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《电力拖动自动控制系统—运动控制系统》习题
2-2 调速系统的调速范围是 1000~100r/min，要求静差率 s=2%，那么系统允许的稳态速降是 多少？
解：系统允许的稳态速降
∆ nN =
sn min 0 02 × 100
= = 2 04( r min ) ( 1 − s ) ( 1 − 0 02)
PN = 60 kW ，
2-5 某龙门刨床工作台采用晶闸管整流器-电动机调速系统。已知直流电动机
U N = 220 = min ， 主 电 路 总 电 阻 R = 0 18Ω ， V ， IN = 305 A ， nN 1000 r Ce = 0 2 V • min r ，求：
〔1〕当电流连续时，在额定负载下的转速降落 ∆n N 为多少？ 〔2〕开环系统机械特性连续段在额定转速时的静差率 s 多少？ N
〔3〕额定负载下的转速降落 ∆n N 为多少，才能满足 D = 20, s ≤ 5% 的要求。 解：〔1〕当电流连续时，在额定负载下的转速降落
I R 305 × 0 18
N =N =274 min ∆
n C e = 0 2 5( r ) 〔2〕开环系统机械特性连续段在额定转速时的静差率
∆ n N 274 5
= ≈ 0 215 = 21 5%
n N + ∆ n N 1000 + 274 5
〔3〕额定负载下满足 D = 20, s ≤ 5% 要求的转速降落
s N = ∆ n N =
n N s 1000 × 0 05
= ( r min ) ≈ 2 63
D (1 − s ) 20 × ( 1 − 0 05)
*
Uu = 8 8 V , 比例调节放大
2-6 有一晶闸管稳压电源，其稳态结构如下图，已知给定电压 〔1〕输出电压 U d ；
= 15, 反馈系数 γ = 0 7 。求： 系数 K p = 2, 晶闸管装置放大系数 K s
〔2〕假设把反馈线断开， U 为何值？开环时的输出电压是闭环时的多少倍？ d 〔3〕假设把反馈系数减至
0.3 u 应为多少？
γ= 5 U 解：〔1〕输出电压
K K
2 × 15 p s *
U d = U u = × 8 8 = 12( V ) ；
1 + K p K s γ 1 + 2 × 15 × 0 7 U 〔2〕假设把反馈线断开， d
时的 264 12 = 22 倍。
*
= K p K U = 2 × 15 × 8 8 = 264 ( V) ；开环时的输出电压是闭环 s u
γ = 〔3〕假设把反馈系数减至
5 ，当保持同样的输出电压时，给定电压 1 + K p K s γ 1 + 2 × 15 × 0 35 *
U u = U d = × 12 = 4 6( V ) 。
K p K s 2 × 15
解：〔1〕C e =
U N − I d R × a 220 − =
n 1500 N
= V ⋅ min/ r
RI × + + 0.8) N op 307.r /
∆ e =n = C = 6 min
n s 1500 × N
cl 8.3 / ∆ − s ) ≤ 20 (1 − 0.1) = 3 n = D (1 × r min
〔2〕
〔3〕
〔4〕闭环系统的开环放大系数为
∆ nop K = − 1 =
∆ ncl
− 1 =
=
运算放大器所需的放大倍数
K K p = =
K α / C 35 × s e
解：
R = Ω R s / R =
< 1 / 3
图见 49 页
解：计算系统中各环节的时间常数
电磁时间常数
L
T = = l
R +
= s
+ + 0.8) 30 × × π
=
s
机电时间常数
2 GD R × T = = m
375 C C e m 375 ×
晶闸管装置的滞后时间常数为
T s = ×
s + 0.00167) +
×
2
为保证系统稳定，应满足的稳定条件：
2
T ( T + T ) + T m l s s
K < =
T T l s
=
可以稳定运行，最大开环放大系数是
PN = 2-12 有一晶闸管-电动机调速系统，已知：电动机 kW ， UN = 220 V ， IN = A ，
nN 1500 r = min ， R = 1 5 Ω ，整流装置内阻 R = 1Ω Ω ， ，电枢回路电抗器电阻 R L = 0 8 rec a = 35 。求： 触发整流环节的放大倍数 K s
〔1〕系统开环时，试计算调速范围 = 30 D 时的静差率 s。
〔2〕当
=10% 时，计算系统允许的稳态速降。 D = 30, * s U n = 10V 时 I d = I N ， 〔3〕如组成转速负反馈有静差调速系统，要求 D = 30, s = 10% ，在
n = n N ，计算转速反馈系数α 和放大器放大系数 K p 。
解：先计算电动机的反电动势系数
U N − I N R 220 − 15 6 × 1 5 a
C = = = 0 131 (V • min r ) e
n 1500 N
系统开环时的额定转速降落
I N ( Ra + R 15 6 × ( 1 5 + 1 + 0 8) rec + R L ) = ≈ 393 ( r min)
C 0 131 e
〔1〕系统开环时，调速范围 D = 30 时的静差率
