2020-2021学年安徽省合肥五十中望岳校区九年级(上)第一次月考数学试卷

月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．（4分）A．1的倒数是( ) 20201 2020B．

1 2020C．2020 D．2020

2．（4分）下列运算正确的是( ) A．aa3a4

B．2aa2

C．(a2)5a7

D．(3b)26b2

3．（4分）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是( ) A．120106

B．12103

C．1.2104

D．1.2105

4．（4分）若方程x23x10的两根为x1，x2，则A．3

B．3

11的值为( ) x1x21D．

31C．

35．（4分）如果关于x的方程A．3 6．（4分）函数yA．x3

2m有增根，那么m的值等于( ) 1x3x3B．2 C．1 D．3

x3中，自变量x的取值范围是( ) x1B．x3且x1 C．x1 D．x3且x1

7．（4分）如图所示，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且SABC4cm2，则S阴影等于( )

A．2cm2

B．1cm2

1

C．cm2

2

1D．cm2

48．（4分）如图为抛物线yax2bxc的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OAOC1，则下列关系正确的是( )

A．ab1

B．ab1

C．b2a

D．ac0

9．（4分）如图，A、B是双曲线y

k

上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂x

足为C，连接OA，若ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为( )

A．

4 38B．

3C．3 D．4

110．（4分）如图，一次函数yx2的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点

2的横坐标为a(0a4且a2)，过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，AOC、BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是( )

A．S1S2

B．S1S2

C．S1S2

D．无法确定

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）分解因式：3m(2xy)23mn2 ． 12．（5分）分式方程

51的解是 ． x2x2224xx的图象与正比例函数y2x的图象交于点

33313．（5分）如图，已知二次函数y1A(3,2)，与x轴交于点B(2,0)，若0y1y2.则x的取值范围是 ．

14．（5分）如图所示，直线OP经过点P(4，43)，过x轴上的点1、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2Sn，则Sn关于n的函数关系式是 ．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） xy215．（8分）解方程组：23．

2x3y283x4x16．（8分）解不等式（组)x12x1，并把解集在数轴上表示出来．

52四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件)与销售单价x（元)的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大，最大值是多少？

18．（8分）观察下列等式： 第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3第4个等式：a4111(1)； 13231111()； 352351111()； 572571111()． 79279

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5  ；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an (n为正整数）； （3）求a1a2a3a4a2020的值．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地道宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后

的最大高度为多少？

20．（10分）如图，已知点A(8,n)，B(3,8)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积，

mx（3）求方程kxbm； 0的解（请直接写出答案）

xm． 0的解集（请直接写出答案）

x（4）求不等式kxb

六、（本题满分12分）

21．（12分）如图，在等边ABC中，D是CB延长线上一点，E是AD上一点，且AEAB，

EB、AC的延长线相交于点F．

（1）求证：D2F；

（2）探究线段AD、BD、CF的数量关系，并说明理由； （3）若DE4，CF12，求BD的长．

七、（本题满分12分） 22．（12分）已知双曲线y

k1与直线yx相交于A、B两点．第一象限上的点M(m,n)（在x4A点左侧）是双曲线y

NC//x轴交双曲线yk

上的动点．过点B作BD//y轴交x轴于点D．过N(0,n)作x

k于点E，交BD于点C． x（1）若点D坐标是(8,0)，求A、B两点坐标及k的值．

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

八、（本题满分14分） 23．（14分）如图，抛物线y12与y轴交于C点，且A(1,0)． B两点，xbx2与x轴交于A，

2（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．（4分）12020的倒数是( ) A．112020 B．

2020 C．2020 D．2020

【解答】解：12020的倒数是2020， 故选：C．

2．（4分）下列运算正确的是( ) A．aa3a4

B．2aa2

C．(a2)5a7

D．(3b)26b2【解答】解：选项A，根据同底数幂的乘法法则可得aa3a4，选项A正确； 选项B，根据合并同类项法则可得2aaa，选项B错误； 选项C，根据幂的乘方的运算法则可得(a2)5a10，选项C错误； 选项D，根据积的乘方的运算法则可得(3b)29b2，选项D错误． 故选：A．

3．（4分）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是( A．120106

B．12103

C．1.2104

D．1.2105

【解答】解：0.000121.2104． 故选：C．

4．（4分）若方程x23x10的两根为x1，x2，则11xx的值为( ) 12A．3

B．3

C．113

D．3

【解答】解：由根与系数的关系得：x1x2ba3，xc1x2a1．

1x1xx1x23．故选B． 12x1x25．（4分）如果关于x的方程2x31mx3有增根，那么m的值等于( ) A．3

B．2 C．1 D．3

【解答】解：方程两边同乘以x3，得 2x3m①．

)

原方程有增根， x30，

即x3． 把x3代入①，得 m2．

故选：B． 6．（4分）函数yA．x3

x3中，自变量x的取值范围是( ) x1B．x3且x1 C．x1 D．x3且x1

【解答】解：根据题意得，x30且x10， 解得x3且x1． 故选：B．

7．（4分）如图所示，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且SABC4cm2，则S阴影等于( )

