关于求解多项式方程 韩海清 （湖北理工学院数理学院【摘要】本文对一元多项式求解的方法进行了的研究。重点介绍求 一４３５００３） 个复数根。根据代数基本定理可以推出：复数域上ｎ次多项式 根公式法和因式分解法。引入一元多项式的三次求根公式和四次求根 公式来对一元多项式进行求解，同时也时高次方程近似根的求法做了 一恰有ｎ个复数根，重根按重数计。这一结论也可以用多项式的因 式分解语言来叙述：“复数域上任何ｎ次多项式都可以分解成ｎ个 次式的乘积”。代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定 理，它没有给出求根的具体方法。一个ｎ次方程的求根公式是指， 一些探讨。因式分解法的介绍是通过引入一元多项式因式分解的一些 简便方法来求解一元多项式方程。 【关键词】多项式方程；因式分解法；求根公式法；高次方程 １、引言 其的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也 称这种情况为方程有根式解［２］。 引理１如果ｋ是特征为０的域，则每个不可约多项式ｐ（ｘ】Ｅｋ ［Ｘ］都没有重根。 定义２设Ｋ／ｋ是一个代数扩张。如果不可约多项式ｐ（ｘ）没有 重根，则称ｐ（ｘ）是可分的。对一个任意多项式ｔｌｘ），如果它的每个 不可约因式无重根，则称 ｘ）是可分的。元素ａＥＥ称为可分的，如 果是ａ或是ｋ上的超越元素，而它的极小多项式川ａ，ｋ顶ｊ重根。 域扩张Ｋ／ｋ称为可分扩张，如果它的每个元素都是可分的；Ｋ／ ｋ称为不可分的，如果它不是可分的。 定义３ ｍ型纯扩张是指扩张ｋ 冰，其中对某个ｍ≥１有ｌｌＩｎＥｋ， 代数学史可以说是一部解多项式方程的历史。人们很早就开 始探索高次方程的数值求解法的问题。中国古代，人们已相当系 统地解决了高次方程求解的问题。１１世纪，贾宪《黄帝九章算法 细草》创开方作法本源图，是以立成释锁法解三次或三次以上的高 次方程式。同时，他亦提出了一种更简便的增乘开方法。１３世 纪，由秦九韶《数书九章》完成了正负开方术，更提供了一个用算 筹布列解任何的数字方程的可行计算的算法，可以求出任意次代 数方程的正根。阿拉伯人对高次代数方程亦有所研究，在９世纪， 花拉子米是第一个给出二次方程的一般解法，而在１ １００年，奥玛？ 海亚姆给出了些特殊的三次方程式解法。１５４１年，塔尔塔利亚给 称扩张Ｋ 为根式扩张，如果存在域塔ｋ＝ 其中每个Ｋｉ＋。 都是纯扩张。 Ｋ． ∈Ｋ。＝Ｋ， 一出了三次方程的一般解法。１５４５年，卡尔达诺的名著《大术》一书 中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里的四次方程的 般解法。１７９７年，高斯给出了代数基本定理，证实了高次代数 方程根的存在性。１８１９年，霍纳给出了高次方程数值求根另一种 方法——霍纳法，它的思想和计算程序与秦九韶的算法相近，而类 似的方法在１８０４年鲁非尼也曾提出过。霍纳法有广泛的应用，而 在现代改进形式称为劈因子法。 ２、一元多项式 如果ｕｍ；ａＥｋ，则ｋ（ｕ）是添加ａ的一个ｎ１次根到ｋ得到的。 如果Ｋ Ｃ，则ａ有ｎ１个不同根，即ｕ，ｎ ∞ Ｕ，…，珊 Ｕ，其中 ： ｅ 一是ｎ１次单位原根。更一般地，如果ｋ包含ｒｌ１次单位根，则ｎｌ 型纯扩张ｋ（ｕ），即Ｉｌｎｌ＝ａＥｋ，是】【ｍ．ａ的域。并非Ｃ的每个子 域都包含一切单位根，例如Ｑ中的单位根只有１和．１．因为要寻 找的公式涉及开方，所以假定ｋ包含适当的单位根总归是有利的。 多项式 ）存在求根公式时，是指 ｘ）的系数组成的表达式给 出缸 Ｏ的求根。这个表达式可以使用域的运算、常数、开方，但不涉 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域Ｐ作 为基础。设ｘ是一个符号（或称文字），我们有 定义１设ｎ是以非负整数，形式表达式 ｘ）＝ａＤ）【ｎ＋ａ ）【ｎ 及用到余弦、定积分或极限一类的其他运算［３］。 定义４设￣ｘ）ｃｋ［ｘ］有域Ｅ．如果存在根式扩张ｋ＝Ｋ。