，．
六个数，无理数的是π， ，∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数是（ ） A．8
B．6
C．5
D．0
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：将数据从小到大排列为，0，1，2，5，6，6，8 中位数为5． 故选：C．
【点评】此题考查了平均数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到 小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A．＝ B．＝
C．＝ D．＝ 【分析】设原计划平均每天生产x台机器，根据题意可知现在每天生产（x+40）台机器， 而现在生产600台所需时间和原计划生产480台机器所用时间相等，从而列出方程即可．【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器， 根据题意得，故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产40台机器”这一个隐含条件，进而得出分式方程是解题关键． 9．（3分）下列命题中哪一个是假命题（ ） A．8的立方根是2
B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大 C．菱形的对角线相等且平分
D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、8的立方根是2，正确，是真命题；
B、在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大，正确，是真命题； C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；
D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题， 故选：C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识，难度不大．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于
＝．
点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据三角形ABD的面积公式列方程计算即可． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， ∵AB＝10，AC＝8，∠C＝90°， ∴BC＝6，
由基本尺规作图可知，BD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴可设DE＝DC＝x， ∴△ABD的面积＝即×10×x＝×AB×DE＝×AD×BC，
×（8﹣x）×6，
解得x＝3， 即CD＝3， 故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a＞0）与x轴交于A、B两点，顶点为C点．以C点为圆心，半径为2画圆，点P在⊙C上，连接OP，若OP的最小值为3，则C点坐
标是（ ）
A．（
，﹣） D．（3，﹣4）
B．（4，﹣5） C．（3，﹣5）
【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A、B、C三点的坐标，再由当点O、P、C三点共线时，OP取最小值为3，列出关于a的方程，即可求解． 【解答】解：∵y＝ax2﹣6ax+5a（a＞0）与x轴交于A、B两点， ∴A（1，0）、B（5，0），
∵y＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a， ∴顶点C（3，﹣4a），
当点O、P、C三点共线时，OP取最小值为3， ∴OC＝OP+2＝5， ∴∴a＝1， ∴C（3，﹣4）， 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．
12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数的图象过D点
＝5（a＞0），
和边BC的中点E，连接DE，若△CDE的面积是1，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【分析】设E的坐标是（m，n），k＝mn，则C的坐标是（m，2n），求得D的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn的值，即k的值． 【解答】解：设E的坐标是（m，n），k＝mn， 则C的坐标是（m，2n）， 在y＝中，令y＝2n，解得：x＝，
∵S△CDE＝1， ∴|n|•|m﹣|＝1，即n×＝1，
∴mn＝4． ∴k﹣4． 故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn表示出三角形的面积是关键．二、填空题（本部分共4小题，每小题3分，共12分，请将正确的答案填在答题卡上）． 13．（3分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ． 【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2； 故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（2，3），则C点坐标是 （﹣3，2） ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD＝∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝AD，CE＝OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可． 【解答】解：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，如图所示： ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝OC，∠AOC＝90°， ∴∠COE+∠AOD＝90°， 又∵∠OAD+∠AOD＝90°， ∴∠OAD＝∠COE， 在△AOD和△OCE中，∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE＝AD＝3，CE＝OD＝2， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为（﹣3，2）． 故答案为（﹣3，2）．
，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
15．（3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是 45 m（结果保留根号）；
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°， 则AB＝AD， 又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，CD＝45m． tan∠CDA＝tan30°＝解得：AD＝45∴AB＝45m．
．
是解＝，即＝，
（m），
故答案为：45【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA＝tan30°＝题关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若BE＝3，则sin∠CFD的值为 ．
【分析】由题意得：△BEF≌△DEF，故∠EDF＝∠B；由三角形的外角性质，即可解决．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵BE＝3，AB＝5 ∴AE＝2，
∵将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处， ∴△BEF≌△DEF
∴BE＝DE＝3，∠B＝∠EDF＝∠C ∵∠ADE+∠EDF＝∠C+∠DFC ∴∠ADE＝∠DFC ∴sin∠CFD＝sin∠ADE＝故答案为： 【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形外角性质等知识来解决问题．
三、解答题（本大题共7题．其中17题5分，18题6分，19题7分，20题8分，21题8分，22题9分，23题9分，共52分）． 17．（5分）计算：．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：＝2﹣1+4×＝1+2＝1
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2．
