函数与映射概念的理解

玩转函数第一招

第1招：函数与映射概念的懂得 【常识点懂得】

①映射.映射f: AB的概念.

对于两个聚集A,B假如按照某种对应轨则f,对于聚集A中的任何一个元素在聚集B中都有独一的元素和它对应,如许的对应（包含A.B及f）叫做从聚集A到聚集B的映射.记作：f：A→B.

1 A 2 3 4 5 B 5 B 1 A 2 3 4 5 B 6 4 5 B 6 f 4 f 1 f 1 f

A 2 3 5 B 6 6 A 2 3 (1) (2) (3) (4)

在以上的四种对应关系中,（1）（3）不是映射,（2）（4）是映射.

对于映射这个概念,应明白以下几点：

①映射中的两个聚集A和B可所以数集,点集或由图形构成的聚集以及其它元素的聚集.

②映射是有偏向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不雷同的.

③映射请求对聚集A中的每一个元素在聚集B中都有象,而这个象是独一肯定的.这种聚集A中元素的随意率性性和在聚集B中对应的元素的独一性构成了映射的焦点.

④映射许可聚集B中的某些元素在聚集A中没有原象,也就是

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由象构成的聚集CB.

⑤映射许可聚集A中不合的元素在聚集B中有雷同的象,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不克不及是“一对多”.

一 一映射：设A,B是两个聚集,f：A→B是从聚集A到聚集B的映射,假如在这个映射的感化下,对于聚集A中的不合的元素,在聚集B中有不合的象,并且B中每一元素都有原象,那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.

一一映射既是一对一又是B无余的映射.

在懂得映射概念时要留意：⑴A中元素必须都有象且独一;

⑵B中元素不一建都有原象,但

原象不必定独一.

总结：取元随意率性性,成象独一性. 【精准练习】

（1）设f:MN是聚集M到N的映射,下列说法准确的是

A.M中每一个元素在N中必有象 B.N中每一个元素在M中必有原象

C.N中每一个元素在M中的原象是独一的 D.N是M中地点元素的象的聚集（答：A）;

（2）.若从聚集A到聚集B的映射f知足B中的任何一个元素在A中都有原象,则称映射f为从聚集A到聚集B的满射,现聚集A中有3个元素,聚集B中有2个元素,则从聚集A到聚集B的满射f的个数是： A.5 B.6 C.8 D.9（答：B）

（3）点(a,b)在映射f的感化下的象是(ab,ab),则在f感化下点(3,1)的原象为点________（答：（2,－1））; （4）a.b

bM{,1},N{a,0},f:xx为实数,聚集a暗示把聚集

M中的

元素x映射到聚集N中仍为x,则ab= A.1 B.0

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C.－1 D.±1

（5）若A{1,2,3,4},B{a,b,c},a,b,cR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B的函数有个（答：81,64,81）;

（6）设聚集M{1,0,1},N{1,2,3,4,5},映射f:MN知足前提“对随意率性的xM,xf(x)是奇数”,如许的映射f有____个（答：12）;

（7）设A到聚集B的映射,若B={1,2},则AB必定是_____（答：或{1}）.

（8）.已知聚集A{1,2,3},B{1,0,1},则知足前提f(3)f(1)f(2)的

f:xx2是聚集

映射f:AB的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7

（9）.从聚集A{1,2,3}到B{3,4}的映射f:AB中知足前提

f(3)3个数是

( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）6

（10）.已知聚集A{1,2,3},在AA的映射中知足前提

f(3)3,

f(2)1个数是

( )

（11）.．A=｛1,2,3,4,5,｝,B=｛6,7,8,｝从聚集A到B的映射中知足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）

A.27 B.9 C.21 D.12

解：（1）当一个不等号也没有时,（即与B中的一个元素对应）,则f有C个

（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应）,f有C·C=12个

（3）有二个不等号的映射,f有C·C=6个. 所以共有3+12+6=21个,答案选C.

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2423131423

（12）.已知映射f:AB,个中聚集A{2,1,0,1,2,3,4},聚集B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对随意率性的aA,在B中和它对应的元素为a,则聚集B的真子集个数是————.

ffxfx（13）.设聚集A{a,b},f:AA是映射,且知足前提,

2如许的从AA自身的映射个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（14）.已知聚集M{x,y,z},N{1,0,1},则知足前提

f(x)f(y)f(z)的映射f:MN的个数是 （A）1

（B）5 （C）7 （D）10

（15）.从任何一个正整数n动身,若n是偶数就除以2,若n是奇数就乘3再加1,如斯持续下去…,如今你从正整数3动身,按以上的操纵,你最终得到的数不成能是 A,10 B,4 C,2 D,1

（16）.已知聚集A{1,0,1},B{2,1,0,1,2},则知足前提：对每一

个xA,恒使xfx是偶数的映射f:AB的个数是 （A）4 （B）7 （C）12 （D）非上述成果

432xaxaxa3xa4x1b1x1b2x1b3x1b412（17）. 由

432界说映射f：a1,a2,a3,a4b1,b2,b3,b4,则4,3,2,1的象是（） A .1,2,3,4 B.0,3,4,0 C .1,0,2,2 D .0,3,4,1

（18）.界说运算

x'acxy'bdy,则

{x'axcyy'bxdy,按照

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x'21xy'pqy,称点（x,y）映到点（x’,y’）的一次变换.

