高数期末考试题.

往届高等数学期终考题汇编

2009-01-12

一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限limx01xln(1ex).

222.设yxx2a2a2lnxxa,求dy.



2d2yx2tt3.设，求2.

3dxy3tt

e2nn!0的敛散性. 4.判定级数nn1n

5.求反常积分01arcsinxx1xdx.

6.求xarctanxdx.

7.0sinxsin3xdx.

x,x2在,上展为以2为周期的付里叶级数，并指出收敛于fx的区8.将f(x)0,x2间.

9.求微分方程ydx(x24x)dy0的解.

10.求曲线xy1与直线x1,x2,y0所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将fxln4x5展开为x2的幂级数,并指出其收敛域.

三.(9分)在曲线ysinx20x1上取点Aa,sina2,0a1,过点A作平行于ox轴的直线L,由直线L,oy轴及曲线ysinx20xa所围成的图形记为S1,由直线L,直线x1及曲线ysinx2ax1所围成的图形面积记为S2,问a为何值时,SS1S2取得最小值.

四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数x2enx在0,)上一致收敛.

n0（2）求幂级数(1)n12n122n1x2n2的收敛域及和函数.

bn1六.(6分)设fxC2a,b,试证存在a,b,使afxdxbafab1ba3f 224

1

2008．1．15

一．解答下列各题(6*10分):

1.计算极限 limx0exx2x2sin3x.

2.设ye2xxlog2xarctan5,求dy.

xlncost,d2y3.设. 0t,求2ysinttcost;2dxt33n4.判定级数n的敛散性.

n1n2lnxdx. 5.计算反常积分1x22xsinxdx. 6.计算不定积分cos3x1dx7.计算定积分

1e0x2.

8.求函数fx9.求微分方程1ydxxyydy0的通解.

23221,0x1在0,2上展成以4为周期的正弦级数.

2,1x210.求由曲线yx7及y3x5所围成的图形绕ox轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二.(9分)证明:当x0时,有

1x2ln1x114xarctanx2ln1x2.

22三.(9分) 设抛物线yaxbxa0通过点M1,3,为了使此抛物线与直线y2x所围成

的平面图形的面积最小,试确定a和b的值.

四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五．（8分）求幂级数

n1nx的收敛域及其和函数. n2n!n0x0六.(6分)设函数fx在x0的邻域内有连续的一阶导数,且limfxaa0,

x 2

证明:

1n1n11f条件收敛. n

2007年1月

一. 计算下列各题(6*10分):

exln1x11．计算极限lim.

x0xarctanx2. 设yarcsin1x2, 求dy.

xteu2du.dy03. 设求

ydxesinty10.n4. 判定级数n143.

x0n的敛散性.

5. 计算反常积分

6设lnx1x2为fx的原函数, 求xfxdx.

1x1dxx.

1, 0x;27. 将fx展开成以2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别

0, x.235在x和x两点的收敛值.

228. 将函数fxlnx展开为x2的幂级数,并指出其收敛域.

9求微分方程x1y2yx12的通解.

710. 求抛物线x5y2与x1y2所围图形的面积.

1et2dtcosx, x0;二. (9分) 若函数fx在x0点可导. 求a和f0.

x x0.a, 三. (9分) 在曲线yexx0上求一点x0,ex0,使得过该点的切线与两个坐标轴所围

平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.

四(8分)半径为R的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H为多少? 五.(8分)求幂级数nn1x的和函数并求出级数nn1nn1n1六. (6分) 已知函数fx在0,上可导, 且f01并满足等式

3

1的和. n2

fxfx

1xxftdt0, 求并证明fxefx1 x0.

x102006年1月

一. 计算下列各题(6*10分):

tanxsinx 3x0xx12.设yarctantan, 求dy.

221. limx2x0e, 3.设fx2, 求fx1dx.

1x1, x01n1的敛散性. nn2n15. 设yyx由方程ytanxy所确定,求y.

4. 判定级数6.计算不定积分

n221e7. 将fx2x, x,展成以2为周期的傅立叶级数.

18. 将函数fx2展成x4的幂级数, 并指出收敛区间.

x3x29. 求微分方程xy3yx4ex的通解.

10. 设曲线yax2a0,x0与y1x2交于点A, 过坐标原点O和点A的直线与曲线yax2围成一个平面图形. 问: 当a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所产

生的旋转体体积最大?

二. (8分) 证明不等式: 当x0时, xx1, 01. 三. (9分). 设fx1e2xx2dx.

x21edt, 求xfxdx.

t2031四. (9分). 一物体在某一介质中按xct作直线运动,已知介质的阻力与物体速度的

平方成正比, 计算物体由x0移动到xa时克服阻力所作的功.

1的和. nn0n13六. (5分). 设fx0, xa,b, 证明:

b1fafbab f. fxdxa22ba五. (9分) 求级数



4

2005年1月15日

一. 解答下列各题（6×10分）

exsinxxx11． 计算极限lim x0xsinxx1x21lnxx21，求dy. 2． 设y22x2, xx03． 设fx在x0处可导,求常数a和b.

axb, xx04． 判定级数

n11n1n的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?

