通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

第二章习题

习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：

X(t)2cos(2t), t

式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5 试求E[X(t)]和RX(0,1)。

解：E[X(t)]=P(=0)2cos(2t)+P(=/2)2cos(2t2)=cos(2t)sin2t

cost

习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：

X(t)2cos(2t), t

判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

RX()limT1T/2T/2X(t)X(t)dtT1/2limTTT/22cos(2t)*2cos2(t)dtT2cos(2)ej2tej2t

j2fj2tP(f)dej2t)ej2fdRX()e(e(f1)(f1)

习题2.3 设有一信号可表示为：

4exp(t) ,t0X(t){

0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：

jt(1j)tX()dt04etejtdt40edtx(t)e4 1j4162则能量谱密度 G(f)=X(f)= 221j14f2

习题2.4 X(t)=x1cos2tx2sin2t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2。试求：

(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)

解：(1)EXtEx1cos2tx2sin2tcos2tEx1sin2tEx20

PX(f)因为x1和x2相互独立，所以Ex1x2Ex1Ex2。

页脚.

22。 又因为Ex1Ex20，2Ex12E2x1，所以Ex12Ex2故 EX2tcos22tsin22t22

(2)因为x1和x2服从高斯分布，Xt是x1和x2的线性组合，所以Xt也服从高斯分布，其概率分布函数pxz2。 exp2221(3)RXt1,t2EXt1Xt2E(x1cos2t1x2sin2t1)x1cos2t2x2sin2t2 2cos2t1cos2t2sin2t1sin2t2 2cos2t2t1

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)fcos22f； (2)afa； (3)expaf可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X(t)=Acost的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+)=E[X(t)X(t+)] =EAcost*Acos(t)

12A2AEcoscos(2t)cosR() 222

解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。

A2功率P=R(0)=

2

习题2.7 设X1t和X2t是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1和RX2。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。

解：

(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t)X2(t)]

=EX1(t)X1(t)EX2(t)X2(t)=RX1()RX2()

习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)cost，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为

104f2,10 kHZf10 kHZPX(f) 0,其它(1)试画出自相关函数RX()的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。

页脚.

1, 1001 解：(1)Rx10,其它其波形如图2-1所示。

1 0 1 Rx12图2-1信号波形图

(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PXRX。由图2-8可见，RX的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此

Px1100Sa2122212020SaSa422

1P2

Pxd11,或SRx0 22sinf。试求此信号的自相关函数f2习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。

解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=

2sinf f1, 10j2fdf101 其自相关函数RXG(f)e0,其它

习题2.10 已知噪声nt的自相关函数Rnk-ke，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pnf和功率P；(2)画出Rn和Pnf的曲线。 解：(1)Pn(f)Rn()ejdkkjk2eed2 2k(2f)2页脚.

PRn0k2

(2)Rn()和Pnf的曲线如图2-2所示。

习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：

Rn1 Pnfk20 0 图2-2

fR()1, 11

试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 解：详见例2-12

习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为

104f2,10 kHZf10 kHZ PX(f)0,其它试求其平均功率。

解：P

PX(f)df210*1030f310fdf2*10*342410402*108 3et/,t0习题2.13 设输入信号x(t) ，将它加到由电阻R和电容C组成的高

0,t0通滤波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的系统函数为

H(f)=X(t)2cos(2t), t

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=

输出信号y(t)的能量谱密度为

Gy(f)Y(f)X(f)H(f)(R22111j2f

j2fC R R1j2fC)(11j2f)

图2-3RC 高通滤波器

习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=dx(t)/dt式中，为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).

页脚.

解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*j2f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2f

习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2解：参考例2-10

习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为

n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 2L C H(f)=

j2fC2j2fCj2fL1142f2LC2

图2-4LC低通滤波器

n01 221LCCnC对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R0()0exp()

4LL输出过程的功率谱密度为P0()Pi()H()(2) 输出亦是高斯过程，因此 2R0(0)R0()R0(0)

习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2n0 4RCCn0 4L解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 , y2R0(0)所以输出噪声的概率密度函数

py(x)12x2RCexp()

n0n02RC

习题2.18设随机过程(t)可表示成(t)2cos(2t)，式中是一个离散随变

R(0,1)量，且p(0)1/2、p(/2)1/2，试求E[(1)]及。

页脚.

