压杆稳定性计算

压杆稳定性的概念

在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。

当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷Fs (或抗压强度载荷Fb)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于Fs (或Fb)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。

图16－1

失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。

图16-3

所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。

第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。

第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。

第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。

图16-5

图16-6

通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a所示。当轴向压力F由小变大的过程中，可以观察到：

1)当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。若去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图16-6b所示。所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。

2)当压力值F2超过其一限度Fcr时，平衡状态的性质发生了质变。这时，只要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d所示。因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。

3)界于前二者之间，存在着一种临界状态。当压力值正好等于Fcr时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图16-6c所示。因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。

临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，用Fcr表示。

由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。

两端铰支细长压杆的临界力

图16-7a为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。

图16-7

根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转变为不稳定。在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。因此，可以认为能够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为临界力。

选取坐标系如图l6-7a所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图16-7b所示。由保留部分的平衡得

MxFcrv (a)

在式(a)中，轴向压力Fcr取绝对值。这样，在图示的坐标系中弯矩M与挠度v的符号总相反，故式(a)中加了一个负号。当杆内应力不超过材料比例极限时，根据挠曲线近似微分方程有

d2vdx2FvMxcrEIEI (b)

由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。因而，杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的I应该是横截面的最小惯性矩。令

k2FcrEI (c)

式（b）可改写为

d2vdx2k2v0 (d)

此微分方程的通解为

vC1sinkxC2coskx (e)

式中C1、C2为积分常数。由压杆两端铰支这一边界条件

x0，v0 (f) xl，v0 (g)

将式(f)代入式(e)，得C20，于是

vC1sinkx (h)

式(g)代入式(h)，有

C1sinkl0 (i)

在式(i)中，积分常数C1不能等于零，否则将使有v0，这意味着压杆处于直线平衡状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有

sinkl0 (j)

由式(j)解得klnn0，1，2，

k＝n (k) l则

k2n22l2FcrEI

或

Fcrn22EIl2 n0，1，2， (l)

因为n可取0，1，2，…中任一个整数，所以式(1)表明，使压杆保持曲线形态平衡的压力，在理论上是多值的。而这些压力中，使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界力。取n=0，没有意义，只能取n=1。于是得两端铰支细长压杆临界力公式

Fcr2EIl2 (16-1)

式(16-1)又称为欧拉公式。

在此临界力作用下，k＝，则式(h)可写成

lvC1sinxl (m)

可见，两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线。将x代入式(m)，可得压杆跨长中点处挠度，即压杆的最大挠度

vC1sinl2xll2lx2C1vmax

C1是任意微小位移值。C1之所以没有一个确定值，是因为式(b)中采用了挠曲线

的近似微分方程式。如果采用挠曲线的精确微分方程式，那么C1值便可以确定。这时可得到最大挠度vmax与压力F之间的理论关系，如图16-8的OAB曲线。此曲线表明，当压力小于临界力Fcr时, F与vmax之间的关系是直线OA，说明压杆一直保持直线平衡状态。当压力超过临界力Fcr时，压杆挠度急剧增加。C1

图 16-8

vmax

在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力F是轴向压力，压杆材料均匀连续。这是一种理想情况，称为理想压杆。但工程实际中的压杆并非如此。压杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也无法保证没有偏心，材料也经常有不均

匀或存在缺陷的情况。实际压杆的这些与理想压杆不符的因素，就相当于作用在杆件上的压力有一个微小的偏心距e。试验结果表明，实际压杆的F与vmax的关系如图16-8中的曲线OD表示，偏心距愈小，曲线OD愈靠近OAB。

不同杆端约束细长压杆的临界力

压杆临界力公式(16-1)是在两端铰支的情况下推导出来的。由推导过程可知，临界力与约束有关。约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束对临界力有影响。但是，不论杆端具有怎样的约束条件，都可以仿照两端铰支临界力的推导方法求得其相应的临界力计算公式，这里不详细讨论，仅用类比的方法导出几种常见约束条件下压杆的临界力计算公式。 一端固定另一端自由细长压杆的临界力