Ｃ＿Ｋ， …＋…＋ａ０其中ａｏ，ａ 一，ａ ｎ＿Ｉ，ａ。全属于数域Ｐ中的一元多项式， 或者简称为数域Ｐ上的一元多项式，或者简称为数域Ｐ上的一元 多项式。 设 ＝ａｎｘｎ＋ａｎ．１）【０ ＋…＋ａｏ（ａ ≠０），若ａ ：１，则称ｔｌｘ）为 ＣＫ ＿使得ＥＥＫｔ，我们说缸） 用根式可解。 对每一个域ｋ和每一个ｍ≥１，可证明多项式 ｘ）＝】【ｌｎ．１Ｅｋ［ｘ］ 运用根式可解。回忆由ｆ（ｘ）的域 ，中所有１１１次单位根组成 的集合，＇ｍ是循环群，比如说具有生成元 。注意，Ｉ， Ｉ＝ｒｌｌ，除非 ｋ有特征ｐ＞０且ｐ／ｍ，此时Ｉｆ Ｉ＝ ，其中ｍ＝ｐ。 且Ｐ不整除 ． 首一多项式。常数多项式不是零多项式就是零次多项式。ａ；ｘｉ称 为ｉ次项，ａ；称为ｉ次项的系数。多项式是符号或文字的形式表达 式。如果ａ ≠０那么ａ 称为多项式的首项，ａＤ称为首项系数，ｎ 称为多项式的次数记为 （ ｘ】），零多项式是唯一不定义次数的多项 式，总是假定 ）≠０。当系数ａｏ，ａ －－， …ａ 都是实数时，称ｆ （ｘ１是ｎ次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称ｆ（ｘ）为ｎ次 复系数多项式。如果存在复数ａ，使得 ａ）＝０，就称ａ是ｎ次方程 ｘ１：０的一个根，或称为ｎ次多项式 的一个根。 任给一个一元二次方程 ．现在Ｅ＝ｋ ），因此Ｅ事ｋ的纯扩张，从而Ｅ 是根式扩张。于是ｆ （ｘ１＝ｘⅢ．１运用根式可解。 下面推导三次、四次方程求根公式。 设 １ ＝ ＋ａｘ２＋ｂＸ＋ｃ，令ｋ＝Ｑ（ａ，ｂ，ｃ），作变量替换Ｘ＝ ｘ一÷ａ产生一个新多项式纳＝ ＋ｑｘ＋ ［ｘ］，它和 ）有相同 的域Ｅ，从而 ｘ）运用根式可解当且仅当 ）（）运用根式可解。 不失一般性，设三次方程中 的系数为１，则三次方程为】【３＋ ＋ｂｘ＋ｃ＝０，ａ≠０由韦达定理】【ｌ ２ ／＝ ——＿＝一 ＝＿二 ／一 ｄ ．，那么ａ０）【Ⅱ＋ａｌ ＋…＋ａｎ，ｌｘ＋ａｎ＝ｏ，ａｏ≠０， ＋ｂｘ＋ｃ＝０，其中ａ，ｂ，ｃ是任意复数。若令ｘ＝Ｙ．÷，则三次方程 ｊ 由求根公式吗？德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了 “代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有 ． ——简化为 ＋ｐｙ＋ｑ＝０，其中Ｐ＝ｂ．・｝，ｑ＝ｃ． ＋等，设ｙ１，ｙ２，ｙ３ １４４．．—— 表不简化万程 的根，则话根与万崔糸数的夫糸，得ｙ１＋ｙ２ ｑ－ｙ３ 个猜想被数学家费特（Ｆｅｉｔ）与汤卜松（Ｔｈｏｍｐｓｏｎ）解决，不可解群也 有很多，如ｎ≥５时，ｎ个文字的对称群就是不可解群。 ７ 对ｎ≥５，完全可以构造一个ｎ次多项式，使得它所对应的伽罗 令ｉ令 ｖ＝．÷． ’｛，｛一 ＋三： ＋ ｚ＋ ’则ｚ 一 ｌ 华群不是可解群。因此对每个ｎ≥５，都存在一个不是根式可解的 ｎ次多项式。这样就彻底解决了一般五次以上方程的根式不可解 性。ｎ≤４，根式可解，ｎ≥５一般就不可解了。在Ｏ［Ｘ］中某些五次 ： ， ，于是三次方程的 多项式是运用运用根式可解的，如 ｘ）： ．１是运用根式可解的， 根 ｔ － ＋ ＋ 一 。 ｍ 一 ＋ 这是因为它的伽罗瓦群是阿贝尔群。另一方面，可以给出Ｑ［ｘ］中 的特定五次多项式，它不是运用根式可解的。例如目ｘ）＝）【５—４ｘ＋ Ｙ３＝ｗ２ ２ｅＱ［Ｘ］不是运用根式可解的，这是因为它的伽罗瓦群同构于ｓ ． ，３、因式分解法 其中△＝等＋寿，∞＝． １＋ ｉ。 因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有 给出一个具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普 设《ｘ）＝ ＋ａＸ３＋ｂＸ２＋ｃＸ＋ｄ，令ｋ＝Ｑ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ），作变量替换 遍可行的分解多项式的方法是不存在的［８］。