盐水稀释

在甲、乙两个大桶内各装有100升的盐水（两桶均为装满），其浓度均为5g/L，先用一根细管将净水以2l/ min 速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2l/min速度输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出），然后再用细管以1l/min速度从乙桶将混合输出，问时刻t乙桶内盐水的浓度是多少？

二、问题的求解

设y1(t),y2(t)分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。

先分析甲桶：任取一段时间t,tt，则该时段甲桶内盐的改变量为

y1(tt)y1(t)0.2ty1(t)2t 100 两边同除以t，并令t0，得初值问题

1dy1y1(t) （5.1.5） dt50y1(0)500 这就是甲桶中盐含量的数学模型。 对（5.1.5）式分离变量并积分，可得

y1(t)500et50

它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。

现分析乙桶：同理在任意时间段t,tt内乙桶内盐的改变量为

y2(tt)y2(t)流入量－流出量y1(t)y2(t)2t－1t 100100(21)t两边同除以t，并令t0，得初值问题

11dy2y1(t)y2(t) （5.1.6） dt50100ty2(0)500这就是乙桶中盐含量的数学模型。 将y1(t)500et50代入（3.1.6）并整理得

tdy21y2(t)10e50 （5.1.7） dt100ty2(0)500求解此一阶线性微分方程，得

t150y2(t)125000500(150t)e

100t所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为

y2(t)1100t(100t)2t50125000500(150t)e(g/L) 