D ∆ n N 30 × 393 s = = % ； ≈ 0 887 =
n N + D ∆ n N 1500 + 30 × 393
〔2〕当 D = 30, s = 10% 时，系统允许的稳态速降
n N s 1500 × 0 1
nN 56( min ) ∆ D (1 − s ) 30 × ( 1 − 0 1 ) ==≈5 r 〔3〕如组成转速负反馈有静差调速系统，要求 D = 30, s = 10% ，则系统开环放大系数
∆ n 393 K = − 1 = − 1 ≈ 8 ；
op ∆ n 5 56 cl ∆n Nop =
*
U n 10
= ≈ 0 0067( V • min r ) 转速反馈系数 α =
n N 1500 KC 69 .6 8 × 0 131 e
K =放大器放大系数 p 38.9
35 × 0 0067 ≈ = K s α3 。
2-13 旋转编码器光栅数为 1024，倍数系数为 4，高频时时钟脉冲频率 f 0 = 1MHz ，旋转编 码器输出的脉冲个数和高频时钟脉冲个数均采用 16 位计算器，M 法和 T 法测速时间均为 ，求转速 n=1500r/min 和 n=150r/min 时的测速分辨率和误差率最大值。 解：〔1〕M 法测速
60 60
= ≈ 1 465 ZT 1024 × 4 × 0 01 c
nZT 1500 × 4096 × 0 01 c = = = 1024 ，误差率最大值 转速 n=1500r/min 时， M 1
60 60
1 1
δ max = = ≈ 0 00097 = 0 097% ；
M 1 1024
nZT 150 × 4096 × 0 01 c = = = 102 4 ，误差率最大值 转速 n=150r/min 时， M 1
60 60
1 1
δ max = = ≈ 0 0097 = 0 97% 。
M 102 4 1
转速 n=1500r/min 和 n=150r/min 时的测速分辨率
Q =
〔2〕T 法测速
60 f 60 × 1 × 10 6
0
= ≈ 9 8 ，测速分辨率 转速 n=1500r/min 时， M 2 =
Zn 4096 × 1500 Zn 2 4096 × 1500 2
Q = = ≈ 171 6
60 f − Zn 60 × 1 × 10 − 4096 × 1500 0
误差率最大值
δ max =
1 1
= ≈ 0 103 = 10 3% 。
M 2 − 1 9 8 − 1
60 f 60 × 1 × 10 6 0 转速 n=150r/min 时， 2 ，测速分辨率
150 ≈98 M= Zn = 4096 ×
2
Zn 2 4096 × 150 Q = = ≈ 6
60 f − Zn 60 × 1 × 10 − 4096 × 150 0
误差率最大值
δ max =
1 1
= ≈ 0 0103 = 1 03% 。
M 2 − 1 98 − 1
3-1 双 闭 环 直 流 调 速 系 统 的 ASR 和 ACR 均 为 PI 调 节 器 ， 设 系 统 最 大 给 定 电 压
* *
U nm = im U = 15V ， nN 1500 r = min ， I N = 20A ，电流过载倍数为 2，电枢回路总电阻
R = 2Ω ， K s = 20 ， Ce = 0 127 V ⋅ min r ，求：
〔1〕当系统稳定运行在 U n = 5V ，I dL = 10A 时，系统的 n、U U U n 、 i 、 i 和 U c 各为多少？
*
U i 和 U c 各为多少？
解：转速反馈系数
*
U nm 15
α = = = 0 01 (V ⋅ min r )
n N 1500
电流反馈系数
* U im 15
β = = = 0 375 (V A )
I dm 2 × 20
〔1〕当系统稳定运行在 U n = 5V ， dL = 10A I 时，
=
= 5( V ) n *
U n 5
n = = U n = 500( r min )
α 0 01 U i = βI dL = 0 375 × 10 = 3 75( V )
*
U i = U i = 3 75( V )
*
U C n + I dL R 0 127 × 500 + 10 × 2
U c = d 0 = e = = 4 175 (V ) 。
K s K s 20
〔2〕当电动机负载过大而堵转时，n=0;
*
U i = βI dm = 0 375 × 2 × 20 = 15( V )
I dm R 2 × 20 × 2
= 4( U c =K s 20 = V ) 。
3-2 在转速、电流双闭环直流调速系统中，两个调节器 ASR、ACR 均采用 PI 调节器。已知
= 3 7 kW ， U N = 220V ， I N = 20A ， n N = 1000 r min, 电枢回路 参数：电动机： P N
* *
总电阻 R = 1 .5Ω ；设U nm = U im = U cm = 8V ，电枢回路最大电流 I dm = 40A ，电力电子变
= 40 。试求： 换器的放大倍数 K s
〔1〕电流反馈系数 β 和转速反馈系数α ； 〔2〕当电动机在最高转速发生堵转时的 U d 0
U i ， U i 和 U c 的值。
解：〔1〕电流反馈系数
