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一．选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分) 1．一元二次方程2＝2的根是（ ） A．0
B．2
C．0和2
D．0和﹣2
2．如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．若关于的一元二次方程2﹣2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A．＞﹣1
B．＞﹣1且≠0
C．＜1
D．＜1且≠0
4．把抛物线y＝（+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（+2）2+2 B．y＝（+2）2﹣2 C．y＝2+2 D．y＝2﹣2
5．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形
OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3） 6．如图，反比例函数的取值范围是（ ）
B．（2，﹣3）
D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
和正比例函数y2＝2的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则
A．﹣1＜＜0 C．＜﹣1或0＜＜1
B．﹣1＜＜1 D．﹣1＜＜0或＞1
7．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．
D．
8．抛物线y＝a2+b+c（a≠0）中自变量和函数值y的部分对应值如下表：
… … ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 ﹣2 1 0 … … y ﹣ 从上表可知，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线与轴的一个交点为（﹣2，0）； ②抛物线与y轴的交点为（0，﹣2）； ③抛物线的对称轴是：＝1； ④在对称轴左侧，y随增大而增大． A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分) 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ ．
10．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从
盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个．
11．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意，可列出方程为 ．
12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3
于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2HB，BC＝5HB，则
的值为 ．
13．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点
C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则tan∠EGB等于 ．
14．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 个小正方体．
三．作图题(本题满分4分)
15．用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作围痕迹．
如图，已知∠α，线段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC＝∠α，边BC＝b．
四．解答题(本大题满分74分，共有9道小题) 16．（8分）解下列方程： （1）2﹣5+2＝0
（2）2（﹣3）2＝（﹣3）
17．（6分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
18．（6分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为∠α＝48°，∠β＝65°，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝33m．计算该信号发射塔顶端到地面的高度FG（结果精确到1m）．
（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
19．（6分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得
AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
20．（8分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF． （1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若∠AFB＝90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明．
22．（10分）某水果店销售某种水果，原每箱售价60元，每星期可卖200箱，为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价元，每星期的销售量为y箱． （1）求y与之间的函数关系式：
（2）当销售量不低于400箱时，每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
23．（10分）[归纳探究]
把长为n （n为正整数） 个单位的线段，切成长为1个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次？
我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 不妨假设最少能切m次，我们探究m与n之间的关系．
如图，当n＝1时，最少需要切0次，即m＝0．
如图，当n＝2时，从线段中间最少需要切1，即m＝1．
如图，当n＝3时，第一次切1个单位长的线段，第二次继续切剩余线段1个单位长即可，最少需要切2次，即m＝2．
如图，当n＝4时，第一次切成两根2个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切2次，即m＝2．
如图，当n＝5时，第一次切成2个单位长和3个单位长的线段．将两根线段适当调动重叠，
再切二次即可，最少需要切3次，即m＝3．
仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当n＝16时，所需最少切制次数的方法， 如此操作实验，可获得如下表格中的数据：
n m 1 0 2 1 3 2 4 2 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 10 4 11 4 12 4 13 4 14 4 15 4 当n＝1时，m＝0． 当1＜n≤2时，m＝1． 当2＜n≤4时，m＝2． 当4＜n≤8时，m＝3． 当8＜n≤16时，m＝ ． …
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围： 当n＝1180时，m＝ [类比探究]
由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法解决如下问题． 把边长n （n为正整数） 个单位的大正方形，切成边长为1个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次？
不妨假设最少能切m次，我们探究m与n之间的关系．
通过实验观察：