A．2cm2

B．1cm2

1

C．cm2

2

1D．cm2

411【解答】解：S阴影SBCESABC1cm2．

24故选：B．

8．（4分）如图为抛物线yax2bxc的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OAOC1，则下列关系正确的是( )

A．ab1

B．ab1

C．b2a

D．ac0

【解答】解：A、由图象可知，当x1时，y0，即ab10，所以ab1，故A不

正确；

B、由抛物线与y轴相交于点C，可知道C点的坐标为(0,c)，

又因为OCOA1， 所以C(0,1)，A(1,0)， 把它代入yax2bxc， 即a(1)2b(1)10， 即ab10， 所以ab1． 故B正确； C、由图象可知，b1，解得b2a，故C错误； 2aD、由图象可知，抛物线开口向上，所以a0；又因为c1，所以ac0，故D错误．

故选：B．

9．（4分）如图，A、B是双曲线y

k

上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂x

足为C，连接OA，若ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为( )

A．

4 38B．

3C．3 D．4

【解答】解：过点B作BEx轴于点E，

D为OB的中点，DC//BE，

OCCE，

CD是OBE的中位线，即CD1BE． 2kkkkk设A(x,)，则B(2x,)，CD，AD，

2xx4xx4xADO的面积为1，



11kk8ADOC1，()x1，解得k， 22x4x3故选：B．

110．（4分）如图，一次函数yx2的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点

2的横坐标为a(0a4且a2)，过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，AOC、BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是( )

A．S1S2

B．S1S2

C．S1S2

D．无法确定

【解答】解：由一次函数图象可得出A(2,1)， 1则S1211，

2111S2a(a2)(a2)21

224又0a4且a2， S21S1，

故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）分解因式：3m(2xy)23mn2 3m(2xyn)(2xyn) ． 【解答】解：3m(2xy)23mn23m[(2xy)2n2]3m(2xyn)(2xyn)． 故答案为：3m(2xyn)(2xyn)． 12．（5分）分式方程

151的解是 x ．

2x2x【解答】解：方程两边同乘x(x2)，

得5xx2， 解得x将x1． 21代入x(x2)0． 21是原方程的解． 21． 22224xx的图象与正比例函数y2x的图象交于点

333所以x故答案为：x13．（5分）如图，已知二次函数y1A(3,2)，与x轴交于点B(2,0)，若0y1y2.则x的取值范围是 2x3 ．

【解答】解：二次函数y1与x轴交于点B(2,0)，

由图象得：若0y1y2，则x的取值范围是：2x3．

2224xx的图象与正比例函数y2x的图象交于点A(3,2)，

333故答案为：2x3．

14．（5分）如图所示，直线OP经过点P(4，43)，过x轴上的点1、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2Sn，则Sn关于n的函数关系式是 Sn3(8n4) ．

【解答】解：过P作PEx轴， 直线OP经过点P(4，43)， OE:PE4:431:3，

OB:ABOD:CDOG:FGOK:HKON:MNOQ:QT1:3 OB1，OD3， AB3，CD33，

S1(333)2243，

同理：S2(5373)22123， S3(93113)22203，

由以上面积可发现：Sn3(8n4)， 故答案为：3(8n4)．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） xy215．（8分）解方程组：23．

2x3y283x2y12①【解答】解：原方程可化为：，

2x3y28②①2②3得，5y60，解得y12，代入①得，3x2412，解得x4， x4故此方程组的解为：．

y123x4x16．（8分）解不等式（组)x12x1，并把解集在数轴上表示出来．

523x4x①【解答】解：x12x1，

②25解不等式①，得：x2， 解不等式②，得：x3， 则不等式组的解集为2x3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：

．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件)与销售单价x（元)的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大，最大值是多少？

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为： ykxb

函数图象经过点(60,400)和(70,300) 40060kb，

30070kbk10解得

b1000（4分） y10x1000．

（2）P(x50)(10x1000)P10x21500x50000（6分） 自变量取值范围：50x70．（7分） b150075，a100 2a20函数P10x21500x50000中，a100，

函数图象开口向下，对称轴是直线x75，

50x70，此时P随x的增大而增大，

当x70时，P最大值6000．（10分）

18．（8分）观察下列等式： 第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3第4个等式：a4111(1)； 13231111()； 352351111()； 572571111()． 79279

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5

1

 ； 911

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an (n为正整数）； （3）求a1a2a3a4a2020的值． 【解答】解：（1）由所给式子，可得a5故答案为：

1111()， 91129111111，()； 91129111111()， （2）an(2n1)(2n1)22n12n1故答案为：

1111()；

(2n1)(2n1)22n12n1（3）a1a2a3a4a2020 1111 1335574039404111111111(1) 2335574039404111(1) 2404114040 240412020． 4041五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地道宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后