* U im 8 β = = = 0 2 (V A )
I dm 40
转速反馈系数
* U nm 8 α = = = 0 008 (V ⋅ min r ) 。
n N 1000
〔2〕当电动机在最高转速发生堵转时，n=0;
U d 0 = C e n + I dm R = 0 + 40 × 1 5 = 60( V )
*
U i = U i = β I dm = 0 2 × 40 = 8( V )
U 60
U c = d 0 = = 1 5( V ) 。
K s 40
3-5 某反馈系统已校正成典型 I 型系统 。已知时间常数 T ，要求阶跃响应超调量 σ ≤ 10% 。
〔1〕系统的开环增益。
和上升时间 t r 。 〔2〕计算过渡过程时间 t s
s ，则 K=? σ = ? 〔3〕绘出开环对数幅频特性。如果要求上升时间 tr < 0 25
解：典型 I 型系统开环传递函数为
K
s (T s + 1)
〔1〕要求阶跃响应超调量 σ ≤ 10% ，则要求 KT ≤ 0 69 ，为获得尽量短的上升时间 t r ，选 择 KT = 0 69 ；则 K = 0 69 0 1 = 6 9
T = 6 × 0 1 = 0 6 ( s ) ； 〔2〕过渡过程时间 ts = 6
s ) = W (
上升时间 tr
= 3 3 T = 3 3 × 0 1 = 0 33 ( s ) 。
s ，则选择 KT = 1 ； 〔3〕如果要求上升时间 tr < 0 25
K = 1 0 1 = 10 ， σ = 16 .3% 。
s τ + i i τ 1 )
10 Ki ( τ s + 1) i
K ( 1) τ i s 10 i τ s + i
( s ) = = 2 开环传递函数 W ⋅ op
s s + 1) τ s s s + 1) i
对Ⅱ型系统 σ ≤ 30% ，h=7
τ i = hT =
s
K =
h + 1
= 2 2
2 h T
K τ i
K = i =
10 ( s ) = PI 调节器 W K = i
4 s + 1)
s
R i
R 0 取 10kΩ R i =28.571 kΩ 取 30 kΩ
R 0
τ =
14 µ F
i
R / i
C ∆ %)( λ − z ) C
max b
n T
N
= 63.4%
∑ n *
n T
m
3-10 有一转速、电流双闭环直流调速系统，主电路采用三相桥式整流电路。已知电动机参
= 500kW , U N = 750 V, I N = 760A ，n 数 为 ： P N = 375 r min ， 电 动 势 系 数 N
Ce = 1 82 V ⋅ min r ，电枢回路总电阻 R = 0 14 Ω ，允许电流过载倍数 λ =
，触发整流
= 75 ，电磁时间常数 Tl = 0 031 s ，机电时间常数 Tm = 0 112 s ，电流反 环节的放大倍数 K s s 。设调节器输入输出电 馈滤波时间常数 Toi = 0 002 s ，转速反馈滤波时间常数 Ton = 0 02
* *
压 U nm = U im = U nm = 10V ，调节器输入电阻 R0 = 40kΩ 。
设计指标：稳态无静差，电流超调量 σ i ≤ 5% ，空载起动到额定转速时的转速超调量
σ n ≤ 10% 。电流调节器已按典型 I 型系统设计，并取参数 KT = 0 5 。
〔1〕选择转速调节器结构，并计算其参数。
ω ，并
考虑它们
T = T + T = 0 0037 s ， 要 求 电 流 超 调 量σ 5% = 0 5 ， 因 此 i ≤是否， 应 取 K I T Σ i s oi Σi
合KI ≈ 135 1 s − 1 。
理？
〔1〕电流环等效时间常数 1 KI = 0 0074 s ； cn
Ts
= 1 K I + T = 0 0074 + 0 02 = 0 0274 s ； 转速环小时间常数 T Σ n on 0017
电流反馈系数
s
，
电 流 环 小 时 间 常 数 之 和
* U im 10
β = = (V A ) ≈ 0 0088
λ I N 1 5 × 760
转速反馈系数
* U nm 10 α = = = 0 0267( V ⋅ min r )
n N 375
选择转速调节器结构，其传递函数为
+
s 1 WASR s K ( nτ s ) n ( ) = τ n
按跟随和抗扰动性能都较好的原则，取 h = 5, 则 ASR 的超前时间常数为
τ n = hTΣn = 5 × 0 0274 = 0 137 s
转速环开环增益
K N =
可得 ASR 的比例系数为
h + 1 5 + 1
= = 159 84 s − 2 ， 2 2 2 2
2 h T 2 × 5 × 0 0274 Σ n
K n =
( h + 1) β C e T 6 × 0 0088 × 1 82 × 0 112 m
= ≈ 10 51 ；
2 h α RT 2 × 5 × 0 0267 × 0 14 × 0 0274 Σn
则 取调节器输入电阻 R0 = 40 kΩ，
R = K n R = 10 51 × 40 = 420 4 kΩ ，取 420k Ω 0 n
τ 0 137
) = 0 326 µF = = 3 26 × 17 − 0 n (F µF ，取 3
R 420 × 10 n 4 T 4 × 0 02