图16-9为—端固定另一端自由的压杆。当压杆处于临界状态时，它在曲线形式下保持平衡。将挠曲线AB对称于固定端A向下延长，如图中假想线所示。延长后挠曲线是一条半波正弦曲线，与本章第二节中两端铰支细长压杆的挠曲线一样。所以，对于—端固定另一端自由且长为l的压杆，其临界力等于两端铰支长为2l的压杆的临界力，即

Fcr2EI2l2

图16-9 图16-10 图16-11

两端固定细长压杆的临界力

在这种杆端约束条件下，挠曲线如图16-10所示。该曲线的两个拐点C和D分别在距上、下端为处。居于中间的长度内，挠曲续是半波正弦曲线。所以，对于两端固定且长为l的压杆，其临界力等于两端铰支长为的压杆的临界力，即

Fcrl2l4l22EIl22

一端固定另一端铰支细长压杆的临界力

在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图16-11所示。在距铰支端B为0.7l处，该曲线有一个拐点C。因此，在0.7l长度内，挠曲线是一条半波正弦曲线。所以，对于一端固定另一端铰支且长为l的压杆，其临界力等于两端铰支长为0.7l的压杆的临界力，即

Fcr2EI0.7l2

综上所述，只要引入相当长度的概念，将压杆的实际长度转化为相当长度，便可将任何杆端约束条件的临界力统一写

Fcr2EI l2 (16-2)

称为欧拉公式的一般形式。由式(16-2)可见，杆端约束对临界力的影响表现在系数上。称为长度系数， l为压杆的相当长度，表示把长为l的压杆折算成两端铰支压杆后的长度。几种常见约束情况下的长度系数列入表16-1中。

表 16-1 压杆的长度系数

压杆的约束条件 两端铰支 长度系数 =1 一端固定，另一端自由 两端固定 一端固定，另一端铰支 =2 =1/2 ≈ 表16-1中所列的只是几种典型情况，实际问题中压杆的约束情况可能更复杂，对于这些复杂约束的长度系数可以从有关设计手册中查得。

欧拉公式的适用范围 经验公式

临界应力和柔度

将式(16-2)的两端同时除以压杆横截面面积A，得到的应力称为压杆的临界应力cr，

crFcr2EI (a) A l2A引入截面的惯性半径i

i2IA (16-3)

将上式代入式(a)，得

cr 2E li2

若令

 li (16-4)

则有

cr2E2 (16-5) 式(16-5)就是计算压杆临界应力的公式，是欧拉公式的另一表达形式。式中，

 li称为压杆的柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺

寸和形状等因素对临界应力的影响。从式(16-5)可以看出，压杆的临界应力与柔度的平方成反比，柔度越大，则压杆的临界应力越低，压杆越容易失稳。因此，在压杆稳定问题中，柔度是一个很重要的参数。 欧拉公式的适用范围

在推导欧拉公式时，曾使用了弯曲时挠曲线近似微分方程式

d2vdx2Mx，而EI这个方程是建立在材料服从虎克定律基础上的。试验已证实，当临界应力不超过材树比例极限p时，由欧拉公式得到的理论曲线与试验曲线十分相符，而当临界应力超过p时，两条曲线随着柔度减小相差得越来越大(如图16-12所示)。这说明欧拉公式只有在临界应力不超过材料比例极限时才适用，即

图16-12

crE2EI或 (b)   p2P若用p表示对应于临界应力等于比例极限p时的柔度值，则

pEP （16-6）

p仅与压杆材料的弹性模量E和比例极限p有关。例如，对于常用的Q235钢，

E＝200GPa，p＝200MPa，代入式(16-6)，得

20010920010699.3

从以上分析可以看出：当p时，crp，这时才能应用欧拉公式来计算

压杆的临界力或临界应力。满足p的压杆称为细长杆或大柔度杆。 中柔度压杆的临界应力公式

在工程中常用的压杆，其柔度往往小于p。实验结果表明，这种压杆丧失承载能力的原因仍然是失稳。但此时临界应力cr已大于材料的比例极限p，欧拉公式已不适用，这是超过材料比例极限压杆的稳定问题。对于这类失稳问题，曾进行过许多理论和实验研究工作，得出理论分析的结果。但工程中对这类压杆的技算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式和抛物线公式。 1. 直线公式

