2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—福建卷

一．选择题

1．若集合Px2x4,Qxx3,则PQ等于 （ ）

A.x3x4B.x3x4C.x2x3D.x2x3

2．复数32ii等于 （ ）

A.23iA.2B.B.23iC.2C.3C.23iD.23i

3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）

D.1 D.4

4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为 （ ）

A.1B.2 5．命题“x0,,xx0”的否定是 （ ）

3A.x,0.x3x0C.x00,.x0x0032B.x,0.x3x0D.x00,.x0x003

26．已知直线l过圆xy34的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是 （ ）

A.xy20B.xy20C.xy30D.xy30

7．将函数ysinx的图象向左平移是 （ ）

个单位，得到函数yfx的函数图象，则下列说法正确的2A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π

ππ

C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 D．y＝f(x)的图像关于点－，0对称

228．若函数ylogaxa0,且a1的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）

A． B． C． D．

3

9．要制作一个容积为4m，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）

A.80元B.120元C.160元D.240元

10．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则

OAOBOCOD等于 （ ）

AOM.B.2OM2C.3OM2D.4OM

xy70,1，设平面区域xy30,，若圆心C,且圆C与x

y011．已知圆C:xayb轴相切，则ab的最大值为 （ ）

22A.5B.29C.37D.49

12．在平面直角坐标系中，两点P“L-距离”定义为PP1x1,y1,P2x2,y2间的12x1x2y1y2.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值（大于F1F2）的点的轨迹可以是 （ ）

A B C D 二．填空题

13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________

14．在ABC中，A60,AC2,BC3,则AB等于_________

x22,x015．函数fx的零点个数是_________

2x6lnx,x016． 已知集合a,b,c0,1,2，且下列三个关系：a2b2c0有且只有一个正确，则

100a10bc等于________

三．解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 在等比数列{an}中，a2（Ⅰ）求an； （Ⅱ）设bn3,a581．

log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．（本小题满分12分） 已知函数（Ⅰ）求

f(x)2cosx(sinxcosx)． f(5)的值； 4（Ⅱ）求函数

f(x)的最小正周期及单调递增区间．

19．（本小题满分12分）

如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD,CDBD． （Ⅰ）求证：CD平面ABD；

（Ⅱ）若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．

20．（本小题满分12分）

根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位：美元) A 25% B 30% C 15% D 10% E 20% （Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准； 8000 4000 6000 3000 10 000 （Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率． 21．（本小题满分12分）

已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y3的距离小2．

3分别与直线l及y轴交于点M,N。以

MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线上运动（点P与

原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论． 22．（本小题满分12分） 已知函数为1．

（Ⅰ）求a的值及函数

f(x)exax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率

f(x)的极值；

2（Ⅱ）证明：当x0时，xex

x（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0,)时，恒有xce

参

一．选择题

1．A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A 2．B[解析] (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.

3．A[解析] 由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，则该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π，故选A.

4．B[解析] 当n＝1时，21>12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.

5．C[解析] “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C

6．D[解析] 由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.

又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D. ππ

7．D[解析] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)＝sinx＋的图像，即f(x)

22＝cos x．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x＝kπ(k∈Z)π

对称，关于点＋kπ，0(k∈Z)对称，故选D

28．B[解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.

选项A中的函数为y＝()，其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B.

4

9．C[解析] 设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4 m3，高为1 m．得另一边长为 m.

x

记容器的总造价为y元，则

4

x＋×1×10 y＝4×20＋2x4x＋ ＝80＋20x4≥80＋20×2x·

x

＝160，

4

当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．

x

因此，当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C

10．D[解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M是AC与BD的中点，即→→→→MA＝－MC，MB＝－MD.

→→→→→→→

在△OAC中，OA＋OC＝(OM＋MA)＋(OM＋MC)＝2OM.

→→→→→→→

在△OBD中，OB＋OD＝(OM＋MB)＋(OM＋MD)＝2OM，

→→→→→

所以OA＋OC＋OB＋OD＝4OM，故选D.

13x x＋y－7≤0，

11．C[解析] 作出不等式组x－y＋3≥0，表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C：

y≥0

x＋y－7＝0，

(x－a)＋(y－b)＝1的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C与x轴相切，得b＝1.解方程组

y＝1，

x＝6，得即直线x＋y－7＝0与直线y＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P. y＝1，

2

2

又点C∈Ω，则当点C与P重合时，a取得最大值， 所以，a2＋b2的最大值为62＋12＝37，故选C.

12．A[解析] 设M(x，y)是轨迹上任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，||MF1|＋|MF2||＝2a，其中a为常数，且a>c>0，

由“L－距离”定义，得

1

|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a，即|y|＝(2a－|x＋c|－|x－c|)，

2

x＋a，x<－c，



当y≥0时，y＝a－c，－c≤x－x＋a，x≥c，－x－a，x<－c，

当y<0时，y＝－a＋c，－c≤xx－a，x≥c.

则满足上述关系的图像只有选项A. 二．填空题

13． 0.18[解析] 设阴影部分的面积为S.随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可

能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即

S落在阴影部分中的豆子数180≈＝＝0.18， 1落在正方形中的豆子数1000所以可以估计阴影部分的面积为0.18

2sin 60°BCAC

14． 1[解析] 由＝，得sin B＝＝1，

sin Asin B3

即B＝90°，所以△ABC为以AB，BC为直角边的直角三角形， 则AB＝AC2－BC2＝22－（3）2＝1，即AB等于1 15． 2[解析] 当x≤0时，f(x)＝x2－2，

令x2－2＝0，得x＝2(舍)或x＝－2， 即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．

当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x， 令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.