− on (F ) = 2 C on = = = 2 × 16 0 µ F ，取 2 µ F 。 3
R 40 × 10 0 C n =
s −1〔2〕电流环的截止频率 ω ci = KI = 135 1 ，
0 137 ≈ 21 9 s ； 转速环的截止频率 ω cn = K N τ n = 159 84 ×
检验近似条件
1〕校验晶闸管整流装置传递函数的近似条件
− 1
1 1
= ≈ 196 1 ( s −1 ) > ω ci ，满足近似条件； 3 Ts 3 × 0 0017
校验忽略反电动势变化对电流环动态影响的条件
3
1 1
= 3 ( s −1 ) < ω ci ，满足近似条件；≈ 50 91
T T 0 112 × 0 031 m l
校验电流环小时间常数近似条件
1 1 1 1
= ≈ 180 8( s −1 ) > ω ci ，满足近似条件；
3 T T 3 0 0017 × 0 002 s oi
校验电流环传递函数近似条件
1 K 1 135 1
I − 1 ≈ 63 7( = s ) > ω cn ，满足近似条件；
3 T 3 0 0037 Σi
校验转速环小时间常数近似条件
1 K I 1 135 1
= > ω cn ，满足近似条件。≈ 27 4( s −1 )
3 T 3 0 02 on
校核转速超调量
⎛ ∆ ⎞∆ C n σ n = ⎜ max ⎟ * b
⎝ C b ⎠ n ⎛ ∆ max C = 2 ⎜ C ⎝ b
⎞ ∆ n N T Σ n ( λ − z ) * ⎟ n T ⎠ m
760 × 0 14
0 0274
= 2 × 0 812 × ( 1 5 − 0) × 1 82 ×
375 0 112
≈ 0 093 < 10%
满足设计要求。
α =解：〔1〕
15
= 1500
V ⋅ min/ r
* U n 5 n = = = 500 r / min
α
U d 0 = C n + I 104 V e d R = U U c = d 0 =
K s U n = 0
* *
U i = U im = 10 V
V
〔2〕 当电动机突然失磁，电机停转。
U i = −1 0 V I d = I dm = 2 V
〔3〕
W ( s ) =
K (τ s + 1)
s 2 ( Ts + 1)
s
τ = hT = K N =
h + 1 − 2
= 48 s 2 2
2 h T s 2
s + 1) s + 1) s
W ( s ) =
〔4〕 t v =
T m =
∆ nb =
2 RT − I dL ) ∑ n ( I dm
= r / min
T e
C
r C ∆ C
b
max ( %) ∆
/ n = 76.12 5-1 一 台 三 相 鼠 笼 异 步 电 动 机 的 铭 牌 数 据 为 ： 额 定 电 压 380V = U ， 额 N b
mi定转 速 min nN = 960 r ，额定 频率 fN = 50H z ，定子 绕组为 Y 联接 。 由实验测得 定子电阻 n
R = 0 35 Ω ，定子漏感 L = 0 006H ，定子绕组产生气隙主磁通的等效电感 L = 0 26H ， s ls m ′ = 0 5 ′ = 0 007H ，转子参数已折算到定子侧，忽略铁芯损耗。 Ω ，转子漏感 L 转子电阻 R r lr
〔1〕画出异步电动机 T 形等效电路和简化电路。
m
I1 N 和额定电磁转矩。 〔2〕额定运行时的转差率 s N ，定子额定电流
〔3〕定子电压和频率均为额定值时，理想空载时的励磁电流 〔4〕定子电压和频率均为额定值时，临界转差率 械特性。 解：〔1〕
I 0 。
s T m 和临界转矩 em ，画出异步电动机的机
异步电动机 T 形等效电路
异步电动机简化电路
min ，同步转速 n1 〔2〕由于额定转速 nN = 960 r
额定运行时的转差率
60 f N 60 × 50
=1000( )，
= n p = 3 r min
sN =
n − n 1000 − 960 1
= = 0 04 n 1000 1
− j
R 0 006 0 35 s
= 1 + − j ≈ 1 023 − j 0 004 ≈ 1 023
2 π f 0 26 100 π × 0 26 N L m
由异步电动机 T 形等效电路，
R + j ω L L s 1 ls ls
C = 1 + 1
ω L j 1 m
= 1 +
L m
可得转子相电流幅值
′ = I r
U s
⎛ ′ ⎞ R 2 2 r
′ ( ) R + C + ω L + C L 1 1 lr ⎜ s 1 ls
s N ⎟⎝ ⎠
220
2
2
=
0 5 ⎞ ⎛ 2
0 35 + 1 023 × 100 π ) 2 × ( 0 006 + 1 023 × 0 007 ) ⎜ ⎟ + (
0 04 ⎠ ⎝
220
=
172 5939 + 17 0953 = 15 9735 (A )
气隙磁通在定子每相绕组中的感应电动势
⎛R r ′ ⎞ 2 2 ′ ′ = 15 9735 ×E = I + ω L 156 25 + 4 8361 ≈ 202 7352 〔V〕 g r ⎜ ⎟ 1 lr
⎝s N ⎠
额定运行时的励磁电流幅值
2
I 0 =
202 7352 = ≈ 2 482 ( A) ω1 L 100 π × 0 26 m