把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。

crab (16-7)

式中a、b是与材料性质有关的系数,可以查相关手册得到。由式(16-7)可见，临界应力cr随着柔度的减小而增大。

必须指出，直线公式虽然是以p的压杆建立的，但绝不能认为凡是p的压杆都可以应用直线公式。因为当值很小时，按直线公式求得的临界应力较高，可能早已超过了材料的屈服强度s或抗压强度b，这是杆件强度条件所不允许的。因此，只有在临界应力 cr不超过屈服强度s (或抗压强度b)时，直线公式才能适用。若以塑性材料为例，它的应用条件可表示为

crabs或asb

若用s表示对应于s时的柔度值，则

sasb (16-8)

这里，柔度值s是直线公式成立时压杆柔度的最小值，它仅与材料有关。对Q235钢来说，s235MPa，a=304MPa，b1.12MPa。将这些数值代入式(16-8)，

得s30423561.6

1.12当压杆的柔度值满足sp条件时，临界应力用直线公式计算，这样的压杆被称为中柔度杆或中长杆。 2. 抛物线公式

把临界应力cr与柔度的关系表示为如下形式

crs1ac2 c (16-9) 式中s是材料的屈服强度，a是与材料性质有关的系数，c是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度，对低碳钢和低锰钢

cE0.57s (16-10)

小柔度压杆

当压杆的柔度满足s条件时，这样的压杆称为小柔度杆或短粗杆。实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度s(或抗压强度b)而发生破坏，破坏时很难观察到失稳现象。这说明小柔度杆是由于强度不足而引起破坏的，应当以材料的屈服强度或抗压强度作为极限应力，这属于第二章所研究的受压直杆的强度计算问题。若形式上也作为稳定问题来考虑，则可将材料的屈服强度s (或抗压强度b)看作临界应力cr，即

crs（或b）

临界应力总图

综上所述，压杆的临界应力随着压杆柔度变化情况可用图16-13的曲线表示，

该曲线是采用直线公式的临界应力总图，总图说明如下：

图16-13

1)当p时，是细长杆，存在材料比例极限内的稳定性问题，临界应力用欧拉公式计算。

2)当s（或b）<p时，是中长杆，存在超过比例极限的稳定问题，临界应力用直线公式计算。

3)当s（或b）时，是短粗杆，不存在稳定性问题，只有强度问题，临界应力就是屈服强度s或抗压强度b。

由图16-13还可以看到，随着柔度的增大，压杆的破坏性质由强度破坏逐渐向失稳破坏转化。

由式(16-5)和式(16-9)，可以绘出采用抛物线公式时的临界应力总图，如图16-14所示。

图16-14

压杆稳定性计算

从上节可知，对于不同柔度的压杆总可以计算出它的临界应力，将临界应力乘以压杆横截面面积，就得到临界力。值得注意的是，因为临界力是由压杆整体变形决定的，局部削弱(如开孔、槽等)对杆件整体变形影响很小，所以计算临界应力或临界力时可采用未削弱前的横截面面积A和惯性矩I。

压杆的临界力Fcr与压杆实际承受的轴向压力F之比值，为压杆的工作安全系数n，它应该不小于规定的稳定安全系数nst 。因此压杆的稳定性条件为

nFcrnst (16-11) F由稳定性条件便可对压杆稳定性进行计算，在工程中主要是稳定性校核。通常,nst规定得比强度安全系数高，原因是一些难以避免的因素(例如压杆的初弯曲、材料不均匀、压力偏心以及支座缺陷等)对压杆稳定性影响远远超过对强度的影响。

式(16-11)是用安全系数形式表示的稳定性条件，在工程中还可以用应力形式表示稳定性条件

Fst (a) A其中

stcrnst (b)

式中st为稳定许用应力。由于临界应力cr随压杆的柔度而变，而且对不同柔度的压杆又规定不同的稳定安全系数nst ，所以，st是柔度的函数。在某些结构设计中，常常把材料的强度许用应力乘以一个小于1的系数作为稳定许用应力st，即

st (c)