当n＝1时，从行的角度分析，最少需要切0次，从列的角度分析，最少需要切0次．最少共切0，即m＝0．
当n＝2时，从行的角度分析，最少需要切1次，从列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，当1＜n≤2时，m＝2．
当n＝3时，从行的角度分析，最少需要切2次，从列的角度分析，最少需要切2次，最少共
切4，当2＜n≤4时，m＝4． …
当n＝8时，从行的角度分析，最少需要切3次，从列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，当4＜n≤8时，m＝6． 当8＜n≤16时，m＝ …
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围： [拓广探究]
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问
题．
问题（1）：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次．
问题（2）：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次，
问题（3）：把棱长为n （n 为正整数） 个单位长的大正方体，切成边长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次． 请用m的代数式表示线段n的取值范围： ．
24．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝10．AC＝6．动点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q在线段DC上从点D出发沿DC 的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点P作PE⊥BC．交线段AB于点
E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，QE∥BC？
（2）设△PQE的面积为S，求出S与t的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积S最大？若存在，求出此时t的值； 若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使得点Q在线段EP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；
若不存在，请说明理由．
山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分) 1．一元二次方程2＝2的根是（ ） A．0
B．2
C．0和2
D．0和﹣2
【分析】根据一元二次方程的特点，用提公因式法解答． 【解答】解：移项得，2﹣2＝0， 因式分解得，（﹣2）＝0， 解得，1＝0，2＝2， 故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 2．如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．若关于的一元二次方程2﹣2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．＞﹣1 B．＞﹣1且≠0 C．＜1 D．＜1且≠0
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【解答】解：∵关于的一元二次方程2﹣2﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴
，即
，
解得＞﹣1且≠0． 故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键． 4．把抛物线y＝（+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（+2）2+2 B．y＝（+2）2﹣2 C．y＝2+2 D．y＝2﹣2
【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可． 【解答】解：抛物线y＝（+1）2的顶点坐标为（﹣1，0）， ∵向下平移2个单位， ∴纵坐标变为﹣2， ∵向右平移1个单位， ∴横坐标变为﹣1+1＝0，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2）， ∴所得到的抛物线是y＝2﹣2． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．
5．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形
OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3）
B．（2，﹣3）
D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′
C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6），即可求得答案． 【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的， ∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）． 故选：D．
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 6．如图，反比例函数的取值范围是（ ）
和正比例函数y2＝2的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则
A．﹣1＜＜0 B．﹣1＜＜1
C．＜﹣1或0＜＜1 D．﹣1＜＜0或＞1
【分析】易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可．
【解答】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为（1，﹣2），
由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值； ∴﹣1＜＜0或＞1，故选D．
【点评】用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；求自变量的取值范围应该从交点入手思考．
7．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．
D．
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出EC的长，即可求出三角形
AEC面积．
【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC， ∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°， ∴∠DAD′＝60°， ∴∠DAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACD＝30°，
∴AE＝CE，
在Rt△ADE中，设AE＝EC＝，则有DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝3﹣，
AD＝BC＝AB•tan30°＝×3＝， ）2，
根据勾股定理得：2＝（3﹣）2+（解得：＝2， ∴EC＝2，
则S△AEC＝EC•AD＝故选：D．
，
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
8．抛物线y＝a2+b+c（a≠0）中自变量和函数值y的部分对应值如下表：
… … ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 ﹣2 1 0 … … y ﹣ 从上表可知，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线与轴的一个交点为（﹣2，0）； ②抛物线与y轴的交点为（0，﹣2）； ③抛物线的对称轴是：＝1； ④在对称轴左侧，y随增大而增大． A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】③由点（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）在抛物线y＝a2+b+c上结合抛物线的对称性，即可得出抛物线的对称轴为直线＝﹣，结论③错误；①由抛物线的对称轴及抛物线与轴一个交点的坐标，即可得出抛物线与轴的另一交点为（﹣2，0），结论①正确；②根据表格中数据，即可找出抛物线与y轴的交点为（0，﹣2），结论②正确；④根据表格中数据结合抛物线的对称轴为直线＝﹣，即可得出在对称轴左侧，y随增大而减小，结论④错误．综上即可得出结论．
【解答】解：③∵点（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）在抛物线y＝a2+b+c上， ∴抛物线的对称轴为直线＝﹣，结论③错误； ①∵抛物线的对称轴为直线＝﹣， ∴当＝﹣2和＝1时，y值相同，
∴抛物线与轴的一个交点为（﹣2，0），结论①正确； ②∵点（0，﹣2）在抛物线y＝a2+b+c上，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣2），结论②正确； ④∵﹣＞﹣2＞﹣，抛物线的对称轴为直线＝﹣， ∴在对称轴左侧，y随增大而减小，结论④错误． 故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二．填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分) 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝
．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA＝＝知，可设a＝3，则c＝5，b＝4． ∴tanA＝＝
＝．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
10．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 15 个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【解答】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为＝0.6，
＝0.6，
设盒子中共有白球个，则解得：＝15， 故答案为：15．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
11．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意，可列出方程为 50（1+）+50（1+）2＝120 ．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为，根据“计划二、三月份共生产120台”，即可列出方程． 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为， 则二月份生产机器为：50（1+）， 三月份生产机器为：50（1+）2； 又知二、三月份共生产120台；
所以，可列方程：50（1+）+50（1+）2＝120． 故答案是：50（1+）+50（1+）2＝120．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3
于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2HB，BC＝5HB，则
的值为
．
【分析】求出AB：BC，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【解答】解：设BH＝a，则AH＝2a，BC＝5a，AB＝AH+BH＝3a，
∴AB：BC＝3a：5a＝3：5， ∵l1∥l2∥l3， ∴
＝
＝，
故答案为．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
13．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点
C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则tan∠EGB等于 ．
【分析】根据翻折的性质可得DF＝EF，设EF＝，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG，然后根据解直角三角形列式计算即可得解． 【解答】解：由翻折的性质得，DF＝EF， 设EF＝，则AF＝6﹣， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝×6＝3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， 即32+（6﹣）2＝2， 解得＝
，
＝，
∴AF＝6﹣
∵∠FEG＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠BEG＝90°，
∵∠AEF+∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠BEG， 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△AEF∽△BGE， ∴即
＝＝
， ，
解得BG＝4， ∴tan∠EGB＝． 故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出
△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质，求出△EBG的各边的长是解题的关键．
14．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 27 个小正方体．
【分析】留下靠墙的正方体，以及墙角处向外的一列正方体，依次数出搬走的小正方体的个数相加即可．
【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体； 第2列最多可以搬走8个小正方体； 第3列最多可以搬走3个小正方体； 第4列最多可以搬走5个小正方体； 第5列最多可以搬走2个小正方体．
9+8+3+5+2＝27个．
故最多可以搬走27个小正方体． 故答案为：27．
【点评】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是依次得出每列可以搬走小正方体最多的个数，难度较大． 三．作图题(本题满分4分)
15．用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作围痕迹．
如图，已知∠α，线段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC＝∠α，边BC＝b．
【分析】先作∠MBN＝∠α，再在BM和BN上分别截取BA＝b，BC＝b，然后分别一点A、C为圆心，b为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABCD满足条件． 【解答】解：如图，菱形ABCD为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 四．解答题(本大题满分74分，共有9道小题) 16．（8分）解下列方程： （1）2﹣5+2＝0
（2）2（﹣3）2＝（﹣3） 【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵a＝1、b＝﹣5，c＝2， ∴△＝25﹣4×1×2＝17＞0， 则＝