U s
′ ⎞ R ⎛ 2
′ 2 R Lls + L ⎜ s + 2 ⎟ + ω 1 ( lr ) s ⎠ ⎝
220
2
E g
由异步电动机简化电路，额定运行时的定子额定电流幅值
I 1 N =
=
220
0 5 ⎞ ⎛ 2
0 35 + 100 π ) × (0 006 + 0 007) 2 ⎜ ⎟ + (
0 04 ⎠ ⎝
2
=
165 .1 225 + 16 .67 96
= 16 .3 16 4A〕
额定电磁转矩
3 n p 2 R ′ 3 ×P 3 0 5 2 m r ′ T = = I = × 15 9735 × ≈ 91 37( N ⋅ m ) 〔依据 T 形等效电路〕 e
ω m ω 1 r s 100 π 0 04 N
或
T e =
3 n 2 R ′ 3 ×P 3 0 5 2 m r
= p I = × 16 3164 × ≈ 95 33 ( N ⋅ m ) 〔依据简化等效电路〕 1 N ω m ω 1 s 100 π 0 04 N
U s
R + ω ( Lls + L m )
′ R r
′ R + ω ( Lls + L lr )
2
s
2 1
2
3 n p U s
2 ⎤ ⎡ R + R 2 2
′ 2 ω + ω L + L ( ) 1 ⎣ s s 1 ls lr ⎦
2
2
s
2 1
2
〔3〕定子电压和频率均为额定值时，理想空载时的励磁电流
I 0 =
=
220
0 35 + ( 100 π ) × (0 006 + 0 26)
0 5
0 35 + ( 100 π ) × (0 006 + 0 007)
2
2
2
2
2
= 2 633 (A )
〔4〕定子电压和频率均为额定值时，临界转差率
s m =
=
2
= 0 122
临界转矩
T = em
=
3 × 3 × 220 2
2
200 × π × [ 0 35 + 0 35 2 + ( 100 π ) × (0 006 + 0 007) 2 ]
= 155 83( N ⋅ m )
异步电动机的机械特性： S
n 0 n 1
S m
1 0
T em T e
1
2
2 3
5-2 异步电动机参数如习题 5-1 所示，画出调压调速在 U N 和 U N 时的机械特性，计算临
T 界转差率 s m 和临界转矩 em ，分析气隙磁通的变化，在额定电流下的电磁转矩，分析在恒转
矩负载和风机类负载两种情况下，调压调速的稳定运行范围。 解：
定子相电压改变，临界转差率不变，即
s m =
′ R r
′ R + ω ( Lls + L lr )
2
s
2 1
2
=
0 5
0 35 + ( 100 π ) × (0 006 + 0 007)
2
2
2
= 0 122
1 1 1
2 4 4 2 4 4
= T = × 155 83 = 69 26 ( N ⋅ min) 。 当调压至 U N 时，临界转矩 T em e max
3 9 9
U s
气隙磁通： Φ m ≈ 随定子电压的降低而减小。
4 44 f N k 1 s Ns = × 155 83 = 38 96 ( N ⋅ min) ， 当调压至 U N 时，临界转矩 T e max em = T
5-6 异步电动机参数如习题 5-1 所示，输出频率 f 等于额定频率 fN时，输出电压 U 等于额定
电压 UN，考虑低频补偿，假设频率 f=0，输出电压 U=10%UN。 〔1〕求出基频以下电压频率特性曲线 U=f(f)的表达式，并画出特性曲线。 〔2〕当 f=5Hz 和 f=2Hz 时，比较补偿与不补偿的机械特性曲线，两种情况下的临界转矩 Temax。 解：〔1〕UN=220(A) 斜率
U − 0 1 U N 220 − 22 k = N = = 3 96 ，
f − 0 50 − 0 N
考虑低频补偿时，电压频率特性曲线 U = 3 96 f + 22 ；
220
f = 4 4 f 不补偿时，电压频率特性曲线 U = 50
〔2〕当 f=5Hz 时
A、不补偿时，输出电压
U = 4 4 f = 22( V) , 临界转矩
=
3 × 3 × 22 2
2 2
π ) 20 × π × [ 0 35 + 0 35 + ( 10 × (0 006 + 0 007) 2 ]
T em =
2
3 n p U s
2 2 2 ⎡ + R ′ ⎤ 2 ω ω Lls + L 1 R s s + 1 ( lr ) ⎣ ⎦
= 78 .084 ( N ⋅ m )
.96 f + 22 = 41 .8( V ) B、补偿时，输出电压 U = 3
T em =
2 3 n p U s
2 ⎤ 2 2 ⎡ R + R ′ ( ) 2 ω + ω L + L 1 s 1 ls lr
⎣ s ⎦
=
3 × 3 ×
2
2 2
π ) 20 × π × [ 0 35 + 0 35 + ( 10 × (0 006 + 0 007) 2 ]
= 281 .883 ( N ⋅ m )
当 f=2Hz 时
.8( V ) , 临界转矩 A、不补偿时，输出电压 U = 4 4 f = 8
T em =
2
3 n U p s
2
2 2 ⎡ R + R ⎤ 8 × π × [ 0 35 + 0 35 2 + ( 4π ) 2 × (0 006 + 0 007) 2 ] ′ ( ) 2 ω + ω L + L 1 s 1 ls lr
