01、乘法公式与多项式

多项式的乘法公式除了用来简化多项式的乘法运算外，还可运用于因式分解。在本章中，我们首先来复习已经学过的平方公式，然后再延伸到立方公式。

1-1 平方公式

【二项式相乘公式】

我们可利用分配律来展开(ab)(cd)的乘积而得到下列的公式：

【公式1】 (ab)(cd)acadbcbd

c a b

ac bc d ad bd

另一方面，也可利用几何图形来解释这个公式。如上图，一个边长分别为(ab)和(cd)的长方形，可由四个面积分别为ac、ad、bc和bd的长方形所组成。我们可从大长方形的面积为四个较小的长方形的面积总和而得到这个公式。在应用上，a、b、c及d可为数字或任何文字符号。

【范例1】利用公式1展开下列各式：

(1) (1a)(1b) (2)

【解】 (1)

(x2)(x3)

(3) (2xy)(3xy)

(1a)(1b)= 111ba1ab

= 1abab

(2) (x2)(x3)=

xxx32x23

= x25x6

1

(3) (2xy)(3xy)= (2xy)[3x(y)]

= 2x3x2x(y)y3xy(y) = 6x22xy3xyy2 = 6x2xyy2

在上例的第(2)题中，x25x6的x2项(或称二次项)系数为1，x项(或称一次项)系数为5，常数项为6，其中最高次项为二次，所以称x25x6为x的二次多项式，并简称为一元二次式。

在第(3)题中，6x2xyy2有x、y两个变量，其中6x2、xy和y2都是二次项。因此，它的最高次项为二次，所以称它为x和y的二次多项式，并简称为二元二次式。 【类题练习1】展开下列各式：

(1) (5x2)(2x3) (2) (2x3y)(3x4y)

二项式相乘公式也常运用于来简化数的计算过程，例如： 求123×279127×121123×121127×279的值。

在上面的算式中，我们观察到123×279与123×121有公因子123，127×121与127×279有公因子127，所以

123×279127×121123×121127×279 = 123×279123×121127×279127×121 = 123×(279121)127×(279121) = (279121)×(123127) = 400×250 = 100000

【完全平方公式】

将公式1中的c、d分别以a、b代入，即可得

(ab)(ab)= aaabbabb

2

= a22abb2，

因而得到和的平方公式：

(ab)2= a22abb2 【公式2】

【范例2】利用公式2展开下列各式：

(1)

(x1)2 (2)

(2x3y)2

【解】 (1) (x1)2= x22x112

= x22x1

(2) (2x3y)2= (2x)22(2x)(3y)(3y)2

= 4x212xy9y2

同样的，若将公式1中的b、c、d分别以b、a、b代入，即可得

(ab)(ab)= aaa(b)(b)a(b)(b)

= a22abb2，

因而得到差的平方公式：

(ab)2= a22abb2 【公式3】

其实，只要将公式2中的b改为b，也可得到公式3。 【范例3】利用公式3展开下列各式：

(1) (xa)2 (2)

22【解】 (1) (xa)2= x2xaa

22= x2axa

(2x3y)2

(2) (2x3y)2= (2x)22(2x)(3y)(3y)2

=

4x12xy9y22

我们也常用和或差的平方公式来简化数的计算，例如：在求1092时，可将109写成1009，再利用公式2即可求得：

3

1092=

(1009)2= 10022100992 = 10000180081 = 11881

我们知道abc = (ab)c，所以利用和的完全平方公式，即可得到：

(abc)= [(ab)c]

22= (ab)22(ab)cc2 = a22abb22ac2bcc2 = a2b2c22ab2bc2ac

因此，得到三项和的完全平方公式：

(abc)= a2b2c22ab2bc2ac 【公式4】

2

【范例4】利用公式4展开下列各式：

(1) (xy3)2 (2) (a2b3c)2 【解】 (1) (xy3)2= x2y2322xy2y323x

= x2y292xy6y6x = x22xyy26x6y9

(2) (a2b3c)2= [a(2b)(3c)]2

= a2(2b)2(3c)22a(2b)2(2b)(3c)2(3c)a = a4b9c4ab12bc6ca

【类题练习2】利用公式4展开(2xy3z)2。

若将公式1中的c、d分别以a、b取代，即可得：

(ab)(ab)= aaa(b)bab(b)

