初中数学几何辅助线作法小结

几何辅助线作法小结

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． （一）、倍长中线（线段）造全等

D1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. ABCA2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF， D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

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BEFDC初中数学几何辅助线作法小结

3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDEC

中考应用

以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，

BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置

关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

ACB

（二）、截长补短

D1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

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BCEAD初中数学几何辅助线作法小结

2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

0ABQPC03：如图，已知在VABC内，BAC60，C40，P，Q分别在BC，CA上，

并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC， 求证：AC180

5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

BPC1ABC0AD2D3 / 14

初中数学几何辅助线作法小结

中考应用

（三）、平移变换

1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD

ABDEC

（四）、借助角平分线造全等

1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

EOABDC4 / 14

初中数学几何辅助线作法小结

2：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

中考应用

如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你B 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B M

E E D

F F D P O （五）、旋转

1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

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BECADF图①

AEBGCFDN

A

图② (第23题图)

C

A 图③

C 初中数学几何辅助线作法小结

2：D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） （2）

NM当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 若AB=2，求四边形DECF的面积。

BAECFA3.如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ；

A00MNBCD

中考应用

1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120o，

∠MBN60o，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于

E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

AB

AAE

E M

B

M

BF

CF

D

N

CF

D

N

CD N

（图3）

E M

（图1） （图2）

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2、已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．



图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还

成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

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初中数学几何辅助线作法小结 圆中作辅助线的常用方法

（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。

②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。

图1（上） 图1（下）

（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，

（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。

（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。 （10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。

例题1：如图，在圆O中，B为求∠CBD的度数。

例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=

的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，

1（弧AD+弧BC）的度数。 28 / 14

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一、造直角三角形法 1.构成Rt△,常连接半径

例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长; 2.遇有直径,常作直径上的圆周角

例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E. 求证:CE = AE;

3.遇有切线,常作过切点的半径

例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F. 求证:∠OAE = ∠OBF;

4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长) 例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P = 60°。

求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3； 5．正多边形相关计算常构造Rt△

例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段

例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF; (2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;

三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形

BAO1PCAC上一点,AM延长线交DC延长线于F. 例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是»求证: ∠F = ∠ACM; 四、切线的综合运用

1．已知过圆上的点，常_________________

例8.如图， 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证： BC与⊙O2相切.

例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点． 求证：CD与⊙O相切于点E．

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初中数学几何辅助线作法小结

2.两个条件都没有,常___________________

例10. 如图，AB是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证: 直线MN与半圆相切；

例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;

例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。 求证：⊙O也与其他三边都相切； 五、两圆相关题型

1．两圆相交作_____________________

例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点. 求证:CE∥DF; 2.相切两圆作________________________

例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A点，BC交⊙O2于D点。 求证：∠BAC = ∠BDP； 3．两圆或三圆相切作_________________

例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2，又⊙O3与三个半圆两两相切。求⊙O3的半径； 4．一圆过另一圆的圆心，作____________

例16.两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B 两点，且⊙O1过点O2，过B点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点. 求证：△ACD是等边三角形； 六、开放性题目

例17．已知：如图，以△ABC的边AB为直径的eO交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．

（1）BC与eO是否相切？请说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并

C

C 说明理由．

D A

E B

D E B

O A O （第23题）

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四边形辅助线做法

一、和平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.

求证:OE与AD互相平分.

2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.

3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.

例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长. 3． 与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解

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决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.

例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：

1∠BCF=2∠AEB.

五、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等. 例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.

的长.

六、和中位线有关辅助线的作法

例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE

例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.

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中考数学经典几何证明题

1. （1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N，试判断△OMN的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD中，若ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；

（3）如图3，在△ABC中，ACAB，点D在AC上，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若FEC45，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由． 练习

1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平．．面镶嵌的是（ ）

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

2、矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）

A．1

B．

BAMNAEDOBFCBEDAEDMFCFC图 1 图2 图3

43 C． 32 D．2

3、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于

D C

G 点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？

H 请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

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A B E

F

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二、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等. 例1 已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.

例2 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.

三、和中位线有关辅助线的作法

例3 如图，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.

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