⎣ s ⎦
=
3 × 3 ×
2
= 37 .666 ( N ⋅ m )
B、补偿时，输出电压 U =
6 f + 22 = 2( V)
3 × 3 × 29 .92 2
T em =
=
2 ⎤ 2 2 ⎡ 8 × π × [ 0 35 + 0 35 2 + ( 4π ) 2 × (0 006 + 0 007) 2 ] ′ 2 ω R + R + ω ( L + L ) 1 s 1 ls lr
⎣ s ⎦
2
3 n p U s
= 435 .419 ( N ⋅ m )
5-8 两电平 PWM 逆变器主回路，采用双极性调制时，用“1“表示上桥臂开通，”0“表示 上桥臂
关断，共有几种开关状态，写出其开关函数。根据开关状态写出其电压矢量表达式， 画出空间电压矢量图。 解：
u 5-11 采用电压空间矢量 PWM 调制方法，假设直流电压 恒定，如何协调输出电压与输出频 d
率的关系。
解：在一个周期内，6 个有效工作矢量顺序作用一次，定子磁链矢量是一个封闭的正六边形。
ψ s ( k ) = ∆ ψ s ( k ) = u ( k ) ∆ t =
2 2 π u d
u d ∆ t = 3 3 3 ω 1
正六边形定子磁链的大小与直流侧电压成正比，而与电源角频率成反比。在基频以下调速时，
越小时，∆ t 越大，势必 应保持正六边形定子磁链的最大值恒定。假设直流侧电压恒定，则 ω1 导致 ψ s (k ) 增加。因此，要保持正六边形定子磁链不变，必须使 在变频的同时必须调节直流电压，造成了控制的复杂性。
有效的方法是插入零矢量，当零矢量作用时，定子磁链矢量的增量 定子磁链矢量停留不动。
有效工作矢量作用时间 ∆t1 < ∆ t ，
u ω 1 为常数，这意味着 d
∆ ψ s ( k ) = 0 ，说明
t = ∆ t − ∆ t1 ， 零矢量作用时间 ∆ 0
∆ t = ω1 ( ∆ t1 + ∆ t ) = π 3 时，定子磁链矢量的增量为 当 ω 1 0
正六边形定子磁链的最大值
在直流电压不变的条件下，要保持
ψ s (k ) 恒定，只要使 ∆t 1 为常数即可。输出频率越低， t∆
越大，零矢量作用时间 ∆t 定子磁链矢量轨迹停留的时间越长。由此可知，零矢量 0 也越大，
的插入有效地解决了定子磁链矢量幅值与旋转速度的矛盾。
6-1 按磁动势等效、功率相等原则，三相坐标系变换到两相静止坐标系的变换矩阵为
1 1 ⎤ ⎡ 1 − − 2 ⎢ 2 2 ⎥ C = ⎢ ⎥ 3 2
3 3 ⎥ 3 ⎢ 0 − ⎣ 2 2 ⎦
2 π 2 π
A = I m sin(ω t ) 、 i = I sin( ωt − ) i = I sin( ωt + ) ，求 现有三相正弦对称电流 i 、 B m C m
3 3
变换后两相静止坐标系中的电流 i 和 i sβ ，分析两相电流的基本特征与三相电流的关系。 sα ⎡ ⎤
1 1 ⎤ ⎢ I m sin( ω t ) ⎥ ⎡
1 − − i ω t ) ⎤ ⎡ 2 ⎢ 2 π ⎥ 3 ⎡ I m sin( s α ⎤ 2 2 ⎥ ⎢ I sin( = ω t − ) = 解： ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ m ⎢ − I cos( ⎥ ； i 3 3 ω t ) 3 3 2 ⎣ m ⎦ ⎥ ⎣ s β ⎦ ⎢ 0 − ⎥ ⎢ 2 π ⎣ ⎥ 2 2 ⎦ ⎢ I sin( ω t + ) m
⎣ 3 ⎦
6-2 两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换矩阵为
⎡ cos ϕ sin ϕ ⎤ C 2 s 2 r = ⎢ ⎥
⎣ − sin ϕ cos ϕ ⎦
i 将习题 6-1 中的静止坐标系中的电流 i 和 i 变换到两相旋转坐标系中的电流 i s α sd 和 sq ，坐 sβ d ϕ
= ω i i 标系旋转速度为 1 。分析当 ω 1 = ω 时，电流 sd 和 sq 的基本特征，电流矢量幅值 dt
2 2
i 的关系，其中 ω 是三相电源角频率。ω >ω 和 ω1 < ω 时，
1 s = i sd + i sq 与三相电流幅值 I m
i i sd 和 sq 的表现形式。
i ω t ) ⎤ ω t − ϕ ) ⎤ ⎡ ⎡ cos ϕ sin ϕ ⎤ 3 ⎡ I m sin( 3 ⎡ I m sin( sd ⎤
= ⎥ ⎢ − I cos( ⎥ ⎥ 2 ⎢ − I cos( i − sin ϕ cos ϕ ω t ) 2 ω t − ϕ ) sq ⎦ ⎣ m ⎦ ⎣ m ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
d ϕ
ϕ = ω t + ϕ 0 〔 ϕ 0 为初始角位置〕 = ω 由坐标系旋转速度为 1 1 ，则
dt
〔1〕当 ω1 = ω 时，ϕ = ω t = ωt + ϕ 0 ，则 1
解： ⎢ ⎥ = ⎢
3
i = I sin − ϕ ，
2 i = I m 0 sd
ϕ2 c − 3 ，
o3 0 2 2 i = i sq s sd + i sq m ； s = 2 I