把直线y=kx上的各点映到这点本身,而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点的对称点.这时,k=m=p=q=24,1,3,3,-2 （19）设M＝{平面内的点(a,b)},N＝{f(x)|f(x)＝acos2x+bsin2x},给出M到N的映射

f：(a,b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x,则点(1,3)的象f(x)的最小正周期为

A．π

πD．

4

B．2π

π

C．

2

②函数： 1函数界说

a:传统（古典）界说：假如在某变更进程中,有两个变量x,y,并且对于x在某个规模内的每一个肯定的值,按照某个对应轨则,y都有独一肯定的值和它对应,那么y就是x的函数.x叫做自变量,x的取值规模叫做函数的界说域,和x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的聚集叫做函数的值域.

b: 近代（映射）界说：设A,B都是解空的数的聚集,f是从A到B的一个对应轨则,那么A到B的映射f：A→y=f(x),个中x∈A,y∈B.

原象的聚集A叫做函数f(x)的界说域.

注：（1）两种界说的比较：

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①雷同点：1°本质一致

2°界说域,值域意义一致 3°对应轨则一致

②不合点：1°传统界说从活动变更不雅点动身,对函数的描写直不雅,具体活泼.

2°近代界说从聚集映射不雅点动身,描写更普遍,更具有一般性.

（2）对函数界说的更深层次的思虑：

①映射与函数的关系：函数是一种特别的映射f：A→B,其特别性表示为聚集A,B均为非空的数集.

.函数f: AB是特别的映射.特别在界说域A和值域B都长短空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有随意率性个. 小结：函数概念8个字：非空数集上的映射. ②函数三要素

1°焦点 —— 对应轨则

等式y=f(x)标明,对于界说域中的随意率性x,在“对应轨则f”的感化下,即可得到y.是以,f是使“对应”x与y的纽带,从而是函数的焦点.对于比较简略的函数,对应轨则可以用一个解析式来暗示,但在许多较为庞杂的问题中,函数的对应轨则f也可以采取其他方法（如图表或图象等）.

2°界说域

界说域是自变量x的取值规模,它是函数的一个不成缺乏的构

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成部分,界说域不合而解析式雷同的函数,应看作是两个不合的函数.

在中学阶段所研讨的函数平日都是可以或许用解析式暗示的.假如没有特别解释,函数的界说域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的聚集.在现实问题中,还必须斟酌自变量所代表的具体的量的许可取值规模问题.

3°值域

值域是全部函数值所构成的聚集.在一般情形下,一旦界说域和对应轨则肯定,函数的值域也就随之肯定.是以,断定两个函数是否雷同,只要看其界说域与对应轨则是否完整雷同,若雷同就是统一个函数,若界说域和对应轨则中有一个不合,就不是统一个函数. 统一函数概念.构成函数的三要素是界说域,值域和对应轨则.而值域可由界说域和对应轨则独一肯定,是以当两个函数的界说域和对应轨则雷同时,它们必定为统一函数.

③关于函数符号y=f(x)

1°.y=f(x) 即“y是x的函数”这句话的数学暗示.仅仅是函数符号,不是暗示“y等于f与x的乘积”.f(x)也不必定是解析式.

2°.f(x)与f(a)的差别：f(x)是x的函数,在平日情形下,它是一个变量.f(a)暗示自变量x=a时所得的函数值,它是一个常量等于一个数值.f(a)是f(x)的一个当x=a时的特别值.

3°假如两个函数的界说域和对应轨则雷同固然暗示自变量的与函数的字母不雷同,那么它们仍然是统一个函数,但是假如界说

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域与对应轨则中至少有一个不雷同,那么它们就不是统一个函数.

例：y=f(x)=ax+bx+c,a,b,c为常量且x≥0与S=g（t）=at+bt+c.a,b,c为雷同的常量且t≥0.则我们说这两个函数是统一个函数,对于它们的图象是一个雷同的曲线.

4°有些函数在它的界说中,对于自变量x的不合的取值规模,对应轨则不雷同,例如：

x, x>0

y=f(x)=|x|=0, x=0 如许的函数平日称为分段函数.留意,分段函数是一个函数,

-x, x<0 而不是几个函数.

2．函数的经常应用的暗示法

（1）解析法：将两个变量的函数关系用一个等式来暗示. （2）列表法：应用表格来暗示两个变量的函数关系. （3）图象法：用图象来暗示两个变量的函数关系.

3．实数集的三种暗示办法：聚集暗示法,不等式暗示法,区间暗示法.

这个问题本质上涉及到函数的界说域与值域的暗示法,而界说域的肯定和值域的肯定是函数概念中两个主要的问题.

而区间的概念在函数的界说域中,显得十分主要.

