扎鲁特旗第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

扎鲁特旗第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．

D．

2． 数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（ ） A．2n﹣1

B．﹣3n+2

C．（﹣1）n+1（3n﹣2）

D．（﹣1）n+13n﹣2

3． 函数f(x)2cos(x)（0，0）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ A.32 B.1 C. 2 D. 3 【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用

. 4． 设Sn是等比数列{an}的前项和，S45S2，则此数列的公比q（ ）

A．-2或-1 B．1或2 C.1或2 D．2或-1 5． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（

A．0° B．45°

C．60° D．90°

6． 已知函数f(x)f'(1)x2x1，则10f(x)dx（ ）

A．76 B．76 C．556 D．6 第 1 页，共 16 页

） ） 精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.

7． 若不等式1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围是（ ） A．[5，10]

B．（5，10）

C．[3，12]

D．（3，12）

8． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是边AB上的动点，记四面体EFMC的体

V1（ ）1111] V2111A． B． C． D．不是定值，随点M的变化而变化

324积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则

9． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

10．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ） A．96 11．已知A．﹣1

B．1 B．48

C．24

D．0

，其中i为虚数单位，则a+b=（ ）

C．2

D．3

12．（2014新课标I）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）

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A． B．C．

D．

二、填空题

13．给出下列命题： ①把函数y=sin（x﹣

）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣

）；

②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ； ③x=﹣

是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴；

）与函数y=4cos（2x﹣

）相同；

④函数y=4sin（2x+⑤y=2sin（2x﹣

）在是增函数；

则正确命题的序号 ．

14．若函数f（x），g（x）满足：∀x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）fx）=ax与g=logax 关于y=x分离”．已知函数（（x）（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是 ．

15．等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1，则S6= ．

16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，BC=4，AA1=3，沿该长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．

17．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是 ． 18．已知函数f(x)lnxa1，x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒 x2第 3 页，共 16 页

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成立，则实数的取值范围是 ．

三、解答题

19．根据下列条件求方程．

2

（1）若抛物线y=2px的焦点与椭圆

+

=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程 +

（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆

=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．

20．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对

问题的概率分别为

．

（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．

21．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}． （1）若a=1，求P∩Q；

（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．

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22．（本小题满分12分）

如图ABC中，已知点D在BC边上，且ADAC0，sinBAC（Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

22，AB32，BD3． 3

23．如图在长方形ABCD中，

（1）若M是AB的中点，求证：

是CD的中点，M是线段AB上的点，

与

共线；

．

（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；

（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．

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24．（本小题满分12分） 已知函数f(x)（1）求数列an的通项公式；

12x1，数列an满足：a12，an1f（nN）. xan1（2）设数列an的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn.

Sn【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.

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扎鲁特旗第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

．

2

【解析】解：不等式（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立， 2

即（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立

若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则 解得a故选C．

．

【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需

2． 【答案】C

【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）

n+1

﹣2，故通项公式an=（﹣1）（3n﹣2）．

n+1

，绝对值为3n

故选：C．

3． 【答案】D

211552.由22k（k），得2k)，∴T1212126555)，则f(0)2cos()3，故选D. （kZ），可得，所以f(x)2cos(2x666【解析】易知周期T2(4． 【答案】D 【解析】

试题分析：当公比q1时，S45S20，成立.当q1时，S4,S2都不等于，所以

S4S2q24, S2q2,故选D.

考点：等比数列的性质. 5． 【答案】C

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD，

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∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

6． 【答案】B

7． 【答案】A

析

】

【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b） 即

解

解得：x=3，y=1

即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b） ∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4， ∴3≤3（a﹣b）≤6 故选A

y，是解答的关键．

8． 【答案】B 【

∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10

【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，

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考

点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 9． 【答案】D

2

【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），

∴0＜a＜1，

22

∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D． 大于0条件．

10．【答案】 B

【解析】

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数

排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．

【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．

分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，

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（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）

4

那么安全存放的不同方法种数为2A4=48．

故选B．

【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖． 11．【答案】B

【解析】解：由另解：由故选B．

得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．

【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．

12．【答案】 C

【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|， ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx| =|cosx||sinx|=|sin2x|， 其周期为T=故选C． 运用．