ω s = ω − ω m ϕ = −ω t − ϕ 0 ，则 〔2〕当 ω1 > ω 和 ω1 < ω 时，设， ωt − 1 s
i ω t − ϕ ) ⎤ ω t + ϕ 0 ) ⎤ ⎡ 3 ⎡ I m sin( 3 ⎡ − I m sin( sd ⎤ s
= = ⎢ ⎥ ⎢ − I cos( ⎥ ⎢ − I cos( ⎥ 。 i 2 ω t − ϕ ) 2 ω t + ϕ ) ⎣ m ⎦ ⎣ m s 0 ⎦ ⎣ sq ⎦
6-3 按转子磁链定向同步旋转坐标系中状态方程为
坐标系的旋转角速度为
L m i
ψ st
假定电流闭环控制性能足够好，电流闭环控制的等效传递函数为惯性环节 T
di 1 r 1
* sm
= − i r i
Ts
m
i
dt 1 +
1 *
− sm di T Ti 为等效惯性时间常数。画出电流闭环控制后系统的动态结构图，输入为 ism和 ist ，输出为 i
T T ω 和 ψ ，讨论系统稳定性。 i st r st
解：电流闭环控制后系统的动态结构图如下： i
i
*
sm
i
1 T s + 1 i
i sm
=
L dt m
T 1 + r s +
ψ r
st i
*
i
m st
1 1 T s + i
i st
n L
p L r
T e
_
T L
np
Js
ω
转子磁链环节为稳定的惯性环节；转速通道存在积分环节，系统不稳定，必须加转速外环使 之稳定。
kW ，额定电压 U N = 380V ，额定电流 6-4 鼠笼异步电动机铭牌数据为：额定功率 PN = 3
I N = 6 9A ，额定转速 nN = 1400 r min ，额定频率 fN = 50H z ，定子绕组 Y 联接。由实 = 1 85 Ω ，转子电阻 R = 2 658 Ω ，定子电感 L = 0 294H ，转子自感 验测得定子电阻 R r s s L = 0 2898H ，定、转子互感 L = 0 2838H ，转子参数已折合到定子侧，系统的转动惯 r m
量 J = 0 1284 kg ⋅ m ，电动机稳定运行在额定工作状态，试求转子磁链 ψ r 和按转子磁链定
2
i 向的定子电流两个分量 i sm 和 st 。
1400 r min ，额定频率 fN = 50H z ，则电动机极对数 n p = 2 ，额定转 解：额定转速 nN =
速 ω m
= 2 πn N
= 146 6 ( rad s ) ； ω = n p ω m = 293 2 ( rad s ) ； 60
设三相正弦对称电流
i = I m sin( 2π f t ) = 9 758 sin( 100 π t ) 、 A N i = I m sin( 2π f N t − B
2 π 2 π
) = 9 758 sin(100 π t − ) 、 3 3
2 π 2 π ) = 9 758sin( 100 π t + ) ， 3 3
⎡ ⎤
1 1 ⎤ ⎢ I m sin( 2π f t ) ⎥ ⎡ N
1 − − i ⎥ ⎢ 100 π t ) ⎤ ⎡ 2 ⎢ 2 π ⎥ ⎡ 11 951 sin( s α ⎤ 2 2 = I sin( 2π f t − ) = ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ m ⎢ i ⎥ N ⎥ 3 3 3 3 − 11 951 cos( 100 π t ) s β ⎦ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎢ 0 − ⎥ ⎢ 2 π ⎣ ⎥ 2 2 ⎦ ⎢ I sin( 2π f t + ) m N
⎣ 3 ⎦ L 0 2898 r = = = 0 109( s ) ， 转子电磁时间常数 T r
R 2 658 r i = I m sin( 2π f N t + C
电动机稳定运行在额定工作状态时
ψ r α = L i α − ω Tr ψ r β
m s ψ r β = L i Tr ψ r α m s β + ω ψ r α =
2
1 + ω 2 T r
，得
L i − ω Tr L i m s α m s β
0 2838 × 11 951 × sin(100 π t ) − 293 2 × 0 109 × 0 2838 × ( −1 1 951 ) × cos(100 π t ) = 2
1 + 293 2 × 0 109 2
= 0 0033 × sin(100 π t ) + 0 1060 × cos(100 π t ) L i + ω Tr L i m s α
ψ r β = m s β
2
1 + ω 2 T r
0 2838 × ( −1 1 951 ) × cos( 100 π t ) + 293 2 × 0 109 × 0 2838 ×1 1 951 × sin(100 π t )
2 2
1 + 293 2 × 0 109
= −0 0033 × cos( 100 π t ) + 0 1060 × sin(100 π t ) =
2 2
