2016黑龙江林业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

考单招——上高职单招网 2016黑龙江林业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

一、选择题：本大题共10小题、每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A{x|1x(x1)2}，B{x|1xx1}，则p是q的 （ ）

A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充要条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 2．（理） z∈C，若|z|－z=2－4i，则A．1

B．－1

，

，

43i

的值是（ ） z

C．i

D．－ i

（文） 若tan100a，则用a表示sin40°的结果为 （ ） A．1

a4a(1a2)B．

(1a2)24a(a21)C．

(1a2)2D．11a2

3．已知直线l1、l2及平面，l1l2，l1//，则l2与的位置关系为 A．l2与相交，不垂直 C．l2

B．l2

（ ）

D．以上三种情况都有可能

4．若偶函数y=f（x）（xR）满足f（x+2）= f（x），且x∈（－1，0）时，

f(x)|x|，则函数y=f（x）的图象与函数ylog4|x|图象的交点的个数为 （ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

5．从单词“exclaim”中选取5个不同的字母排成一排，则含“ex”（“ex”相连且顺序不变）的概率为（ ） A．

2111 B． C． D． 21184327566．f’（x）是f（x）的导函数，f’（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）

考单招——上高职单招网

A B C D

7．路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以80m/min的速率从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为v为（ ） A．

28777 m/s B． m/s C． m/s D． m/s

24222375x4y308．已知点P（x，y）的坐标满足3x5y25，设A（6，0），则|OP|cosAOPx10（O为坐标原点）的最大值为（ ） A．3

B．5

C．4

D．1

9．过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为么这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 （ ） A．1

1，那2B．2

C．4

D．

12

x210．双曲线2y21(a1)的一个焦点为F，点P在双曲线上，且|OP||OF|（O为坐

a标原点），则△OPF的面积S＝（ ）

考单招——上高职单招网 A．1

B．

14

C．4

D．

12

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题。本大题共5小题，每小题5分。共25分。把答案填在题中横线上。 11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在A上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是。

13

12．在△ABC中，内角A满足sinAcosA0，且cotAcosA0，则A的取值范围是_________。

13．已知函数f（x）=|x2－2ax+b|（x∈R）。给出下列命题： ①f（x）必是偶函数；

②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于直线x=1对称； ③若a2－b≤0，则f（x）在区间[a，+∞]上是增函数； ④f（x）有最大值|a2－b|。 ⑤f（x）有最小值0。

其中正确命题的序号是_________。

考单招——上高职单招网 14．一烷烃起始物的分子结构式是，将其中的所有氢原子用甲基取代得到：

，再将其中的12个氢原子全部用甲基代换，如此循环以至无穷，球

形

烷烃分子由小到大成一系列，则在这个系列中，由小到大第n个分子中含有的碳原子的个数是_______。 15．（文）已知

naimniamam1Lan（其中m,nZ，且0mn），设

log2g(x2)(x1)i，函数f(x)log2g(x)，在x=1处有极限，则实数a的值g(x)xiCni0a(x1)是。

（理）已知

naimniamam1Lan（其中m,nZ，且0mn），设

log2g(x2)(x1)ii，在x=1处连续，则实数a的值是。 g(x)xCn，函数f(x)log2g(x)i0a(x1)

三、解答题。本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

已知三次函数f(x)x3ax在x[1,)单调递增。 （1）求实数a的取值范围。

1），c（cos2x，1），d2（1，2），当x[0，π]时，求不等式f（a·b）＞f（c·d）的解集．

（2）设向量a（－sinx，2），b（－2sinx，

考单招——上高职单招网

17．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC－A’B’C’中，CB⊥平面ABB’A’，点E是棱BC的中点，AB＝BC＝AA’。

（I）求证直线CA’//平面AB’E；

（II）（文）求二面角C－A’B’－B的大小； （理）求直线CA’与平面BB’C’C所成角的大小。

18．（本小题满分12分）

x2y2设椭圆221(ab0)的焦点分别为F1（－1，0）、F2（1，0），右准线l

ab交x轴于点A，且AF13AF2.

（Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值。

19．（本小题满分12分）

某大学的研究生入学考试有50人参加，其中英语与政治成绩采用5分制，设政治成绩为x，英语成绩为y，结果如下表：

考单招——上高职单招网 y 人数 x 1分 2分 3分 4分 5分 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1 英 语 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 政 治 b 0 a 3 （Ⅰ）求a +b的值；

（Ⅱ）求政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率；

（Ⅲ）（文）若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，求a、b的值；

（理）若y的数学期望为

20．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c是的图象经过原点，且在x=1处取得极值，直线

167，求a、b的值。 50y=2x+5到曲线y=f（x）在原点处的切线所成的夹角为450。

（1）求f（x）的解析式；

（2）若对于任意实数α和β恒有不等式| f（2sinα）―f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值；

（3）若g（x）=xf（x）+tx2+kx+s，是否存在常数t和k，使得对于任意实数s，

g（x）在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0（x0>1）使得g（x）在

[1，x0]上递减？若存在，求出t+ k的取值范围；若不存在，则说明理由。

考单招——上高职单招网

21．（14分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，bN，且a1b1a2b2a3。

（1）求a的值；

（2）若对于任意nN，总存在mN，使am33bn，求b的值； （3）在（2）中，记{cn}是所有{an}中满足am3bn，mN的项从小到大依次组成的数列，又记Sn为{cn}的前n项和，Tn是数列{an}的前n项和，求证：Sn≥Tn(nN)。

参考答案

一、选择题

1．选C。A{x|1x(x1)2}{1}，B{x|1xx1}={3}，AB，p是q的充分必要条件。

点评：本题主要考查集合、解不等式和充要条件的知识，以及分析问题和解决问题的能力。

2．（理）选C。设z=a+bi，|z|－z=2－4i，则a=3，b=－4，∴z=3－4i．

43i43iz34i(43i)(34i)

25i(43i)(43i)i。

25点评：本题主要考查复数的基本概念和基本运算，这是高考的常见题型，应注意把

握好难度。

考单招——上高职单招网 （文）选B．∵tan100a，∴cot10a，即tan101。 a2sin10ocos10o2tan10o2asin20 2o2o2o2sin10cos101tan101aocos210osin210o1tan210oa21cos20， 2o2o2o2sin10cos101tan101ao2aa214a(1a2)。 sin402sin20cos202()22221a1a(1a)ooo点评：本题主要考查同角的三角函数的化简和诱导公式。 3．选D。位置不确定。

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系，以及空间想象能力。 4．选C。函数yf(x)以2为周期，画出yf(x)的图象，数形结合。 点评：本题主要考查函数的周期和函数的图象，以及数形结合的思想。

3135．选A。从除e和x外，还有5个不同的字母， 含“ex”的排列数是C5C4A3，从755个不同的字母的排列数是C7A5，故含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为313C5C4A32。 55C7A521点评：本题主要考查古典概率问题及排列与组合的基础知识。 6．选D。由f(x)的图象可知，f(x)斜率先增大后减小。 点评：本题主要导数与函数的综合以及函数的单调性。

7．选A。如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB。设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，则∵BE∥CD，∴

ABBE。 ACCD

考单招——上高职单招网

∴

4y1.75，又80 m/min=1.4 m/s， 3yx87284x=t（x=t）。 25753∴y=

∵y′=

2828，∴人影长度的变化速率为m/s。 7575点评：本题主要考查有关射影知识和平面几何的相似比。

8．选B。|OP|cosAOP就是OP在OA上的射影，要求其最大值，就是求点P的横

x4y30坐标x的最大值，这只需作出3x5y25的平面区域，即可看出x－4y+3=0与

x103x+5y=25的交点（5，2）就是|OP|cosAOP取最大值时P点的位置。

点评：本题主要考查线形区域与平面向量的基本知识。 9．选C。设正三棱锥的高为h，底面正三角形的边长为

3131，h，2222h23。 323这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值=34。

1332点评：本题主要考查正三棱锥的有关知识和二面角的平面角的求法。

考单招——上高职单招网 10．选D。不妨设F为右焦点，则F(a21,0。由于|OP||OF|，所以点P在以原点

x22222为圆心，a1为半径的圆上，即xya1，联立2y21(a1)消去x得

a|y|1a21，SOPFa21121a211。 2点评：本题主要考查双曲线与直线、平面向量等基础知识，以及分析问题的能力。

二、填空题。 11．填y221x。过P点作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连PH，利用39三垂线定理可证PH⊥A1D1．设P（x，y），

∵|PH|2 － |PH|2 = 1，∴x2 +1－ [（x）2+y2]=1，化简得y21321x。 39点评：本题主要考查立体几何与解析几何的轨迹问题，这是高考命题的一个新趋势。