；
（2）∵2（﹣3）2﹣（﹣3）＝0， ∴（﹣3）（﹣6）＝0， 则﹣3＝0或﹣6＝0， 解得：＝3或＝6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
17．（6分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【解答】解：（1）根据题意，我们可以画出如下的树形图：
或者：根据题意，我们也可以列出下表：
小敏 哥哥 4 6 7 8 （4，2） （6，2） （7，2） （8，2） （4，3） （6，3） （7，3） （8，3） （4，5） （6，5） （7，5） （8，5） （4，9） （6，9） （7，9） （8，9） 2 3 5 9 从树形图（表）中可以看出，所有可能出现的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏看比赛的概率P（和为偶数）＝
＝．
（2）哥哥去看比赛的概率P（和为奇数）＝1﹣＝，因为＜，所以哥哥设计的游戏规则不公平；
如果规定点数之和小于等于10时则小敏（哥哥）去，点数之和大于等于11时则哥哥（小敏）去．则两人去看比赛的概率都为，那么游戏规则就是公平的．
或者：如果将8张牌中的2、3、4、5四张牌给小敏，而余下的6、7、8、9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为，那么游戏规则也是公平的．（只要满足两人手中点数为偶数（或奇数）的牌的张数相等即可．）
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．（6分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为∠α＝48°，∠β＝65°，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝33m．计算该信号发射塔顶端到地面的高度FG（结果精确到1m）．
（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识求得线段FG的长即可．
【解答】解：如图，延长AD交FG于点E．（1分） 在Rt△FCG中，tanβ＝在Rt△FAE中，tanα＝
，∴CG＝，∴AE＝
． ．
∵AE﹣CG＝AE﹣DE＝AD， ∴即∴FG＝
﹣﹣
＝AD． ＝AD．
＝115.5≈116．
答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．
【点评】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．
19．（6分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续
向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得
AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【解答】解：设CD长为米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA， ∴MA∥CD∥BN， ∴EC＝CD＝米， ∴△ABN∽△ACD， ∴
＝
，即
＝
，
解得：＝5.4．
经检验，＝5.4是原方程的解， ∴路灯高CD为5.4米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
20．（8分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据上题求出的AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝1+20， 把B（10，40）代入得，1＝2， ∴y1＝2+20．
设C、D所在双曲线的解析式为y2＝把C（25，40）代入得，2＝1000， ∴y2＝
，
．
（2）当1＝5时，y1＝2×5+20＝30，
当2＝30时，y2＝∴y1＜y2
＝，
∴第30分钟注意力更集中．
（3）令y1＝36， ∴36＝2+20， ∴1＝8 令y2＝36， ∴36＝∴2＝
， ≈27.8
∵27.8﹣8＝19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点评】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF． （1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若∠AFB＝90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明．
【分析】（1）根据三角形的中位线和平行四边形的性质、全等三角形的判定可以证明结论成立；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点， ∴AD＝DB，AE＝CE，DE∥BC， ∵CF∥AB，DE＝
，DF＝BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，DE＝DF， ∴BD＝CF，DE＝FE， ∴AD＝CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SSS）； （2）四边形BCFD是菱形， 证明：连接CD，
由（1）知DE＝FE，AE＝CE，四边形BCFD是平行四边形， 在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（SAS）， ∴∠AFE＝∠CDE， ∴AF∥CD， ∴∠AFB＝∠DOB， ∵∠AFB＝90°， ∴∠DOB＝90°， 即AF⊥CD，
∵四边形BCFD是平行四边形， ∴四边形BCFD是菱形．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）某水果店销售某种水果，原每箱售价60元，每星期可卖200箱，为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价元，每星期的销售量为y箱． （1）求y与之间的函数关系式：
（2）当销售量不低于400箱时，每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
【分析】（1）根据售量y（件）与售价（元/件）之间的函数关系即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）由题意可得：y＝200+20（60﹣）＝﹣20+1400（0＜＜60）；
（2）设每星期利润为W元，
W＝（﹣40）（﹣20+1400）＝﹣20（﹣55）2+4500， ∵﹣20+1400≥400， ∴≤50，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下， ∴＝50时，W最大值＝4000．
∴每箱售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
23．（10分）[归纳探究]
把长为n （n为正整数） 个单位的线段，切成长为1个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次？
我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 不妨假设最少能切m次，我们探究m与n之间的关系．
如图，当n＝1时，最少需要切0次，即m＝0．
如图，当n＝2时，从线段中间最少需要切1，即m＝1．
如图，当n＝3时，第一次切1个单位长的线段，第二次继续切剩余线段1个单位长即可，最少需要切2次，即m＝2．
如图，当n＝4时，第一次切成两根2个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切2次，即m＝2．