ψ r sin 2 ( 100 π t ) + 0 0006996 × sin(100 π t ) × cos(100 π t ) + 0 1060 2 × cos 2 ( 100 π t ) α = 0 0033 ×2 2 2 ψ r cos 2 ( 100 π t ) − 0 0006996 × sin(100 π t ) × cos(100 π t ) + 0 1060 × sin 2 ( 100 π t ) β = 0 0033 ×2 ψ r = ψ r α + r 2 0 0033 2 + 0 1060 2 ≈ 0 1061 βψ =
ψ − 0 0033 × cos(100 π t ) + 0 1060 × sin(100 π t ) sin ϕ = r β =
ψ r 0 1061
0 0311 × cos(100 π t ) + 0 9991 × sin(100 π t ) ≈ −
ψ 0 0033 × sin(100 π t ) + 0 1060 × cos(100 π t )
cos ϕ = r α =
ψ r 0 1061
sin(100 π t ) + 0 9991 × cos(100 π t ) ≈ 0 0311 ×
i i π t ) ⎤ ⎡ ⎡ cos ϕ sin ϕ ⎤ ⎡ ⎡ cos ϕ sin ϕ ⎤ ⎡ sin(100 s α ⎤ sm ⎤ ⎢ ⎢ i ⎥ = ⎢ − sin ϕ cos ϕ ⎥ ⎢ i ⎥ = 11 951 ×⎥ ⎢ ⎥ π t ) ⎣ st ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ s β ⎦ ⎣ − sin ϕ cos ϕ ⎦ ⎣ − cos(100 ⎦
⎡ 0 0311 ⎤ ⎡ 0 3717 ⎤
= 11 951 × ⎢ = ⎢ ( A ) ⎥ ⎥
⎣ − 0 9991 ⎦ ⎣ − 11 9402 ⎦
6-5 根据习题 6-3 得到电流闭环控制后的动态结构图，电流闭环控制等效惯性时间常数
T = 0 001 s ，设计矢量控制系统转速调节器 ASR 和磁链调节器 AψR，其中，ASR 按典型 i
II 型系统设计，AψR 按典型 I 型系统设计，调节器的限幅按 2 倍过电流计算，电动机参数同 习
题 6-4。
解：〔1〕AψR 按典型 I 型系统设计
* ψ r
ΑΨ R r Ti _
* i sm
1
s + 1
i sm
L m T s + 1
ψ r
磁链调节器 AψR 采用 PI 调节器，其传递函数可写成
W A Ψ R =
磁链环开环传递函数为
K τ ψ s + 1 ) ψ (
τ ψ s
L m
( Ti s + 1 )( Tr s + 1 )
= W op ψ
其中转子电磁时间常数
K τ ψ s + 1 ) ψ (
τ ψ s
T = r
L 0 2898 r
= = 0 109( s ) ，电流闭环控制等效惯性时间常数 R 2 658 r
T = 0 001 s ，选择 τ ψ = Tr = 0 109 s ，便校正成典型 I 型系统，因此 i
W op ψ
K K ψ L m Ψ
= = = ，其中： K ； Ψ τ ψ s (T i s + 1) s (T i s + 1 ) τ ψ
1
= 500( s −1 ) ， 2 Ti
K ψ L m
Ψ iT = 0 5 ，则 在一般情况下，希望超调量 σ i ≤ 5% ，可选择 ξ = 0 707 ， K
K = Ψ = ω cψ
K K T 500 × 0 109 Ψτ ψ Ψ r
K = = = = 192 04 ， ψ
L L 0 2838 m m
调节器的限幅按 2 倍过电流计算，磁链调节器 AψR 输出限幅值
*
i = 2 i = 2 × 0 3717 = 0 7434( A ) 。 sm max smN
〔2〕ASR 按典型 II 型系统设计
ψ r
ω *
T L
T e
_
AS
R
i
* st
1 s Ti +1
i st
_
np
L
p m n L
r
ω
Js
ASR
( τ s n τ n s + 1 )
n
转速环开环传递函数为
2 n L n K n ψ r ( τ n s + 1) K ( τ s + 1) 1 p m p n p L m n n
= ψ r = W opn 2
τ n s T s + 1 L Js τ n L Js ( Ti s + 1) i r r
= 令转速环开环增益 K N
K n 2 L ψ n p m r τ n L J r
，则
W opn =
τ n = hT = 5 × 0 001 = 0 005( s ) i
K τ n s + 1) N (
s 2 ( Ti s + 1 )
按跟随和抗扰性能都较好的原则，取中频宽 h=5，则
h + 1 5 + 1 − 2 − 2
= s = 120000 s 2 2 2 2
2 h T 2 × 5 × 0 001 i K N τ n L J 120000 × 0 005 × 0 2898 × 0 1284 r
K = = ≈ 185 365 n 2
n 2 L ψ 2 × 0 2838 × 0 1061 p m r K N =
= K N τ n = 120000 × 0 005 s −1= 600 s −1转速环截止频率 ω cn
调节器的限幅按 2 倍过电流计算，转速调节器 ASR 输出限幅值
*
i = 2 istN = 2 × 11 9402 = 23 8804( A ) st max
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