3n5． 设yyx由方程y1ln(xy)ey所确定,求y. 6． 设fx连续,且满足

7． 求fx2x33x212x1的极值. 8． 计算不定积分9． 计算定积分

1x310 ftdtx.求f26?.

xdx4lnxxdx.

2.

arctan0210． 求由曲线yx1, 直线y0,x0, x1所围成的平面图形绕y轴旋转一周所

产生的旋转体的体积.

x3二. (8分). 试证明不等式x0,时, tanxx.

321三. (9分) 将函数fx展成x3的幂级数,并指出收敛区间. 22xx3四. (9分) 已知fx在x12的邻域内可导, 且limfx0,limfxx12x122005. 2t12fududt12tlim 求极限. x1212x3n1n五.(8分) 求幂级数x的收敛域及和函数.

n!n0六. (6分) 设fx在0,1上连续, 在0,1内可导, 且0fx1, f00.

113 证明 fxdxfxdx

002x 5

2004年1月

一、解下列各题

ab,(其中a0,b0) x022、设yx2ex(sinx)2x,求y

1、limxx1x14、求不定积分dx

x(x1)23、求不定积分xarctanxdx

5、求定积分

40exdx

1,xe及x轴围成的图形的面积。 e6、求由曲线y|lnx|,x7、判定级数

lnn的敛散性 54n1n8、将f(x)9、求幂级数

xn10etdt展开为x的幂级数，并求收敛域。 1n1x的收敛域及和函数。 n2n216x,(x0)上哪一点的法线在y轴上的截距最小 32x二、证明：当0x时，sinx 21三、设某产品的成本函数为Caq2bqc，需求函数为q(dp)，其中C为成本，q为

e需求量(也是产量)，p为单价，a,b,c,d,e都是正常数，且db。求(1)

10、曲线y利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。

xx轴旋转一周，得一旋转体，若把它在x0与之间部分的体积记为V()，21x试求limV()

四、曲线y五、设f(x)为[a,b}上连续，且f(x)0，求证：在(a,b)内存在一点，在

a4bf(x)dxfx(dx)

5a

6

2003年1月

一、解下列各题

11

x0xex12、设yy(x)由方程ycos(xy)x确定，求y

1、lim1asin2xbx03、设y在x0点连续，试确定a,b的值 x22x02nn!4、判定级数n的敛散性

n1nxt2sint5、设曲线方程为，求此曲线在x2点处的切线方程

ytcost6、设f(x)在点x0处有f(x0)f(x0)0，而(x)在x0点及其邻域有定义且有界，试证明函数F(x)f(x)(x)在点x0处可导，并求F(x0) 7、将f(x)08、计算不定积分9、计算定积分

0x2展开成周期为2的付立叶正弦级数

2x2xexdx x212e40exdx

10、求由ylnx,y0和x2所围成的平面图形绕y轴旋转所成的立体的体积 二、证明：当0x时，sinxtanx2x

2三、A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的5倍，水厂C设在离A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费最省？ 四、试求幂级数

n0nnx的收敛域及和函数 n2五、设f(x)为[a,)上单减连续函数，有F(x)单调减函数

7

1xf(t)dt，证明当xa时，F(x)为

xaa

六、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且使得2f()f()0

七、已知可导函数f(x)满足f(x)cosx2x10f(t)dt0，证明：存在一点(0,1)，

0f(t)sintdtx1，求f(x)

2002年1月

一、试解下列各题(每小题5分，共25分)

1．求极限limnnn2n1。

112．设f(x)1ex03．设yesin1xx0x0，研究f(x)在点x0处的左连续性与右连续性。

arctan(lnx)，求y。4．求函数yx33x29x14的单调区间。

5．计算定积分

ln50ex2ex1dx。

1lnx1(sinx)二、解下列各题(每小题5分，共25分)。1．求极限limx0；

d2y2．设函数yy(x)由方程y1xe所确定，求

dx2y。

x03．求积分

sinxcosx1cos2xdx； 4．求极限limx03x0x20sint2dt；

t(tsint)dt25．试判定级数

(1)n1n1n2n1的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

2三、(7分)求积分(arccosx)dx。

H四、(7分)将函数f(x)0常数。

五、(7分)将函数f(x)|x|2，展开成以2为周期的傅里叶级数，其中H为

2|x|1展开成x1的幂级数，并指出收敛区间。 2xx613六、(7分)试证明不等式sinxxx，其中0x。

6232七、(8分)一容器由抛物线yx绕y轴旋转而成，其容积为72m，其中盛满水，水的比重

为1，现将水从容器中抽出64m，问需作多少功？

八、(8分)设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。

8

3

1) 画出水位高度随时间变化的函数yy(t)的图形(不要求精确图形，但应画出曲线凹凸性并表示出拐点)

2) yy(t)何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。

九、(6分)设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且满足f(1)3试证存在一点(0,1)，使f()