3，）。∵sinAcosA0，即sin(A)0，A，∴244443cosA(1sinA)0A0，cosA0，∴A，，又∵cotAcosA0，即

4sinA23∴A。 2412．填（

点评：本题主要考查同角的三角函数的化简，以及两角和的正弦公式的应用，和解三角不等式。

13．填③。当a2－b≤0时，f（x）=x2－2ax+b，图象的对称轴为x=a，开口向上，③对。

点评：本题主要考查二次函数的有关性质与绝对值等知识。

14．填2×3n－1－1。烷烃的通式为CnH2n2，设第n个分子中C原子个数为an，则an+1=an+2an+2，故an=3n－1（a1+1）－1=2×3n－1－1。

点评：本题主要考查数学与化学知识的综合，以及递推数列的通项的求法。 15．填2。∵g(x)xCii0nin(1x)n，∴g(x2)(3x)n，又

考单招——上高职单招网 log2g(x2)log2(x3)log2(x3)n alimlimlimx1x1log(x1)x1log(x1)nlog2g(x)22limlogx1(x3)log242。

x1点评：本题主要考查函数的极限以及组合的知识，以及分析问题和解决问题的能力。

三、解答题。

16．解析：（1）∵f(x)x3ax，∴f'(x)3x2a。

∵f(x)在x[1,)单调递增， ∴f'(x)3x2a0。 ∴3x2a在x[1,)恒成立， ∴a3。 （2） ∵f(x)在x[1,)单调递增，

∵ab(sinx，2)(2sinx，)2sin2x11，

12cd(cos2x，1)(1，2)cos2x21，

∴f(ab)f(cd)f(2sin2x1)f(cos2x1)2sin2x1cos2x2

1cos2x1cos2x22cos2x0cos2x0

2x2kπ3π，kZ。 2π3πx。 44π3πx}。 44∵0xπ，∴

综上：f(ab)f(cd)的解集是{x|点评：本题主要考查导数、函数、三角函数与平面向量等知识的综合，以及分析问题和解决问题的能力．平面向量与三角函数的综合，是近几年高考考试的热点，应引起足够的重视。

17．证明：（I）∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，CD⊥AD

考单招——上高职单招网

平面PAD 平面PAD

又

为正三角形，E为PD中点

平面PCD

6分

（II）（文）作PQ//AB且PQ＝AB，连QB、QC可得AD＝BC＝BQ＝AP＝DP＝CQ

平面PAD，所以

是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角

平面PAB与平面PDC所成二面角的大小为60° 分

（理）作

∴四边形AEFB是平行四边形，BF//AE

平面PDC 平面PDC

，则F为QC中点，连PF

12

考单招——上高职单招网 是BP与平面PDC所成的角

设PA＝a，则

则由直三角形PFB可得

，

。

，

直线PB与平面PDC所成角的大小为分

。 12

点评：本题主要考查立体几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。本题也可以采用向量法来处理。

18．解：（Ⅰ）由题意，|F1F2|2c2,A(a2,0), …………………2分

AF13AF2，F2F12AF2，

∴F2为AF1的三等分点。 ……………………………………………3分

a22c2(c)，a22,b21。

cx2y21.…………………………………………………5分 即椭圆方程为2b22， （Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，|DE|2a此时|MN|2a22，四边形DMEN的面积为

|DE||MN|2。

2|DE||MN|2。…6 分

2同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为

当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE∶yk(x1)，代入椭圆方程，消去

y得：(12k2)x24k2x(2k22)0.

考单招——上高职单招网 4k2xx2,2112k

设D(x1,y1),E(x2,y2),则2xx2k2,1212k222k21∴|x1x2|(x1x2)4x1x2， 22k1222(k21)∴|DE|k1|x1x2|， 212k21122(()21)22(21)kk同理，|MN|. ………………………8分 12212()12kk|DE||MN|122(k1)22212k222(∴四边形的面积S11)2k 212k12)2k，………………………………10分 12(k22)5k4(k22令uk14(2u)2,得S2 252u52uk12, k216，且S是以u为自变量的增函数， 92∵uk当k1时,u2,S∴

16S2。 916。………………12分 9综上可知，四边形DMEN面积的最大值为2，最小值为

考单招——上高职单招网 点评：本题主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。本题也可以采用向量法来处理。直线与圆锥曲线的位置关系问题是历年高考中经久不衰的重要题型，应复习到位，尤其是与平面向量的综合应引起足够的重视。