的最大高度为多少？

【解答】解：根据题意知，A(2,4.4)，B(2,4.4)，设这个函数为ykx2． 将A的坐标代入，得y1.1x2，

E、F两点的横坐标分别是1.2和1.2，

将x1.2代入函数式，得

y1.6，

GHCHCG4.41.62.8m，

因此这辆汽车装货后的最大高度为2.8m．

20．（10分）如图，已知点A(8,n)，B(3,8)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积， （3）求方程kxbm； 0的解（请直接写出答案）

xm． 0的解集（请直接写出答案）

xmx（4）求不等式kxb

【解答】解：（1）B(3,8)在反比例函数y8m图象上， xm24，m24，反比例函数的解析式为y，

x324，n3， x把A(8,n)代入y设一次函数解析式为ykxb， 3kb8， 8kb3k1解得，，

b5一次函数解析式为yx5．

（2）x50，x5， 点C的坐标为(5,0)，

AOB的面积AOC的面积BOC的面积 1155． 5358222（3）点A(8,3)，B(3,8)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y方程kxbm0的解是：x18，x23， xm， xm图象的两个交点， x（4）由图象可知，当x8或0x3时，kxb不等式kxbm0的解集为：x8或0x3． x六、（本题满分12分）

21．（12分）如图，在等边ABC中，D是CB延长线上一点，E是AD上一点，且AEAB，

EB、AC的延长线相交于点F．

（1）求证：D2F；

（2）探究线段AD、BD、CF的数量关系，并说明理由； （3）若DE4，CF12，求BD的长．

【解答】（1）证明：如图，在CF上截取CT，使得CTBD，连接BT．

ABC是等边三角形，

ABBC，ABCACB60， ABDBCT120，

在ABD和BCT中， BACBABDBCT， BDCTABDBCT(SAS)，

DCTB，DABCBT，

AEAB， AEBABE，

FAEBFAE180，BAC60， FAEBEAB60180， TBFCBTABCABE180， TBFAEBBAD60180，

TBFF，

CTBTBFF，

D2F．

（2）解：结论：CFBDAD． 理由：由（1）可知，ABDBCT，

ADBT， TBFF， TBTF，

CFCTTF，BDCT， CFBDAD．

（3）解：如图，在CF上截取CT，使得CTBD，连接BT．过点T作TRDC交DC的延长线于R．

设BDCTx，AEBCACABy，则ADBTTC4y， 在RtCTR中，R90，TCRACB60，CTx， CR31x， x，TR22在RtBTR中，BT2BR2RT2， (4y)2(y1232x)(x)， 22又CF12， x4y12， y8x， (12x)2(8xx5， BD5．

1232x)(x)， 22七、（本题满分12分）

22．（12分）已知双曲线y

k1与直线yx相交于A、B两点．第一象限上的点M(m,n)（在x4A点左侧）是双曲线y

NC//x轴交双曲线yk

上的动点．过点B作BD//y轴交x轴于点D．过N(0,n)作x

k于点E，交BD于点C． x（1）若点D坐标是(8,0)，求A、B两点坐标及k的值．

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

【解答】解：（1）D(8,0)，

1B点的横坐标为8，代入yx中，得y2．

4B点坐标为(8,2)．

A、B两点关于原点对称，A(8,2)．

kxy8216；

（2）

N(0,n)，B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

nmnk，B(2m,)，C(2m,n)，E(m,n)．

21111S矩形DCNO2mn2k，SDBOmnk，SOENmnk，

2222S四边形OBCES矩形DCNOSDBOSOENk4． k4．

n41B(2m,)在双曲线y与直线yx上

2x4n1(2m)42m12m22得（舍去） n2n2n12(2m)()42C(4,2)，M(2,2)．

设直线CM的解析式是yaxb，把C(4,2)和M(2,2)代入得：

4ab2 2ab2.解得ab2． 322x． 33直线CM的解析式是y

八、（本题满分14分） 23．（14分）如图，抛物线y12与y轴交于C点，且A(1,0)． B两点，xbx2与x轴交于A，

2（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值．

【解答】解：（1）点A(1,0)在抛物线y

12xbx2上， 2132(1)b(1)20，解得b 22123xx2． 22抛物线的解析式为yy123xx2 221(x23x4) 21325， (x)2228顶点D的坐标为(，3225)． 8

（2）当x0时y2，C(0,2)，OC2．

13当y0时，x2x20，x11，x24，B(4,0)

22OA1，OB4，AB5．

AB225，AC2OA2OC25，BC2OC2OB220， AC2BC2AB2．ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C(0,2)，OC2，

连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MCMD的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．

ED//y轴，OCMEDM，COMDEM

△COM∽DEM． 

OMOC EMEDm3m22， 258m24． 41

解法二：设直线CD的解析式为ykxn， n2则325，

kn82n2解得：41．

k12y41x2． 124124． x20，x1241当y0时，m24． 41