222= a2b2

因而得到平方差公式：

(ab)(ab)= ab 【公式5】

4

22【范例5】利用公式5展开下列各式：

(1) (3x4y)(3x4y) (2) (abc)(abc)

【解】 (1) (3x4y)(3x4y)= (3x)2(4y)2

= 9x216y2

(2) 因为abc = a(bc) 和abc = a(bc)，所以可以

得到：

(abc)(abc)= [a(bc)][a(bc)]

= a2(bc)2 = a2(b22bcc2) = a2b22bcc2

如同完全平方公式，我们也常利用平方差公式来简化数的计算。例如：求1172172的值时，我们可得到下列算式：

1172172= (11717)(11717)

= 134×100 = 13400

又如求107×93的值时，我们观察到107= 1007、93= 1007，所以可得到下列算式：

107×93= (1007)(1007)

= 100272 = 1000049 = 9951

【类题练习3】求下列各式的展开式：

(1) (x3y1)(x3y1) (2) (xy)2(xy)2

5

【家庭作业】

1. 展开下列各式：

1 ○

(12a)(23b) 2 ○(x5y)(2xy)

3 (a○

2332b)

24 (2xy3)2 ○

6 (a22ab4b2)(a22ab4b2) ○

8 (x1)(x2)(x3)(x4) ○

210 (x2)(x2)(x4) ○

5 (abc)(abc) ○7 ○9 ○

(x1)(x2)(x3) (x1)(x1)(x2)(x2)

2. 回答下列各题：

1 求○

176222138382 求2001200319982006的值。 的值。 ○

3 已知(6825.5)268252x，求x的值。 ○

4 若(x3ax2)(2xa)的展开式中，x3的系数为9，求a的值。 ○

6

1-2 立方公式

在国中时期同学们较少接触到立方的乘法运算，事实上，在多项式的乘法和因式分解的过程中，立方公式也经常被引用。

【立方和与立方差】

我们可利用分配律来展开一次式与二次式的乘积。例如，展开

(ab)(aabb)即可得到：

(ab)(aabb)= aababababb

2232222322= a3b3

因此，得到立方和公式：

(ab)(a2abb2)= a3b3 【公式6】

【范例1】利用公式6展开下列各式：

(1) (x2)(x22x4) (2) (2a5b)(4a210ab25b2)

【解】 (1) (x2)(x22x4)= (x2)(x2x222)

= x323 = x38

(2) (2a5b)(4a210ab25b2)

= (2a5b)[(2a)2(2a)(5b)(5b)2] = (2a)3(5b)3 = 8a3125b3

同样的，我们可以展开(ab)(a2abb2)并经合并化简后，而得到立方差公式：

(ab)(aabb)= ab 【公式7】

2233其实，只要把公式6中的b以b代入，即可得公式7。

7

【范例2】利用公式7展开下列各式：

(1) (2x1)(4x2x1) (2) ()(2aba2329ab6b24)

【解】 (1) (2x1)(4x22x1)= (2x1)[(2x)2(2x)112]

= (2x)313 =

(2) ()(32aba28x1

39ab6b24)= (a3a3ba2abb2)[()()] 23322b2= ()3()3 =

a327b38

【类题练习1】(1) 展开(5a)(25a2b25ab2b24)。

(2) 展开(x2xy6y2)(x22xy4y2)(x23xy9y2)。 (3) 已知x32，求(x3)(x23x9)的值。

【完全立方公式】

在展开(ab)3时，可先将(ab)3写成

(ab)(ab)2，

再利用和的平方公式与分配律展开即可，也就是说：

(ab)3= (ab)(ab)2 = (ab)(a22abb2) = a32a2bab2a2b2ab2b3 = a33a2b3ab2b3

由此，我们可得到和的完全立方公式：

(ab)3= a33a2b3ab2b3 【公式8】

8

同样的，展开(ab)3的乘积，并经化简后即可得到差的完全立方公式：

(ab)3=

a3ab3abb3223 【公式9】

其实，只要将公式8中的b以b代入，同样可得上式。

【范例3】展开下列各式：

(1) (x2)3 (2) (3x2y)3 (3) (4a5b)3

【解】 (1) (x2)3= x33x223x2223

= x36x212x8

23(2) (3x2y)3= (3x)33(3x)2(2y)3(3x)(2y)(2y)