19．解：（Ⅰ）考生总人数是50，因此表中标出的总人数也应是50，所以a +b+47=50，

故a +b=50－47=3； ………………………………4分

（Ⅱ）从表中可以看出，“政治成绩为4分且英语成绩为3分”的考生人数为6人，所以其概率为

60.12． ………………………………8分 50（Ⅲ）（文）因为若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，

所以P（x=4，y=2）= P（x=4）·P（y=2），即

bab7b4， 505050解得： b=1，a=2． …………………………………12分 （理）由已知15b41515a81672345，解得：a=1，505050505050b=2。

………………………………12分

点评：本题主要考查概率与统计的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。概率与统计的应用题是经几年高考应用题的热点题形，应引起足够的重视。

20．解： （1）由题意有f（0）= c=0，fノ（x）=3 x2+2ax+b，且fノ（1）= 3+2a+b=0。

又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=fノ（0）= b，而直线y=2x+5到它所成的夹角为45°，

b―2

∴1=tan45°=，解得b=―3．代入3+2a+b=0得a=0。

1+2b

考单招——上高职单招网 故f（x）的解析式为f（x）=x3―3x。

（2）∵对于任意实数α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2]。 由fノ（

x）=3x2―3=3（x―1） （x+1）可知，f（x）在（－∞，―1]和[1，＋∞）

上递增；在[－1，1]递减。

又f（―2）= ―2，f（―1）=2，f（1）= ―2，f（2）=2， ∴f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2和2。 ∴对于任意实数α和β恒有| f（2sinα）―f（2sinβ）|≤4。 故m≥4，即m的最小值为4。

（3）∵g（x）=x（x3―3x）+tx2+kx+s= x4+（t―3）x2+kx+s，∴gノ（x）= 4 x3+2（t―3）x+k，

∴要使g（x）在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0（x0>1）使得g（x）在[1，x0]上递减，只需在[－3，―2]和[1，x0]上gノ（x）≤0，而在[－1，0]上gノ（x）≥0。

令h（x）= gノ（x），则hノ（x）= 12 x2+2（t―3），当t―3≥0时，hノ（x）在R上恒为非负，此时显然不存在这样的常数t和k，∴t―3<0。

当t―3<0时，g（x）在（－∞，―[―

3―t，―63―t]上递减。 63―t]和[63―t，+∞）上递增，而在6∴要使h（x）在[－3，―2]和[1，x0]上h（x）≤0，而在[－1，0]上h（x）≥0，只需h（―2）= ―32―4 （t―3）+k

h(―1)=―4―2 (t―3)+k≥0，

h(0)= k≥0，

h(1)= 4+2 (t―3)+k≤0，t<3，

h(―2)=―32―4 (t―3)+k≤0，

考单招——上高职单招网 2t―k―2≤0，即k≥0，

2t+k―2≤0，t<3，

作出可行域如图所示，由图可知，当直线t+ k=z过A点时z取得最大值5，当直线t+ k=z过B点时z取得最大值―5。

故存在这样的常数t和k，其取值范围为[－5，5]。

点评：本题主要考查解析几何、导数、函数及不等式的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。

21．解析：（1）∵aababa2b，a，bN，

4t―k+20≥0，

b1a，a1，abab,a1，b1b1∴ ∴ ∴ ∴．

2b2aba2b.a4aa2..b1b1∴a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）．∴a＝2． （2）am2(m1)b，bnb2n1，由am33bn可得

5(m1)b3b2n1．∴b(32n1m1)5．

∴b＝5。

（3）由（2）知an5n3，bn52n1， ∴ambn352n13． ∴Cn52n13． ∴Sn5(2n1)3n，Tn1n(5n1)． 2∵S1T12，S2T29． 当n≥3时，

考单招——上高职单招网 1111SnTn5[2nn2n1]5[(11)nn2n1]

2222111235[1CnCnCn)n2n1]

225[1nn(n1)121nn1]0． 222∴SnTn．

综上得SnTn(nN)．

点评：本题主要考查两个基本数列和不等式的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。解决本题第（1）小题的关键是利用条件a1b1a2b2a3确定a,b的值，

12123第（2）小题关键是利用二项式定理2n(11)n=1CnCnCnCn>1+Cn1nn(n1)(n3)进行放缩得到。有关数列和不等式的综合题经常出现在高考压2轴题中。