作出函数y＝ln x与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图像，

则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一个零点． 综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.

16． 201[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．

(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．

(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．

则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201. 三．解答题：本大题共6小题，共74分． 17． (1)设{an}的公比为q，依题意得

a1q3a11，解得，因此，an3n1． 4a1q81q3（2）因为bnlog3ann1，

n(b1bn)n2n所以数列{bn}的前n项和Sn． 2218．解法一：（1）f(5555)2cos(sincos) 44442cos4(sincos)2 442sin(2x)1．

4（2）因为f(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x1所以T由2k2． 222x42k2,kZ，得k3xk,kZ， 88所以f(x)的单调递增区间为[k解法二：

3,k],kZ． 882因为f(x)2sinxcosx2cosxsin2xcos2x12sin(2x)1

4（1）f(511)2sin12sin12 4442 2（2）T由2k得k22x42k2,kZ，

3xk,kZ， 883,k],kZ． 88所以f(x)的单调递增区间为[k19．（1）∵AB平面BCD，CD平面BCD，∴ABCD． 又∵CDBD，ABBDB，

AB平面ABD，BD平面ABD，

∴CD平面ABD．

（2）由AB平面BCD，得ABBD． ∵ABBD1，∴SABD∵M是AD的中点， ∴SABM1． 211SABD． 24由（1）知，CD平面ABD， ∴三棱锥C-ABM的高hCD1， 因此三棱锥AMBC的体积

11VAMBCVCABMSABMh．

312

解法二： （1）同解法一．

（2）由AB平面BCD知，平面ABD平面BCD， 又平面ABD

平面BCD=BD，

如图，过点M作MNBD交BD于点N．

则MN平面BCD，且MN11AB， 22又CDBD,BDCD1，∴SBCD∴三棱锥AMBC的体积

1． 2VAMBCVABCDVMBCD111ABSBCDMNSBCD． 331220．（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为

80000.25a40000.30a60000.15a30000.10a100000.20a00

a因为00[4085,12616)，

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准． （2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E}共10个，

设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M， 则事件M包含的基本事件是：{A,C},{A,E},{C,E}，共3个， 所以所求概率为P(M)3． 1021．（1）设S(x,y)为曲线上任意一点，

依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等， 所以曲线是以点F(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线， 所以曲线的方程为x4y．

（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线的方程为y设P(x0,y0)(x00)，则y0212x， 412x0， 4由y'1x，得切线l的斜率ky'2xx01x0， 2所以切线l的方程为yy01112x0(xx0)，即yx0xx0． 224112yxxx010A(x0,0)． 由，得242y011216yx0xx0由24，得M(x0,3)．

2x0y3又N(0,3)，所以圆心C(x0半径r143,3)， x0113|MN||x0|， 24x011313|AB||AC|2r2[x0(x0)]232(x0)26．

24x04x0所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变．

解法二：

（1）设S(x,y)为曲线上任意一点， 则|y(3)|(x0)2(y1)22，

依题意，点S(x,y)只能在直线y3的上方，所以y3，

22所以(x0)(y1)y1，

化简得，曲线的方程为x4y． （2）同解法一．

22．（1）当xln2时，f(x)有极小值f(ln2)2ln4，f(x)无极大值． （2）见解析．（3）见解析． 解法一：

2（1）由f(x)exax，得f'(x)exa． 又f'(0)1a1，得a2． 所以f(x)ex2x，f'(x)ex2． 令f'(x)0，得xln2．

当xln2时，f'(x)0，f(x)单调递减； 当xln2时，f'(x)0，f(x)单调递增． 所以当xln2时，f(x)有极小值， 且极小值为f(ln2)eln22ln22ln4，

f(x)无极大值．

（2）令g(x)exx2，则g'(x)ex2x．

由（1）得，g'(x)f(x)f(ln2)2ln40，即g'(x)0． 所以g(x)在R上单调递增，又g(0)10， 所以当x0时，g(x)g(0)0，即xe． （3）对任意给定的正数c，取x02x2x1， c由（2）知，当x0时，xe． 所以当xx0时，exx21x，即xcex． cx因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0,)时，恒有xce． 解法二：（1）同解法一． （2）同解法一． （3）令kx1(k0)，要使不等式xcex成立，只要exkx成立． c而要使ekx成立，则只需xln(kx)，即xlnxlnk成立． ①若0k1，则lnk0，易知当x0时，xlnxlnxlnk成立． 即对任意c[1,)，取x00，当x(x0,)时，恒有xce．

'②若k1，令h(x)xlnxlnk，则h(x)1x1x1， xx所以当x1时，h(x)0，h(x)在(1,)内单调递增． 取x04k，

'h(x0)4kln(4k)lnk2(klnk)2(kln2)，

易知klnk，kln2，所以h(x0)0． 因此对任意c(0,1)，取x04x，当x(x0,)时，恒有xce． cx综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0,)时，恒有xce． 解法三：（1）同解法一． （2）同解法一．

（3）①若c1，取x00， 由（2）的证明过程知，e2x，

所以当x(x0,)时，有cee2xx，即xce． ②若0c1，

令h(x)cexx，则h'(x)cex1， 令h'(x)0得xln当xlnxxxx1． c1时，h'(x)0，h(x)单调递增． c2， c2c取x02lnh(x0)ce易知

2ln2ln2222(ln)， ccc22ln0，又h(x)在(x0,)内单调递增， ccx所以当x(x0,)时，恒有h(x)h(x0)0，即xce．

综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0,)时，恒有xce． 注：对c的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。

x