偏微分数值解

一、 实验目的

1、 了解并掌握不同差分格式的稳定性； 2、 能够掌握比较不同差分格式数值效应的能力。 二、 实验问题

取a=1,2,4, h=0.1, 0.08,用以下几种差分格式求解对流方程

utaux01,x0u(0,x)f(x)0,x0

得t=4时数值结果。用图示说明算法的稳定性和间断点附近的计算效果，并进行相应的数值分析。

迎风格式(upwind):

1nnnunua(uujjj1j1)

Lax-friedrichs

1unj格式：

1n1nn(uj1un)a(uuj1j1j1) 22Lax-wendroff 格式：

un1j1122nnnnua(uj1uj1)a(uj12unujj1)

22nj修正迎风格式:

1nnundu(1d)ujjp1jp

这里p=[ a],d= a-[ a],/h0.8.为网格比，记

号[x]表示不超过x的最大整数。

三、 实验原理

首先取x[10,10]，t[0,4]。按照h=0.1, 0.08划分网格。

再由各种差分格式通过已知的第1层网格点数值可以求出第2层网格点的数值。以此类推，通过逐层的信息最终求得在第4层网格点数值结果。

注意：这里x，t的取值范围应当包含间断点。同时，在所需求的第4层也应当包含间断点。这点要求可以通过初始估算得出。 四、 实验过程

根据要求将网格中x划分为200格，t划分为50格。首先通过matlab构造一个大的零矩阵。然后分别利用差分格式代入并作图。

1、 取a=1

迎风格式(upwind):

Lax-friedrichs 格式：

Lax-wendroff 格式：

修正迎风格式：

2、 取a=2

迎风格式(upwind):

Lax-friedrichs 格式：

Lax-wendroff 格式：

修正迎风格式：

3、 取a=4

迎风格式(upwind)

Lax-friedrichs 格式：

Lax-wendroff 格式：

修正迎风格式：

五、 总结

1、 从以上的作图分析可以验证：当a1时，以上差分格式是

收敛的；当a1时，只有修正迎风格式是收敛的。这与理论相符。

2、 当a=1时，迎风格式在间断点附近从1迅速光滑的递减到

0；Lax-friedrichs格式在间断点附近从1迅速递减到0，但在途中有阶梯状；Lax-wendroff格式在间断点附近从1先小幅上升后再迅速光滑递减到0；修正迎风格式与迎风格式区别不大，都是在间断点附近从1迅速光滑的递减到0。

3、 当a=1,2,4时，修正迎风格式的间断点（0,0）分别按照特

征线方程变为第四层的（4,4），（8,4）和（16,4）。

4、 随着a的数值的不断变大，迎风格式（upwind），lax-friedrichs

格式，Lax-wendroff 格式的不稳定性越来越大。例如，当a=2时，Lax-friedrichs格式的最大偏差量级为10^8，当a=4时，Lax-friedrichs格式的最大偏差量级为10^23。 5、 在差分格式不稳定时，迎风格式相比其他格式的波动更大。