勾股定理的逆定理及应用

下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ① 5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答这样两个问题:

1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？

2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，你能猜测最大的角的度数吗？

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入 门 测 试

1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB＝120 m，则AB为( )

A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m

2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( ) A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm

3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )

A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km

4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需 __m长．

5.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( )

A．S△EDA＝S△CEB

B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB

D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD

1

6.直角三角形的性质：①有一个内角为（ ）；②两个锐角（ ）； ③两条直角边的（ ）等于斜边的（ ）.

1.熟练掌握勾股定理的逆定理，

2.应用三角形相关知识的解决直角三角形中的计算及证明问题。

一个三角形，满足什么条件一定就是直角三角形呢？

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 勾股数：

满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数

观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a²+b²=c²？

2

古埃及人曾用下面的方法得到直角：

他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第（ ）个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，直角就在第4个结处。按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？

基础演练

1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是( ) A 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.

2. 将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( ) A. 是直角三角形; B.可能是锐角三角形; C. 可能是钝角三角形; D.不能确定. 一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？ （ ） 为什么?

3.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是（ ）．

4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为（ ）mm.

巩固提升

一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗？

1．)以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( ) A．3，5，3 B．4，6，8 C．7，24，25 D．6，12，13

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是( ) A．∠C是直角 B．∠B是直角 C．∠A是直角 D．∠A是锐角

3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为 ( )A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上答案都不对

3

4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线长为68 cm，则这个桌面（ ） (填“合格”或“不合格”)．

5．在△ABC中，a＝3，b＝7，c2＝58，则S△ABC＝（ ）

6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )

A．x2－6＝(10－x)2 B．x2－62＝(10－x)2 C．x2＋6＝(10－x)2 D．x2＋62＝(10－x)2

7． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6

8、已知 三角形的三边分别为5，12，13，则这个三角形是（ ） 9、三条线段 m,n,p满足m2-n2=p2 ，以这三条线段为边组成的三角形为（ ） 10．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：(1)AC的长度；

(2)△ABC的面积．

勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形 （ ） 2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（ ） 3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有 ( ) （1）9，12，15; （2）15，36，39; （3）12，35，36 ; （4）12，18，22.

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4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（ ）cm2 . (A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定

5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（ ）. (A)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)直角三角形

6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( )

A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对 7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m的木梯，准备把梯子架到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( )

A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m

8．某天我国海监船驶向海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（ ）海里． 1

9. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足c＋a＝2b，c－a＝ b，则△ABC

2是什么特殊三角形？

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