２０１１年第６期 数学教学 ６－４ｊ ２００７－２０１０几何证明选讲高考试题分析与启示 ５１０００６广州大学数学与信息科学学院张雄廖运章 “几何证明选讲”是新课标的新增内容，许多 目基本一致，但仅从题目外形很难将两者联系起 新课标高考试卷都以其为选考内容．至２０１０年 已有广东、海南、宁夏、山东、江苏、上海、辽宁、浙 江、福建、天津、安徽、北京、湖南、陕西、吉林、黑 龙江等１６个省市使用新课标高考试卷，其中新课 标全国卷、广东卷、江苏卷、辽宁卷、北京卷（理）、 天津卷、陕西卷和湖南卷（理）都涉及几何证明 选讲的内容，共有２２题．以下从不同的角度对几 何证明选讲高考试题进行综合分析． 一、几何证明选讲试题的统计分析 １．考点分析 结合数学新课标和高考试题，几何证明选讲 的内容涉及的考点可归纳为：①相似三角形的 定义与性质；②平行线截割定理；③直角三角 形射影定理；④圆周角与圆心角定理；⑤圆的 切线的判定定理及性质定理；⑥弦切角的性质； ⑦相交弦定理；⑧圆内接四边形的性质定理和 判定定理；⑨切割线定理．各试卷对几何证明选 讲内容的试题要么以圆为载体，要么隐含圆的相 关知识，总之，试题均涉及圆的有关平面几何知 识．特别地，圆周角定理和圆心角定理的考查频 率极高． ２．课本来源 数学课本是数学知识结构的外在呈现，数学 试题均源白于这个系统．笔者仅以课本中的例 题、习题及练习题为源题，分析几何证明选讲高 考题源于课本（人教Ａ版选修４—１）的情况，如表 １所示． 二、命题方法实例剖析 由表ｌ可知，几何证明选讲高考试题大多由 课本源题变化而来．这些题目中一些是利用课 本结论，赋予具体的数值而得到，可视为课本源 题重现；一些题目是把题目中的条件或结论稍加 改变得到，试题结构并没有改变，可视为课本源 题简单变形；还有一些试题的主体结构和课本题 来，可视为课本源题深层次变形．下面，将以三道 高考题为例剖析其命题方法 表１ ２ＯＯ７ ２００８ ２００９ ２Ｏ１Ｏ 新课标 ２．２例２ １．试题 （文理） （文理）４例１ 习题２．４（１）（文理） 广东试题 ２．３例２ １．４例１ ２．１例１ 习题２．５（３）（理） （文理） （文理） （文理） 习题２．１（１）（文） 江苏试题 习题２．（１）题 ４ 习题２．４（１） 辽宁试题 １．３例２（文理） 北京试题 习题１．３（１）（理） 天津试题 习题１．３（１）（文理） 湖南试题 习题２．４（１）（理） 陕西试题 １．４例１（文理） １．课本源题重现 （２０１０年广东省高考理第１４题）如图１，ＡＢ、 ＣＤ是半径为ａ的圆０的两条弦，它们相交于ＡＢ 的中点Ｐ，ＰＤ＝ ２ａ，ＸＯＡＰ＝３０。，贝０ ｃＰ＝ Ｄ 图１ 【评析】已知ＰＤ＝ ，未知量是ＣＰ．观 察图１，不难想到相交弦定理，可得ＰＤ・ Ｐ＝ ＰＡ・ＪＦ）ＪＥ｝，如果能得到ＰＡ・ＰＢ的值，便可得到一 个关于 Ｐ的方程，即可以求出ＣＰ．由于Ｐ是 ＡＢ中点，可得ＰＡ＝ＰＢ且ＯＰ上ＡＢ，进而， 又由圆（＝）的半径为ａ， ０ＡＰ＝３０。，可得Ｐ ・ ＪＦ） ＝ＰＡ ＝（ＯＡ．ｃｏｓ３０。） ＝ ，最后可得 ＣＰ－－ ＰＤ Ｐ：筹Ｄ ８～ｎ． 源题：如图２所示，点ＪＦ）为圆（二）的弦ＡＢ上 ６一＿毒２ 数学教学 ２０１１年第６期 的任意点，连结ＰＯ．ＰＣ＿ｌ－ＯＰ，ＰＣ交圆于 求证：ＰＡ・ＰＢ：ＰＣ２（Ｐ．４０，习题２．５第３题）． Ａ 图２ 分析其命题方法，两题外形基本一致，两题 的结构完全相同，该试题在其源题的结论ＰＡ・ Ｐ ＝ＰＣ２基础上赋予具体的数值而得到，其 命题方法是我们常用的赋值法，这道试题就属于 课本源题重现． ２．课本原题简单变形 （２０１０年陕西省高考（文）第１５Ｂ题）如图３， 已知Ｒｔ△ＡＢ 的两条直角边Ａ 、ＢＣ的长分 别为３ｃｍ、４ｃｍ，以Ａ 为直径的圆与ＡＢ交于 点ｊ［），则ＢＤ：——． 图３ Ｉ评析】在ＲｔＡＡＢＣ中，由三角形勾股定理 可得，ＡＢ＝５ｃｍ；然后，连结ＣＤ，再结合已知 条件ＡＣ为直径可得， Ｄ上ＡＢ；现有条件已经 满足射影定理，所以ＪＥ｝ ＝ＢＤ・ＡＢ，即可得 ＢＤ： ． ｂ 源题：如图４所示，圆Ｉ二）上一点Ｃ在直径 ＪＥ『 上的射影为 ． Ｄ＝２， ：８，求 、 和Ｂ 的长（Ｐ．