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高等数学(工本)-3
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、{{B}}单项选择题{{/B}}(总题数：5，分数：15.00)
1.若函数f(x，y)在区域D内具有二阶偏导数，则下列结论正确的是( )
（分数：3.00）
A.必有
B.f(x,在D内必可微
C.f(x，在D内必连续
D.以上结论都不成立 √
解析：因为二阶混合偏导数在区域D内虽然存在，但不一定处处连续，所以A不成立．由条件知一阶偏导数在区域D内处处存在，但不一定处处连续，即B不成立．一阶偏导数在区域D内存在，而函数f(x，y)住区域D内不一定处处连续，那么C也不成立
2.若某二阶常系数微分方程的通解为y=c1e-2x+c2ex，则该微分方程为( )
（分数：3.00）
A.y\"+y'=0
B.y\"+2y'=0
C.y\"+y'-2y=0 √
D.y\"-y'-2y=0
解析：
所求微分方程有实根r1=-2，r2=1，故特征方程为r2+r-2=0，故所求微分方程为y\"+y'-2y=0
3.设积分区域D为0≤x≤1，0≤y≤1，则二重积分=( )
（分数：3.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
4.幂级数的收敛半径R为( )
（分数：3.00）
A.1 √
B.
C.3
D.不能确定
解析：，即该级数的收敛半径R=1
5.已知点A 3，λ，-2)，B 1，5，λ)，若，则A为( )
（分数：3.00）
A.1
B.-1 √
C.0
D.-6
解析：
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：5，分数：10.00)
6.设z=(1+xy)y，则= 1．
（分数：2.00）
解析：
将z=(1+xy)y两边取对数得lnz=yln(1+xy)，两边同时埘y求偏导数得
7.若函数f(x，y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1，-1)处取得极值，则常数a= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：-5(f(x，y)取得极值的必要条件是f'x=0,f'y=0，而f'x=4x+a+y2∴f'x(1，-1)=4+a+1=0，从而a=-5）
解析：
8.设D是平面区域x2+y2≤R2，且y≥0，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分为 1．
（分数：2.00）
解析：先将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，再化为先r后θ
的二次积分．这里
9.级数的和是 1．
（分数：2.00）
解析：
10.微分方程y\"+6y'+9y=0的通解是 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：y=(c1+c2x)e-3x）
解析：
齐次方程的特征方程为r2+6r+9=0，∴r1=r2=-3，它只有一个实的二重根r=-3．因此所求通解为y=(c1+c2x)e-3x
三、{{B}}计算题{{/B}}(总题数：12，分数：60.00)
11.求点M(-1，2，5)到平面x+2y+2z=10的距离．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________
________
正确答案：()
解析：由点到平面的距离公式可得
12.求曲面z=x2+3y2在点(1，1，4)处的切平面方程与法线方程．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析： 故取法向量n={2，6，-1}∴切平面方程为2(x-1)+6(y-1)-(z-4)=0 即
2x+6y-z-4=0 法线方程为
13.求函数在点A(1，0，1)处沿A到点B(3，-2，2)的方向导数．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：这里l的方向为向量的方向
14.设由方程确立的隐函数z=f(x，y)，其中F具有连续的一阶偏导数，求，．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：用隐函数求偏导公式
15.求函数z=3xy-x3-y3的极值点．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：
16.计算二重积分，其中D为y=x2，y=4x2及y=1所围成的闭区域．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：积分区域如图所示 由于区域D关于y轴对称 x是关于x的奇函数，y是关于x的偶函数
17.设L为椭圆，其周长为a，求曲线积分．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：利用积分曲线的方程对被积函数进行简化，由于在曲线L上4x2+5y2=20，于是
18.L是圆域D：x2+y2≤-2x的正向边界，求积分．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：利用格林公式有
19.在球面坐标系下，计算三重积分．其中积分区域Ω为π2≤x2+y2+z2≤4π2．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：利用球面坐标系有Ω：0≤θ≤2π，0≤φ≤π，π≤r≤2π
20.判断级数的敛散性．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：故由比值审敛法知该级数发散．
21.求微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：将x看作因变量，y看作自变量，方程可变形为一阶线性非齐次微分方程 其中 由通解公式有
22.设f(x)是周期为2π的周期函数，在一个周期[-π，π]上的表达式为，试写出f(x)的傅里叶级数的和函数在x=-π处的值．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：∵x=-π是f(x)的间断点 故由收敛定理知
四、{{B}}综合题{{/B}}(总题数：3，分数：15.00)
23.某企业用铜板做一个容积为8m3的长方体箱子，试问其长、宽、高的尺寸各为多少时，可使所用钢板最少．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：设长、宽分别为x(m)，y(m)，那么高为，设箱子的表面积为S 那么 由于实际问题存在最小值，又只有唯一的驻点，即该点就是最小值，所以当长、宽、高均为2m时，所用钢板最少．
24.求幂级数的收敛半径和收敛区间．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：当x=5时级数成为收敛，当x=-5时，级数成为收敛，所以幂级数的收敛区间
为[-5，5]
25.将定义在区间[0，π]上的函数f(x)=x2展开成余弦级数．
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：将f(x)进行偶延拓和周期延拓，则延拓后的函数在(-∞，+∞)上处处连续，所以其余弦级数在[0，π]上处处收敛于x2
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