式中称为折减系数。因为st是柔度的函数，所以也是的函数，且总有

1。几种常用材料压杆的折减系数列于表16-3中，引入折减系数后，式(a)

可写为

F (16-12) A

例16-1 图16-15为—用20a工字钢制成的压杆，材料为Q235钢，E=200Mpa，

p=200MPa，压杆长度l=5m，F=200kN 。若nst=2，试校核压杆的稳定性。

图16-15

解 (1)计算 由附录中的型钢表查得

iy2.12cm，iz8.51cm，A=。压杆在

i最小的纵向平面内抗弯刚度最小，柔

度最大，临界应力将最小。因而压杆失稳一定发生在压杆max的纵向平面内

max liy0.552.12102117.9

(2)计算临界应力，校核稳定性

pE20010920010699.3

P因为maxp，此压杆属细长杆，要用欧拉公式来计算临界应力

cr2Emax22200103117.92MPa142MPa

FcrAcr35.5104142106N 504.110N504.1kN3

nFcr504.12.57nst F200所以此压杆稳定。

例16-2 如图16-16所示连杆，材料为Q235钢，其E=200MPa，p=200MPa，

s235MPa，承受轴向压力F=110kN。若nst=3，试校核连杆的稳定性。

图16-16

解 根据图16-16中连杆端部约束情况，在xy纵向平面内可视为两端铰支；在xz平面内可视为两端固定约束。又因压杆为矩形截面，所以IyIz。

根据上面的分析，首先应分别算出杆件在两个平面内的柔度，以判断此杆将在哪个平面内失稳，然后再根据柔度值选用相应的公式来计算临界力。

(1)计算

在xy纵向平面内，1，z轴为中性轴

izIzh6cm1.732cm A2323z liz19454.3 1.732在xz纵向平面内，0.5，y轴为中性轴

iyIyAb232.523cm0.722cm

y liy0.59062.3 0.722yz，maxy62.3。连杆若失稳必发生在xz纵向平面内。

(2)计算临界力，校核稳定性

pE20010920010699.3

Pmaxp,该连杆不属细长杆，不能用欧拉公式计算其临界力。这里采用直线公

式，查表16-2，Q235钢的a304MPa,b1.12MPa

sas30423561.6 b1.12smaxp，属中等杆，因此

crabmax3041.1262.3MPa234.2MPa

FcrAcr62.5104234.2103kN351.3kN

nstFcr351.33.2nst F110该连杆稳定。

例16-3 螺旋千斤顶如图16-17所示。起重丝杠内径d5.2cm，最大长度

l50cm。材料为

Q235钢，E=200GPa，s240MPa，千斤顶起重量F =100kN。若

nst＝，试校核丝杠的稳定性。

图16-17

解 (1) 计算

丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆

i d464dIA4 d44

 li4 l425077 d5.2(2)计算Fcr，校核稳定性

E200109c120

0.57s0.57240106c，采用抛物线公式计算临界应力

crs1ac227724010.43MPa197.5MPa 120FcrAcr5.221044197.5103kN419.5kN

nstFcr419.54.2nst F100千斤顶的丝杠稳定。

例16-4 某液压缸活塞杆承受轴向压力作用。已知活塞直径D65mm，油压p1.2MPa。活塞杆长度l1250mm，两端视为铰支，材料为碳钢，p220MPa，

E=210GPa。取nst解

(1) 计算Fcr

6，试设计活塞直径d。

活塞杆承受的轴向压力

F4D2p65104321.2106N3982N

活塞杆工作时不失稳所应具有的临界力值为

FcrnstF63982N23892N

(2)设计活塞杆直径

因为直径未知，无法求出活塞杆的柔度，不能判定用怎样的公式计算临界力。为此，在计算时可先按欧拉公式计算活塞杆直径，然后再检查是否满足欧拉公式

的条件Fcr42EIEl2d42 l26423892N

d64238921.2523210109m0.0246m

可取d25mm，然后检查是否满足欧拉公式的条件

 li4 l41250200 d25pEp21010922010697