= 27x3x2y36xy28y3

23(3) (4a5b)3= (4a)33(4a)2(5b)3(4a)(5b)(5b)

= a3240a2b300ab2125b3

【类题练习2】展开下列各式：

(1) (x2312y) (2) (4a2352b)

39

【家庭作业】

1. 展开下列各式：

1 (x2)3 ○

2 (2a3b)3 ○

23 (○

xy23)(x9xy6y24) 4 (2a)(4aab○

b2b224)

5 (x1)(x1)(x2x1)(x2x1) ○

6 (a29)(a23a9)(a23a9) ○

2. 回答下列各题：

1 求(5)3(4)3的值。 ○

12332 已知a＋b = 3且ab = 2，求a3b3的值。 ○

3 已知ab○4 已知x3○

1且a2b25，求a2423b的值。

32，求(x1)(xx1)的值。

10

1-3多项式的除法

在小学时，我们会以下列的长除法（直式计算法）来求出58除以13得到商数4，余数6：

4

13）58 52 6

同时，我们也知道：

58 = 13×46

事实上，在自然数的除法中，我们有下列的规则：

被除数 = 除数 × 商数余数，

其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：

被除式 = 除式 × 商式余式，

其中，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数，且余式的次数要小于除式的次数。

类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式计算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。

【范例1】求(x24x2)(x1)的商式及余式。

【解】 方法一：直式计算法 方法二：分离系数法

x3 13

x11 ）142 1 ）x24x2

x (x1) x2x 11

3x2 32

33 3 (x1) 3x3

1 1

商式为x3，余式为1。

11

在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式 = 除式 × 商式余式」的概念来验算。例如：

(x1)(x3)(1)

（除式×商式余式）

（被除式）

= x24x31 = x24x2

【范例2】求(2x35x2x5)(x2)的商式及余式。 【解】

211 12 ）2515 24 11 12 15 12 7

商式为2x2x1，余式为7。

做分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补0。

【范例3】求(3x22)÷(2x1)的商式及余式。

【解】 因为3x223x20x2，所以用302来表示3x22。

33  24

21 ）3  0 2

3 3  2

3 2 2

33  24

3 2 4

商式为

32x34，余式为2。

412

3【范例4】求(6x37x24x8)(3x2x2)的商式及余式。 【解】

23 312 ）6748 624 908 936 32

商式为2x3，余式为3x2。

【范例5】求(3x38x27x2)÷(x22x1)的商式及余式。 【解】

当余式为0时，我们称除式整除被除式，例如：在上例中，x22x1整除3x38x27x2。

【类题练习】求下列各除法运算的商式及余式：

(1) (2x2x5)(x3) (2) (6x25x1)(2x1) (3) (x41)(x1) (4)

(2x5x)(x5)2 32 121）3872 363 242 242 0

商式为3x2，余式为0。

13

【家庭作业】

1. 求下列各除法运算的商式及余式：

1 (9x218x8)(3x4) ○

3 (x31)(x1) ○

5 (x42x3x4)(x23x2) ○

6 (x41)(x21) ○

2 (7x211x3)(2x3) ○

4 (x32x1)(x5) ○

2. 已知3x36x133(axb)(x2x2)1，求

2a、b的值。

3，求此多项式。

3. 已知某多项式除以(2x1)，可得商式(x24. 已知4x32x1)，余式

13xk可被(2x1)整除，求k的值。

24xx6、长为x35. 已知一长方体的体积为x3求此长方体的高。

且宽为x2，

14