解：E[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;

R(0,1)E[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2习题2.19设

Z(t)X1cosw0tX2sinw0t是一随机过程，若

X1和

X2

是彼此独立且

2具有均值为 0、方差为的正态随机变量，试求： 2E[Z(t)]； E[Z(t)]（1）、

（2）Z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）

B(t1,t2)和

R(t1,t2)。

解： （1）

E[Z(t)]E[X1cosw0tX2sinw0t]cosw0tE[X1]sinw0tE[X2]0

因为

X1和

X2是彼此独立的正态随机变量，

X1和

X2是彼此互不相关，所以

E[X1X2]0

E[Z2(t)]E[X12cos2w0tX22sin2w0t]cos2w0tE[X12]sin2w0tE[X22]

E[X1]0D(X1)E[X12]E[X22]2E[X12]2又;

同理

E[X22]2

22E[Z(t)]代入可得

（2）

22E[Z(t)]E[Z(t)]由=0； 又因为Z(t)是高斯分布

1z2f[Z(t)]exp(2)22 2可得 D[Z(t)]

(3)

B(t1,t2)R(t1,t2)E[Z(t1)]E[Z(t2)]R(t1,t2)

E[(X1cosw0t1X2sinw0t1)(X1cosw0t2X2sinw0t2)]

E[(X12cosw0t1cosw0t2X22sinw0t1sinw0t2)]2cosw0(t1t2)2cosw0令

t1t2

习题2.20求乘积Z(t)X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为解：

页脚.

Rx()、

Ry()。

因X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]E[X]E[Y]

RZ()E[Z(t)Z(t)]E[X(t)Y(t)X(t)Y(t)] E[X(t)X(t)]E[Y(t)Y(t)]RX()RY()

习题2.21若随机过程

Z(t)m(t)cos(w0t)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关

1,10Rm()1,010,其它Rm()函数为 是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼

此统计独立。

（1） 证明Z(t)是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数（3） 求功率谱密度

解：

（1）Z(t)是宽平稳的E[Z(t)]为常数；

E[Z(t)]E[m(t)cos(w0t)]E[m(t)]E[cos(w0t)]RZ()的波形；

PZ(w)及功率S 。

RZ(t1,t2)E[Z(t1)Z(t2)]E[m(t1)cos(w0t1)m(t2)cos(w0t2)]01[22cos(wt)d]E[Z(t)]00

E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1)cos(w0t2)]E[m(t1)m(t2)]Rm(t2t1)

只与

t2t1有关：

令

t2t1

cosw0*E[cos2(w0t1)]sinw0*E[cos(w0t1)sin(w0t1)]1cosw0*E{[1cos2(w0t1)]}02

E{cos(w0t1)[cos(w0t1)cosw0sin(w0t1)sinw0}E{cos(w0t1)cos[w0(t1)]}

1cos(w0)2

1RZ(t1,t2)cos(w0)*Rm()2所以只与有关，证毕。

（2）波形略；

页脚.

12(1)cos(w0),1011RZ()cos(w0)*Rm()(1)cos(w0),01220,其它

PZ(w)RZ()

而

RZ()的波形为

可以对

Rm()求两次导数，再利用付氏变换的性质求出

Rm()的付氏变换。

Rm''()(1)2()(1)Pm(w)sin(w/2)wSa2()w/22

ww0ww01PZ(w)[Sa2()Sa2()]422 功率S：

SRZ(0)1/2

Rn()aexp(a)P(w)2，a为常数： 求n和S；

习题2.22已知噪声n(t)的自相关函数

解：

因为

exp(a)2aw2a2

aa2Rn()exp(a)Pn(w)22wa2 所以

SR(0)a2

习题2.23(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数

R()1。试求(t)的功率谱密度

P(w) 。

wR()1Sa2()2 解：见第2. 4 题

页脚.