由于p，所以用欧拉公式计算是正确的。

例16-5 简易吊车摇臂如图16-18所示，两端铰接的AB杆由钢管制成，材料为Q235钢，其强度许用应力140MPa，试校核AB杆的稳定性。

图16-18

解

(1) 求AB杆所受轴向压力，由平衡方程

Mc0，F1500sin302000FQ0

得

F53.3KN

(2) 计算

iI11D2d2502402mm16mm A44 li11500cos30108

16(3)校核稳定性

据108，查表16-3得折减系数0.55,稳定许用应力

stAB杆工作应力

0.55140MPa77MPa

F53.3103MPa75.4MPa

A5024021064

st,所以AB杆稳定。

例16－6 由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定，另一端铰支压杆的欧拉公式。

解

一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图16-19所示。为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反力F。于是挠曲线的微分方程为

Fcr

F

图16－19

d2vdx2FcrEIFvFM(x)cr(lx) EIEIEI设k2，则上式可写为

d2vdx2k2vF(lx) EI以上微分方程的通解为

vAsinkxBcoskxF(lx) Fcr由此求出v的一阶导数为

dvFAkcoskxBksinkx dxFcr压杆的边界条件为

x0时， v0, dv0 dxxl时， v0

把以上边界条件代入v及

dvdx中，可得

Fl0FcrF Ak0FcrAsinklBcoskl0B这是关于A,B和

FF的齐次线性方程组。因为A,B和不能都为零，所以FcrFcr其系数行列式应等于零，即

0k10l10 0sinklcoskl展开得

tgklkl

上式超越方程可用图解法求解。以kl为横坐标，作直线ykl和曲线ytgkl（图16－20），其第一个交点得横坐标Kl＝显然是满足超越方程得最小根。由此求得

图16－20

FcrkEI220.16EIl22EI(0.7l)2

提高压杆稳定性的措施

通过以上讨论可知，影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。因而，当讨论如何提高压杆的稳定件时，也应从这几方面入手。

1．选择合理截面形状

从欧拉公式可知，截面的惯性I越大，临界力Fcr越高。从经验公式可知。柔度越小，临界应力越高。由于 li，所以提高惯性半径i的数值就能减小

的数值。可见，在不增加压杆横截面面积的前提下，应尽可能把材料放在离截

面形心较远处，以取得较大的I和i，提高临界压力。例如空心圆环截面要比实心圆截面合理

如果压杆在过其主轴的两个纵向平面约束条件相同或相差不大，那么应采用圆形或正多边形截面；若约束不同，应采用对两个主形心轴惯性半径不等的截面形状，例如矩形截面或工字形截面，以使压杆在两个纵向平面内有相近的柔度值。这样，在两个相互垂直的主惯性纵向平面内有接近相同的稳定性。

2．尽量减小压杆长度

由式(16-4)可知，压杆的柔度与压杆的长度成正比。在结构允许的情况下，

应尽可能减小压杆的长度；甚至可改变结构布局，将压杆改为拉杆(如图16-21a所示的托架改成图16-21b的形式)等等。

图16-21

3．改善约束条件

从本章第三节的讨论看出，改变压杆的支座条件直接影响临界力的大小。例如长为l两端铰支的压杆，其1，Fcr2EIl2。若在这一压杆的中点增加一个中

l2间支座或者把两端改为固定端(图16-22)。则相当长度变为 l，临界力变为

Fcr2EIl2242EIl2

图16-22

可见临界力变为原来的四倍。一般说增加压杆的约束，使其更不容易发生弯曲变形，都可以提高压杆的稳定性。

4．合理选择材料

由欧拉公式(16-5)可知，临界应力与材料的弹性模量E有关。然而，由于各种钢材的弹性模量E大致相等，所以对于细长杆，选用优质钢材或低碳钢并无很大差别。对于中等杆,无论是根据经验公式或理论分析，都说明临界应力与材料的强度有关，优质钢材在—定程度上可以提高临界应力的数值。至于短粗杆，本来就是强度问题，选择优质钢材自然可以提高其强度。