2000年1月

一、求解下列各题：（每小题6分，共60分）

1．设yx6(x31)3(x2)2，求y。 2．求极限lim3．将f(x)130xf(x)dx0，

f()。

11。

x0ex1x|x|1展开成以4为周期的傅里叶级数。

||x|24．试求过点M0(1,1)且与曲线2ex2cosy10上点0,的切线相垂直的直线方

3程。

1,0,1xt5．设f(t)limt展开为x1的幂级数。 ，求f(t)。 6．将f(x)xx(x1)xt7．设D是由曲线y1sinx与三条直线x0，x，y0所围成的曲线梯形，求D绕ox轴旋转一周所得旋转体积。

8．求极限limx0xx20(etet)dt。 9．求不定积分

1cosx2arctanxx(1x)dx。

10．判别级数

ntan2n1n的敛散性。

2二、（8分）求不定积分(xlnx)dx。 三、（8分）求定积分

2a0x2axx2dx。(a0)

g(x)ex,x0，其中g(x)有二阶连续导数。且g(0)1，

四、（8分）设f(x)x,x00g(0)1。 1)求f(x)； 2) 讨论f(x)在(,)上的连续性。

五、（8分）试确定a的值，使曲线ya(1x)与该曲线在(1,0)及(1,0)两点处的法线所围成图形面积最小。（其中(a0)）。 六、（8分）设an2n0x|sinx|dx，(n1,2,)

 求极限lim

aa1a22nn222n9

98年1月

一、填空题

 2．yx2sinx在[0,]上的最小值为

x02xf(t)dy3．设，则 f(0)03tdxt0yf(e1)x2f(x)f(x) 4．设f(x)(t22t3)dt，则lim1．lim(13x)0a02sinx5．设

an0nx在x1条件收敛，则an(x1)n的敛区为

nn0二、选择题

1．当x0时，变量

11sin是（ ） 22xx A) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界但不是无穷小 D) 无界但不是无穷大 2．x0是f(x)21e1xsinx的（ ）间断点 |x|A) 跳跃 B) 可去 C) 无穷 D) 振荡

3．若f(x)是导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为（ ） A) 1sinx B) 1sinx C) 1cosx D) 1cosx

(x21)24．设f(x)|x1|0x1x1，则在x1处f(x)（ ）

A) 不连续 B) 连续但不可导 C)可导但导数不连续 D) 可导且导数连续

10x2的以2为周期的傅里叶正弦级数的和函数，则5．设s(x)是f(x)x1x2s()等于（ ）

2A) 1 B) 1 C) (1) D) -1

44d2yy三、设yy(x)由yxe1所确定，求2。

dxx0

10

四、计算六、计算

01sinxdx。 五、计算lnxdx。 x1ln(x1)x。

lnxx1dx(x1)x22x3。 七、证明：当x1时，

1ann!八、讨论n(a0)的敛散性。 九、求n2。

2(n1)nn1n1十、求由x2y22x与yx所围图形绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积。

十一、设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，且f(a)f(b)0，f(a)f(b)0，证明：存在

(a,b)和(a,b)使f()0及f()0。



99年1月

一、填空题

1．limearctanx 2．设yxln(x1x2)，则y

xx3．设yy(x)由xsinyyex0确定，则y(0) 4．

12的收敛域为 。 5．1sinxn1nxdx 。 2二、选择题

1．设yf(t)，tg(x)都可微，则dy（ ）

A) f(t)dt B) g(x)dx C) f(t)g(x)dt D) f(t)dt

22．x1是f(x)xarctan1的（ ）型间断点 x1 A) 可去 B) 跳跃 C) 无穷 D) 振荡 3．下列命题中哪一个是正确的？（ ）

A) f(x)在(a,b)中的极值点，必定是使f(x)0。

B) f(x)0的点必定是f(x)的极值点。

C) f(x)在(a,b)内取得极值的点处，其导数f(x)必不存在。 D) f(x)0的点是f(x)可能取得极值的点。 4．设f(x)4x20xsint2dt，则f(x)（ ）

4A) xsinx B) 2xsinx C)

22x20xsintdt2xsinx D)

22224x20sint2dtxsinx4

445．曲线y4x与y轴所围部分的面积为（ ） A)

404xdx B)

20(4y)dyC)

2(4y)dy D)

24xdx dx22三、求不定积分xsinxdx。 四、求不定积分

(1x)1-x2。

H|x|2展开成以2为周期的傅里叶级数。 五、将f(x)0|x|2

11

六、将f(x)ln(23xx2)展开成x的幂级数。 七、求lim1x0arctanxx32。 八、计算sintdt1x2dx 01x九、设f(x)在(0,a]上二阶可导，且f(x)0，f(0)0。证 g(x)增。

f(x)在(0,a]上单调x十、求曲线yx22x，y0，x1，x3所围成的平面图形的面积，并求该图形绕y轴旋转一周所得立体的体积。

十一、设f(x)在x0某邻域内具有连续的二阶导数且limx0f(x)0， x证明：级数

n11f绝对收敛。 n 12