，最大值为，最小值为0，

【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣到函数y=sin（2x﹣

），故①正确．

，故②错

）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，得

对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=误．

对于③，当x=﹣数y=cos（2x+

时，2x+

π=π，函数y=cos（2x+

π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣

是函

π）的一条对称轴，故③正确．

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对于④，函数y=4sin（2x+故函数y=4sin（2x+对于⑤，在上，2x﹣故答案为：①③④．

14．【答案】 （

【解析】解：由题意，a＞1．

）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2）=4cos（2x﹣），

）与函数y=4cos（2x﹣∈，函数y=2sin（2x﹣

）相同，故④正确．

）在上没有单调性，故⑤错误，

，+∞） ．

x

故问题等价于a＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立． xx

构造函数f（x）=a﹣x，则f′（x）=alna﹣1，

由f′（x）=0，得x=loga（logae），

x＞loga（logae）时，f′（x）＞0，f（x）递增； 0＜x＜loga（logae），f′（x）＜0，f（x）递减． 则x=loga（logae）时，函数f（x）取到最小值， 故有故答案为：（

﹣loga（logae）＞0，解得a＞，+∞）．

．

【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．

15．【答案】 ﹣21 ．

【解析】解：∵等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1，

5

∴a1（﹣）=1，解得a1=﹣32，

∴S6==﹣21

故答案为：﹣21

16．【答案】 114 ．

【解析】解：根据题目要求得出：

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当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114． 故答案为：114

【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．

17．【答案】 {a|

2

或} ．

【解析】解：∵二次函数f（x）=x﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a﹣，

f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧， ∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或 a≤， 故答案为：{a|a≥，或 a≤}．

【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．

18．【答案】a【解析】

1 21a12，因为x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒成立，xx21a111112，x(0,3]，ax2x，x(0,3]恒成立，由x2x,a．1

2xx2222试题分析：f(x)'第 12 页，共 16 页

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考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．

【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．

三、解答题

19．【答案】

+

=1的右焦点为（2，0），

+

【解析】解：（1）易知椭圆

2

由抛物线y=2px的焦点（，0）与椭圆

=1的右焦点重合，

可得p=4，

2

可得抛物线y=8x的准线方程为x=﹣2．

（2）椭圆+=1的焦点为（﹣4，0）和（4，0），

﹣

=1（a，b＞0），

﹣

=1．

可设双曲线的方程为

22

由题意可得c=4，即a+b=16，

又e==2， 解得a=2，b=2

，

则双曲线的标准方程为

【点评】本题考查圆锥曲线的方程和性质，主要是抛物线的准线方程和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．

20．【答案】

【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列 【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为

， ，

．

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分布列为：

（Ⅱ）设先回答问题

，再回答问题

， ， ，

得分为随机变量，则的可能取值为．

分布列为：

．

应先回答所得分的期望值较高． 21．【答案】 【解析】解：（1）

当a=1时，Q={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2} 则P∩Q={1}

（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}={x|a≤x≤a+1} ∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q ∴

，即实数a的取值范围是

【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．

22．【答案】

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【解析】（Ⅰ）因为ADAC，所以sinBACsin所以cosBADBADcosBAD, 222．…… 3分 3222在ABD中，由余弦定理可知，BDABAD2ABADcosBAD 即AD28AD150,解之得AD5或AD3, 由于ABAD,所以AD3．…… 6分

221可知sinBAD …… 7分

33BDAB 由正弦定理可知，,

sinBADsinADBABsinBAD6所以sinADB…… 9分 BD36因为ADBDACCC，即cosC…… 12分

23（Ⅱ）在ABD中，由cosBAD23．【答案】

【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），

，

由

，可得

与

共线；

与

垂直，

垂直； 在

（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得

，

由

=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，

，使得

与

设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），

∴线段AB上存在点

（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，则

有最大值为4．

上的投影最大，

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【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

24．【答案】

【解析】（1）∵f(x)2x1112，∴an1f()2an. xxan即an1an2，所以数列{an}是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴ana1(n1)d22(n1)2n. （5分） （2）∵数列{an}是等差数列，

(a1an)n(22n)nn(n1)， 221111∴. （8分） Snn(n1)nn11111∴Tn

S1S2S3Sn11111111()()()() 122334nn1n11. （12分） n1n1∴Sn

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