因为

T(t)n(t2n) 所以

(t)R()*T(t)

据付氏变换的性质可得

P(w)PR(w)F(w)而

T(t)n(t2n)n(wn)2w2wnP(w)P(w)F(w)Sa()*(wn)Sa()*nn(wn)R22故

习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为频率为

wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角

、带宽为B的理想带通滤波器上，如图

（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）

Po(w)H(w)Pi(w)2n0H(w)2

G2B(w)BSa(B)因为w0又

G2w0(w)Sa(w0),故

H(w)G2B(w)*[(wwc)(wwc)]

(wwc)(wwc)1cos(wc)

1F1(w)*F2(w)2

由 付氏变换的性质 可得

f1(t)f2(t)n0nH(w)0G2B(w)*[(wwc)(wwc)22R()n0BSa(B)cos(wc)Po(w)（2）

E[o(t)]0；

R(0)E[02(t)]Bn0；

R()E2[o(t)]0

所以

2R(0)R()Bn0

页脚.

又因为输出噪声分布为高斯分布

可得输出噪声分布函数为

1t2f[0(t)]exp()2Bn2Bn00

n0/2习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。

解：

11jwCH(w)1jwRC1RjwC

的白噪声

(1)

PO(w)Pi(w)H(w)2n01*21(wRC)2

(2) 因为

exp(a)po(w)2aw2a2

所以

n0n01*R()exp()O22(wRC)14RCRC

n0/2习题2.26将均值为0，功率谱密度为

高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，

（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。

RRjwL

2解：

H(w)

Rn0n0R2Po(w)Pi(w)H(w)*2RO()exp()22R(wL)4LL(1)

(2)

E[n0(t)]0；

n0R4L

Tb2R(0)R()R(0)习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取1的概率相等。现假设任一间隔且过程具有宽平稳性，试证：

0,TbR(t)1/Tb,TbTb，脉冲

波形取值与任何别的间隔取值统计无关，

（1） 自相关函数

页脚.

2P(w)Tb[Sa(fTb)]（2） 功率谱密度

解： （1）

。

R()E[(t)(t)]

R()①当②当

TbTb时，(t)与(t)无关，故

=0

2Tb时，因脉冲幅度取1的概率相等，所以在

，该波形取-1 -1、

11 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。

（A） 波形取-1-1、11 时，

1R()E[(t)(t)]*11/4Tb4在图示的一个间隔，

（B） 波形取-1 1、1 -1 时，

1TbR()E[(t)(t)]*()Tb4TTb b在图示的一个间隔，

11TR()E[(t)(t)]2*2*(b)1Tb44TbTbTb 当时，

0,TbR(t)1/Tb,Tb 故

（2）

页脚.

面积。所以

R()p(w)TbSa2(wTb)2。

A2wASa()24,其中2为时域波形的

习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，(t)是平稳的，求

1(t)与2(t)的互功率谱密度的表示式。

（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）

解：

1(t)(t)h1()d00

R12(t1,t1)E[1(t1)2(t1)]2(t)(t)h2()d

E[(t1)h1()d(t1)h2()d]00h1()h2()R()dd00

所以

P12(w)R12()ejwddjwd[h()h()R()ed12'令

jwjwP12(w)h()e0dh()e0d[R(')ejwd'H1*(w)H2(w)P(w)'

习题2.29若(t)是平稳随机过程，自相关函数为相关函数及功率谱密度。

解：

R()，试求它通过系统后的自

1/2h(t)(t)(tT)H(w)1ejwT H(w)(22coswT)

PO(w)H(w)P(w)2(1coswT)P(w)2

jwTjwTP(w)2P(w)2coswT*P(w)2P(w)(ee)PO(w)页脚.

2R()R(T)R(T)

n0/2

习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。

解：

E[n0(t)]0;

n0n0n012*R()exp()021(wRC)24RCRC4RC

又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为

P0(w)1x2f[x]exp(2)2 2

页脚.