２１，例１）． Ｂ 图４ 从命题的角度看，两题的外形稍有不同：在 源题中，圆是以直角三角形的斜边为直径；在该 试题中，圆是以直角三角形的直角边为直径．其 相同之处，两题原理一致，本质都是直角三角形 射影定理，只是射影定理的条件的推导方式不同． 该试题是在其源题的基础上，把试题的条件加以 改变，本质内容不变，采用了变换条件的办法．该 试题可视为课本源题的简单变形． ３．课本源题深层次变形 （２０１０年广东省高考（文）第ｌ４题）如图５，在 直角梯形 中，ＤＣｆｆＡＢ，ＣＢ上 ， Ｂ ＝ＡＤ＝ａ，ＣＤ＝等，点及Ｆ分别为线段 、 ＡＤ的中点，则 Ｆ＝ Ｄ Ｅ Ｂ 图５ 【评析】已知量 Ｂ：ＡＤ＝ａ，ＣＤ＝ 芸，未知为 Ｆ，那么必须把未知量用已知量表示 出来．由已知条件，可知四边形ＢＣＤＥ为矩形， 进而△ＡＤ 为直角三角形．至此，可得ＥＦ＝ 丢 Ｄ＝量． 源题：如图６，Ｄ 是圆Ｄ的半径，以Ｄ 为 直径的圆ｃ与圆Ｄ的弦ＡＢ相交于Ｄ，求证：Ｄ 是 Ｂ的中点（Ｐ．２６，习题２．１第１题）． Ａ 图６ 图７ 分析其命题方法，两题貌似毫无关联，实际 上问题结构有共同之处．在源题中，连结（二ｌＤ、 ＢＥ，很容易看出四边形ＯＤＢＥ为直角梯形，再 取ｌ二） 、 Ｅ中点分别为Ｆ、Ｇ，连结０Ｂ，显然 ＧＦ＝ １２１：）＝ ．至此，可见梯形可以不要 求‘二｝Ｅ＝ＢＥ，这个对试题的结论不会产生影响． 梯形Ｄ Ｅ内部结构是该试题结构的加强，该 ２０１１年第６￣Ｊｔ］Ｊ 数学教学 ６－４ ３ 由一道中考试题引发的思考 ２２４７００江苏省建湖县近湖中学吕爱生商卫民 ２００６年四川内江市（课改区）初中毕业会考 暨高中阶段招生考试数学卷加试卷第８题是： 阅读并解答下面问题： （１）如图１所示，直线Ｚ的同侧有 、Ｂ两点， 试卷所提供的标准答案是： 解：（１）如图３所示． ． Ｂ ， ，，在２上求作一点Ｐ，使ＡＰ＋ＢＰ的值最小（要求 尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明） Ｂ Ａ — Ｌ—一ｆ Ａ史 图３ （２）如图４，由（１）知 与 关于ＣＤ对称，点 图１ Ｐ为污水处理厂的位置，由题知ＡＣ＝１，ＢＤ＝ ２，ＣＤ＝６，设ＰＣ＝Ｘ，由△ 得 Ａ＇ ＣＰ∽ＡＢＤＰ （２）如图２， 、ＪＥ｝两个化工厂位于一段直线 形河堤的同侧， 工厂到河堤的距离ＡＣ为ｌｋｍ， Ｂ工厂到河堤的距离ＢＤ为２ｋｉｎ，经测量河堤上 ’哥百 一 ： ’一 一 ・，．． ： ’用牛伺：解得ｚ：２， 一 ’ Ｃｙｒ． ，Ｃ、Ｄ两地间的距离为６ｋｍ．现准备在河堤边修 建一个污水处理厂，为使 、Ｂ两厂到污水处理 厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距 地多 远的地方？ Ｂ 污水处理厂应建在距 地２ｋｍ的河堤边． Ｂ Ａ， ｔ ，，，，，， 一， ｆＣ ， Ｐ Ｄ Ａ ● — ＿７ ７—７ ７ ；ｌ 图４ （３）略． １．问题源头及其解决的影响 图２ （３）通过以上解答，充分展开联想，运用数形 结合思想，请你尝试解决下面问题： 这里的第（２）小题以及标准答案中的解法引 起了我们极大的兴趣，笔者发现，它的源头是人 教１９９３版初中《几何》课本【 】第２册中的例题 若 ＝ 而＋、／／ ＝ ，当Ｘ为何 值时， 的值最小，并求出这个最小值． 试题是从源题的问题结构中提出，并将其特殊化 而得到，这也是常见的命题方法，该题目就是课 （以下简称管道问题）：“如图１，要在河边修建一 还应该利用常用的命题方法，命制题目进行变式 训练，使学生对知识有更深入的认识． 本源题的深层次变形． 参考文献 三、启示与思考 通过本文统计分析，大部分几何证明选讲高 ［１］Ｇ．波利亚．怎样解题［Ｍ１．上海：上海科 技教育出版社，２００７． 考试题都是由课本题目变化而来．所以，日常教 学应以课本为主，深度挖掘课本题目所反映的基 本事实，对一些典型图形进行深入的研究．在习 题教学中，教师不应该只就题论题、就题解题， ｆ２）人民教育出版社中学数学室．几何证明选 讲（选修４—１）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００７． ｆ３］中华人民共和国教育部．普通高中数学课 程标准（实验）［Ｍ１．北京：人民教育出版社，２００３．