由于实系数多项式 ｘ＝ｘ一÷ａ产生一个新多项式 ＝ ＋ｑ】‘２＋Ⅸ＋ｓＥｋ［ｘ］，此外ｕ 方程的复根都是以共轭对形式存在的，所以实系数多项式可以唯 一地分解为有一次、二次实系数因式的乘积，其中二次因式由共轭 是 的根，则ｕ－ １ ａ是 的根，所以 的域等于氕 的分 复根确定。 通过对多项式进行因式分解直接求根通常是困难的，一般的 裂域。设】（４＋ａ】【３＋ｂ ＋ｃｘ＋ｄ＝Ｏ 处理方法是：先对某一因式进行初始估计，通过构造收敛序列使该 配方得 ＋ ａｘＪ２＝ 一ｂ 一ｃｘ—ｄ两边加上（ ＋ ａｘ）ｔ＋｝ 因式除原多项式方程的一个根ａ．（或一对共轭复根），那么可以用 因式分解的方法消去该根，从而得到一个ｎ．１次（或ｎ．２）的多项 ，得 式方程，继续求解。使用因式分解定理的经典求根算法有最优分 ＋芋＋÷）２＝（等＿ｂ＋ｔ）ｘ２＋‘ ａｔ—ｃ）ｘ＋ －ｄ） 解法、辗转相除法等。 设 ＋ｂ）【３＋ ＋ｄ）【＋ｅ为整系数四次多项式，且ａ ａ２＝ａ， 适当选择ｔ使右边二次式的判别式为０，即 ｅｌｅ２＝ｅ，贝４有ａ）【４＋ｂ】 ＋ｃ ＋ｄｘ＋ｅ＝（ａＩ ｘ２＋ＣｌＸ＋ｅ１）（ａ２】 ＋Ｃ２Ｘ ・ｃ）２－４ －ｂ＋Ｄ 一ｄ）＝０是关于ｔ的三次方程，设ｔ０ ＋ｅ２）。 由于四次整系数多项式总可以分解成二个二次整系数多项 是式任一根，代人式后得（ ＋ ａｘ＋ ｔｏ Ｊ２＝（√等．ｂ＋ｔｏｘ＋ 式，因此上述步骤总是可以实现的。 ４、总结和展望 √ ＿ｄ） 本文主要通过求根公式法法和因式分解法来求解一元多项式 方程根的问题，同时也多高次方程近似根进行了一些探讨。解多 项式方程是一个不断分离未知数与已知数据的过程。对于高次方 峙＋ ＋专＋压一 程求解时，多项式实根求解在现阶段主要分为数值方法求解和符 号计算方法求解两种情况。目前国际上对于使用符号计算方法进 行多项式实根求解的研究越来越多，这些算法都基于Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ符 ＋嗤． 峙． ：。 号法则，并由其衍生出两种方案：Ｆｏｕｒｉｅｒ定理和Ｂｕｄａｎ定理［９］。 原四次方程的４个根。被化为两个二次方程来求根。 由Ｆｏｔｒｉｅｒ定理推导出了Ｓｔｔａ＇ｍ定理（１８２９），而由ａｌｍａ定理则推导 综上所述，对于次数不超过４的方程，都可以找到根的计算公 出了Ｖｉｎｃｅｎｔ定理（１８３６）［１１］。目前的两种主要算法分别基于 式，使得方程的每个根可以用方程的系数经过加减乘除和开方运 Ｓｔｔｒｍ定理和Ｖｈａｃｅｒａ定理。这算法渗透着基本数学思想是基础知 识的灵魂，对今天的学习数学、发展能力并开发智力都有至关重要 算表示出来。做这件事就叫做根式求解。由四次方程根式可解， 许多著名的数学家都相信任意的五次方程也一定可以根式求解。 的作用。 直到１８１３年，拉格朗日的学生Ｒｌｘ［￣终于证明了，通过找预解式的 办法来求解五次方程是行不通的。１８２６年阿贝尔发表了《五次方 【参考文献】 程代数解法不可能存在》一文，第一个正式从否定的角度来谈求根 ［１］徐德余．高等代数［Ｍ］．四川大学出版社，２００５ 公式的存在。伽罗华的天才思想发展了抽象代数这门学科。要了 ［２］许莆华，张贤科．高等代数解题方法［Ｍ］．清华大学出版社，２００２ 解伽罗华的理论，需要群、环和域等抽象代数的理论知识。伽罗华 ［３］李庆芹，黄克芬．一类高次方程的解法［Ｊ］．昆明冶金高等专科学校学 的思想就是把方程ｆｘ）＝０的求解问题转化为确定对应的伽罗华 报２ｏｏｏ（４１ 群，是否为可解群的问题。当对应的伽罗华群是可解群，则方程就 ［４］薛瑞，冯志敏．有限群可解的若干充分条件［Ｊ］．曲阜师范大学学报 是可以根式求解的，否则就不可以根式求解。可解群是群的理论 （自然科学版），２００９（４） 中一个重要内容，也有许多方法来确定一个群是否为可解群［４］。 ［５］王晓陵．高次实系数代数方程的因子有化解［Ｊ］．哈尔滨工程大学学 有一个著名的伯恩赛（Ｂｔｎ＇ｍｉｄｅ）猜想：奇数阶有限群是可解群。这 报，２００４ ０） 一１４５—