设a,b∈R且a共13页 第8页

2

2

（1）a≤x≤b暗示为闭区间[a,b].数轴暗示为: （2）aa b a b a b （3）a≤x（6）x≤a,暗示为（-∞,a]

数轴暗示为 （7）x≥a暗示为 [a,+∞]数轴暗示为: 【精准练习】 a a 0 （1）已知函数yf(x),xa,b,那么聚集

{(x,y)|yf(x),x[a,b]}{(x,y)|x2}

中所含元素的个数是

A. 0个 B. 1个 C. 0或1个 D. 0或1或很多个 （2）若函数（答：2）

y12x2x42的界说域.值域都是闭区间[2,2b],则b＝

（3）若一系列函数的解析式雷同,值域雷同,但其界说域不合,则

2yx称这些函数为“天一函数”,那么解析式为,值域为{4,1}的

“天一函数”共有______个（答：9）

（4）若一系列函数的解析式雷同,值域雷同,但界说域不合,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x+1,值域为

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2

{5,19}的“孪生函数”共有 A.10个

B.9个

C.8个

D.7个

（5）已知函数yf(x),它的图象与直线的交点的个数是（ ）

（A）至少一个 （B）至多一个 （C）一个或两个 （D）可能有很多个

（6）.已知两个函数f(x)和g(x)的界说域和值域都是聚集{1,2,3},其界说如下表.

x f（x） 1 2 2 3 3 1 x g（x） 1 1 2 3 3 2 填写

下列g[f(x)]的表格,其三个数依次为 x g (f（x）) 1 2 3 A.3,1,2B 1,2,3 D. 3,2,1

.2,1,3C. 附： 趣说函数

函数是一种特别的映射,当A,B时非空的数的集应时,映射

f:AB就叫做从A到B的函数,记作yf(x),个中xA,yB.

解析式yf(x)暗示,对于聚集A中的随意率性一个x,在对应轨则f的感化下,即可得到y,是以,f是使“对应”得以实现的方法和门路,是接洽x与y的纽带,从而是函数的焦点.f可用一个或多个解析式来暗示,也可以用数表或图象等其他方法暗示.

原象聚集A叫函数f(x)的界说域,象聚集B叫函数f(x)的值域,很显著CB.

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“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点,有许多的同窗直到高三还不克不及深入懂得这一概念.原因在于这一概念的抽象性,假如把“函数”与我们现实生涯扣合起来,同窗们学起来就会认为既有意义又轻易懂得和应用. 1 函数是个“信使”

“函”字本身就有“信件”之意,每封信都是由邮递员按地址投到不合的的地方,每封信上都写有肯定的地址,不克不及含糊不清.同样,“函数”也是如许,每个自变量x都要按必定的对应轨则与肯定的yx就是一封信,它被“对应轨则”这个信使送到肯定的“收信人”——y手里. 2 函数是个“产品加工场”

x按规格——“对应轨则”“加工”成不合产品——y.它也象

“数字产生器”把原料——自变量x,投入不合的“数字产生器”——“对应轨则”就会得到不合的产品——因变量y. 3函数是个“无能的弓手”

有本领的弓手可以“一箭双雕”,可函数不成,有可能射不中目的,但它能多箭一雕.正如,由数集A到数集B的映射中,B中每个元素必有原象,也可有多个原象.A中元素在B中可以没有象. 4函数是“封建社会的婚宴”

在封建社会,传播着“好女不嫁二夫”,但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量x可对应一个函数值y,但是一个“妇女”——自变量x不克不及找多个“婆家”——y“一夫一妻”制,这正

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若有反函数的函数x与y之间必须是一一对应的.

有了上面的解释,你对“函数”这个概念是否加倍懂得了呢？其实,只要我们对数学产生了兴致,能经常和我们的生涯接洽在一路,就易学多了.

（7）设a.b为常数,M{f(x)|f(x)acosxbsinx};F：把平面上随意率性一点

（a,b）映射为函数acosxbsinx.

（1）证实：不消失两个不合点对应于统一个函数;

（2）证实：当f0(x)M时,f1(x)f0(xt)M,这里t为常数; （3）对于属于M的一个固定值f0(x),得M1{f0(xt),tR},在映射F的感化下,M1作为象,求其原象,并解释它是什么图象？ 7解： (1)假设有两个不合的点（a,b）,（c,d）对应统一函数,即F(a,b)acosxbsinx与F(c,d)ccosxdsinx雷同, 即 acosxbsinxccosxdsinx对一切实数x均成立.

特别令x=0,得a=c;令

x2,得

b=d这与（a,b）,（c,d）是两

个不合点抵触,假设不成立.

故不消失两个不合点对应同函数.

（2）当f0(x)M时,可得常数a0,b0,使f0(x)a0cosxb0sinx

(a0costb0sint)cosx(b0costa0sint)sinx.

因为a0,b0,t为常数,设a0costb0sintm,b0costa0sintn,则m,n是常数.

从而f1(x)mcosxnsinxM.

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（3）设f0(x)M,由此得f0(xt)mcosxnsinx

（其中ma0costb0sint,nb0costa0sint）

在映射F下,f0(xt)的原象是（m,n）,则M1的原象是

消去t得

2m2n2a0b02,即在映射F下,M1的原象

2a0b022{(m,n)|m2n2a0b02}是以原点为圆心,为半径的圆．

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