第13讲 指数及其运算

第13讲 指数及其运算

一【学习目标】

1.理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义；

2.掌握根式和分数指数幂的互化，并会进行相关运算。

二【知识梳理】

1.整数指数幂：

（1）正整数指数：a=

naaaan个，其中n是正整数；

（2）零指数：a= （ ）；

0（3）负整数指数：a= （ ）；

n（4）运算性质： ； ； ； .

2.根式：

（1）如果

xna(aR,n1,nN)，则x叫作 。求a的n次方根，

叫作把a开n次方.

1

nnxa(aR,n1,nN)xa； 注：当n为奇数时，

nnxa(a0,n1,nN)xa；0的任何次方根都为0. 当n为偶数时，

n式子a叫根式，当n为奇数时，aR；当n为偶数时，必需a0才有意义.

nn（2）结论：①当n为奇数时，aa；

a,a0anaa,a0（要注意分清n是偶数还是奇数) ②当n为偶数时，n22,口答下列各式的值：22,32,323,42,424,52

3453.分数指数幂：

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是a a0,m,nN,n1；

mn （2）正数的负分数指数幂的意义是amn a0,m,nN,n1．

4．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：

arasarsa0,r,sQarbsarsa0,b0,r,sQ（1）;（2）;

2

a（3）rsarsa0,r,sQab; （4）rarbra0,b0,rQ.

这样，指数的概念也就从整数指数扩展到了有理数指数，甚至还可扩展到实数指数，上述运算性质仍然适用.

三【典例精析】

例1．求下列各式的值：

（1）

38 （2）103242ab 3ab （3） （4）

4nn例2．已知ab0, n1,nN，化简：abab．

nn例3.化简：（1）

5xy;111115322xyxy462312mm12 （2）mm

1212a2（3）bb3aab3

例4.计算，注意体会有理数指数幂的的运算法则：

（1）(12132)(12116)(12)(12)(12)

181412 3

131326310()2(1.03)()2 3266（2）计算4四【过关精练】

一.选择题

1.下列运算正确的是（ ）

2332235235236(a)(a)(a)a(a)a(a)aA. B. C. D.

2.下列说法正确的是（ ）

A.-2是16的四次方根 B.正数的n次方根有两个

nnnaaC.的n次方根就是 D.aa

3.下列各式成立的是（ ）

1n377431233nm433xy(xy)4mA. B. C. D.73933 4.下列函数式中，满足fx2fx1的是( ) A.

fx11xxfxxx1fx2fx224 C. B. D.

5．某种细菌在培养过程中，每20分钟一次（一个为两个）。经过3个小时，

4

这种细菌由1个可繁殖成（ ）

A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个

二.填空题

6.计算：

（1）(0.027)231.5233(10)(8) = ；（2）= ；（3）= ；

12132625（4）= ； （5）= ； （6）4= ；

3162(ab)(ab)= . 81（7）= ； （8）3222xx2x1y6y90y7.已知，则= . 8.化简：

222520432(ab)(ab)(ab)= ； （1）

3aa（2）3923a73a13= .

三.解答题

5

12129.已知：aa2求下列各式的值

223344aaaaaa（1）； （2）； （3）.

xy1212121210.已知xy12,xy9，且xy，求xy的值。

6