如图，当n＝5时，第一次切成2个单位长和3个单位长的线段．将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切3次，即m＝3．
仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当n＝16时，所需最少切制次数的方法， 如此操作实验，可获得如下表格中的数据：
n m 1 0 2 1 3 2 4 2 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 10 4 11 4 12 4 13 4 14 4 15 4 当n＝1时，m＝0． 当1＜n≤2时，m＝1． 当2＜n≤4时，m＝2． 当4＜n≤8时，m＝3． 当8＜n≤16时，m＝ 4 ． …
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围： 2m﹣1＜n≤2m 当n＝1180时，m＝ 11
[类比探究]
由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法解决如下问题． 把边长n （n为正整数） 个单位的大正方形，切成边长为1个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次？
不妨假设最少能切m次，我们探究m与n之间的关系．
通过实验观察：
当n＝1时，从行的角度分析，最少需要切0次，从列的角度分析，最少需要切0次．最少共切0，即m＝0．
当n＝2时，从行的角度分析，最少需要切1次，从列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，当1＜n≤2时，m＝2．
当n＝3时，从行的角度分析，最少需要切2次，从列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，当2＜n≤4时，m＝4． …
当n＝8时，从行的角度分析，最少需要切3次，从列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，当4＜n≤8时，m＝6． 当8＜n≤16时，m＝ 8 …
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围： [拓广探究]
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问
＜n≤
题．
问题（1）：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调
动，最少要切 6 次．
问题（2）：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 9 次，
问题（3）：把棱长为n （n 为正整数） 个单位长的大正方体，切成边长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 请用m的代数式表示线段n的取值范围：
，n≤
次． ＜n≤
．
【分析】解决此题的关键之一是熟悉截取线段的过程，得出n与m的数量关系，其次是截取二维平面图形，三维立体图形次数之间的关系．
【解答】解：由截取一维线段所得到的图标可知当8＜n≤16时，m＝4， 故答案是：8．
然后观察左列n的值与右列m的值的关系可以得到2m﹣1＜n≤2m 故答案是：2m﹣1＜n≤2m
当n＝1180时，通过计算可知符合条件的m的值等于11． 故答案是11．
熟悉了截取的过程很容易得到当n的值相等时，截取二维图形的次数是一维图形的次数的2倍，截取三维图形的次数是截取一维线段的次数的三倍．
当8＜n≤16时，根据截取线段时次数是4，所以截取二维图片时次数是8 故答案是：8．
截取一维线段时用m的代数式表示线段n的取值范围：2m﹣1＜n≤2m 所以，截取二维图片时，m的代数式表示线段n的取值范围是：同理，截取三维立体图形时，n为4时，要切6次，故答案是：6．
＜n≤
．
n为8时，要切9次，故答案时9． 用m的代数式表示线段n的取值范围：故答案是
＜n≤
＜n≤，
【点评】熟悉截取线段的方法和截取过程，仔细观察线段长度和截取次数的关系，然后找到截取不同的图形，当边长相等时，截取次数的关系是解决问题的关键．
24．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝10．AC＝6．动点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q在线段DC上从点D出发沿DC 的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点P作PE⊥BC．交线段AB于点
E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，QE∥BC？
（2）设△PQE的面积为S，求出S与t的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积S最大？若存在，求出此时t的值； 若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使得点Q在线段EP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先用勾股定理求出BC，进而得出CD＝AB＝10，利用锐角三角函数得出∠B的相关三角函数，再判断出△CGQ∽△CAD，利用得出的比例式建立方程即可得出结论； （2）同（1）的方法，利用三角函数求出CH，QH，最后利用面积的差即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出结论；
（4）先由垂直平分线得出PM＝t，再表示出CN，用PM＝CN建立方程即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，记EQ与AC的交点为G， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6， 根据勾股定理得，BC＝8， tanB＝
＝，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝8，
由运动知，BP＝t，DQ＝t， ∴PC＝8﹣t，CQ＝10﹣t， ∵PE⊥BC， ∴∠BPE＝90°，
在Rt△BPE中，sinB＝，cosB＝，tanB＝∴PE＝t， ∵EQ∥BC，
∴∠PEQ＝∠BPE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴CG＝PE＝t， ∵EQ∥BC，
∴△CGQ∽△CAD， ∴∴∴t＝
＝＝，
， ． ；
（2）如图2，
过点Q作QH⊥BC交BC的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DCH＝∠B，
在Rt△CHQ中，sin∠QCH＝
＝
＝＝，
＝，
∴QH＝（10﹣t），cos∠HCQ＝∴CH＝（10﹣t），
∴PH＝PC+CH＝8﹣t+（10﹣t）＝16﹣t，
∴S＝S梯形QHPE﹣S△QPH＝ [（10﹣t）+t]×（16﹣t）﹣×（16﹣t）×（10﹣t）＝﹣
（t﹣
）2+
，
∵点E在线段AB上， ∴点P在线段BC上， ∴0＜t≤8， 点Q在CD上， ∴0＜t＜10， ∴0＜t≤8， 即：S＝﹣
（t﹣）2+（0＜t≤8）；
（3）由（2）知，S＝﹣∴t＝
（t﹣）2+（0＜t≤8）；
时，S最大＝
；
（4）如图3，
过点Q作QM⊥PE于M，交AC于N， ∵点Q在线段EP的垂直平分线上， ∴PM＝PE＝t，
同（2）的方法得，CN＝（10﹣t）， 易知，四边形PCNM是矩形， ∴PM＝CN， ∴t＝（10﹣t）， ∴t＝
．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质，解本题的关键是用t表示出相关的线段．
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