﹣2﹣2 【分析】这是个分式除法与加法混合运算题，运算顺序是先做括号内的加法；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，再代值计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝＝x﹣2，
当x＝2时，原式＝0．
【点评】考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 19．（7分）某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他．随机调查了该校m名学生（每名学生必选且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 50 ，n＝ 30 ，并请根据以上信息补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 72 度；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．【分析】（1）根据其他的人数和所占的百分比即可求得m的值，从而可以求得n的值，求得喜爱文学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据扇形统计图中的数据可以求得“艺术”所对应的扇形的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据可以估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书． 【解答】解：（1）m＝5÷10%＝50，n%＝15÷50＝30%， 文学有：50﹣10﹣15﹣5＝20， 补全的条形统计图如右图所示；
故答案为：50，30；
（2）由题意可得，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是：360°×故答案为：72；
（3）由题意可得，900×＝270，
＝72°，
即该校900名学生中有270名学生最喜欢科普类图书．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）如图，矩形ABCD对角线相交于O点，DE∥AC，CE∥BD，连接BE． （1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOD＝120°，CD＝2，求DE和tan∠DBE的值．
【分析】（1）根据菱形的判定证明即可；
（2）作EF⊥BD交BD延长线于点F，根据菱形的性质和三角函数解答即可． 【解答】解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形 ∵矩形ABCD，
∴OC＝OD，） ∴四边形OCED是菱形， （2）∵∠AOD＝120° ∴∠COD＝60° ∵菱形OCED ∴OC＝CE＝ED＝DO ∴△OCD、△CDE均为等边△ ∴OB＝OD＝DE＝CD＝2 作EF⊥BD交BD延长线于点F， ∵∠ODE＝60°+60°＝120° ∴∠EDF＝60° ∴DF＝1，EF＝∴tan∠DBE＝，
．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
21．（8分）某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？ 【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元．
根据题意得：解得：． ．
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元．
（2）设销售甲产品a万件，则销售乙产品（8﹣a）万件． 根据题意得：900a+600（8﹣a）≥5400． 解得：a≥2．
答：至少销售甲产品2万件．
【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
22．（9分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，CD＝2，AD＝4，求直径AB的长；
（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．
【分析】（1）连接OC，由OB＝OC知∠OCB＝∠B，结合∠DCA＝∠B得∠DCA＝∠OCB，再由AB是直径知∠ACB＝90°，据此可得∠DCA+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，从而得证；
（2）先利用勾股定理求得AC＝2，再证△ADC∽△ACB得＝ ，据此求解可得；
（3）连接BE，在AC上截取AF＝BC，连接EF．由AB是直径、∠DAB＝45°知∠AEB＝90°，据此得△AEB是等腰直角三角形，AE＝BE，再证△ECB≌△EFA得EF＝EC，
据此可知△FEC是等腰直角三角形，从而得出【解答】解：（1）如图1，连接OC．
，从而得证．
∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， ∵∠DCA＝∠B， ∴∠DCA＝∠OCB， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，即∠DCO＝90°， ∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AD⊥CD，CD＝2，AD＝4． ∴，
由（1）可知∠DCA＝∠B，∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴＝，即＝，
∴AB＝5，
（3）AC＝BC+EC，
如图2，连接BE，在AC上截取AF＝BC，连接EF．
∵AB是直径，∠DAB＝45°， ∴∠AEB＝90°，
∴△AEB是等腰直角三角形， ∴AE＝BE，
又∵∠EAC＝∠EBC， ∴△ECB≌△EFA（SAS）， ∴EF＝EC，
∵∠ACE＝∠ABE＝45°， ∴△FEC是等腰直角三角形， ∴∴，
．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理、切线的判定、相似三角形和全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质．
23．（9分）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（3，0）、C三点． （1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ∥y轴交BC于Q点．请问是否存在 点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE． 若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得抛物线的表达式；
（2）先求出直线BC的解析式，分三种情况：当PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB时，设P（a，﹣a2+4a﹣3），可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标；
（3）证得△ABE∽△ACB可得比例线段求出AE长，当△BDE∽△CEB时可求出D点坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：解得，
，
抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（a，﹣a2+4a﹣3），则Q（a，a﹣3），可分三种情况考虑： ①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称， ∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0， 解得：a＝2，a＝3（舍去）， ∴P（2，1），
②当PQ＝BQ时，（﹣a2+3a）2＝2（a﹣3）2， ∴，（舍去），a＝3（舍去），
∴P（，4），
③当PQ＝PB时，有（﹣a2+3a）2＝（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2， 整理得：a2＝1+（a﹣1）2， 解得a＝1． ∴P（1，0）．
综合以上可得P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），（3）∵△BDE∽△CEB， ∴∠ABE＝∠ACB， ∵∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB， 又∵∴∴∴， ， ，
，
；
∵DE∥BC，设D（m，0）， ∴，
∴，
∴∴，
．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质、利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及解方程是解题的关键．
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