数学分析三试卷及答案

一. 计算题（共8题，每题9分,共72分）.

1. 求函数在点(0,0）处的二次极限与二重极限。 解：，因此二重极限为.……（4分)

因为与均不存在，

故二次极限均不存在。 ……（9分）

2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数，

求.

解： 对两方程分别关于求偏导： ，

……（4分）

。解此方程组并整理得。 ……（9分） 3. 取为新自变量及为新函数，变换方程

.

设 （假设出现的导数皆连续）。 解：看成是的复合函数如下：

。 ……（4分） 代人原方程，并将变换为。整理得：

。 ……（9分）

4. 要做一个容积为的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？

解: 设圆桶底面半径为,高为，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中

目标函数: ，

约束条件: . ……（3分） 构造Lagrange函数:。

令 ……（6分）

解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。 ……(9分) 5. 设,计算.

解:由含参积分的求导公式 ……(5分)

. ……（9分） 6. 求曲线所围的面积,其中常数。

解：利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

. ……（3分)

则

……（6分） ……(9分） 。

7。 计算曲线积分，其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向。

解：取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面,定向为上侧，则的

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法向量为

。 ……(3分） 由Stokes公式得 ……（6分） ……（9分)

8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧。 解:椭球的参数方程为，其中且

。 ……（3分)

积分方向向下,取负号,因此, ……(6分）

……(9 分)

二。 证明题（共3题，共28分)。

9.（9分）讨论函数在原点（0，0)处的连续性、可偏导性和可微性。 解：连续性：当时，

，当，

从而函数在原点处连续。 ……（3分） 可偏导性：, ,

即函数在原点处可偏导.……（5分) 可微性： 不存在,

从而函数在原点处不可微。 ……(9分) 10。(9分)(9分） 设满足： （1)在上连续, （2),

（3）当固定时,函数是的严格单减函数。

试证:存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。 证明：(i）先证隐函数的存在性。

由条件(3）知，在上是的严格单减函数，而由条件(2）知,从而由函数的连续性得 ， 。

现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得

， .

同理，则必存在使得

， 。

取，则在邻域内同时成立

， 。 ……（3分) 于是,对邻域内的任意一点，都成立 ， .

固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得

＝0。

而关于严格单减，从而使＝0的是唯一的.再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或.此证明了隐函数的存在性.

……(6分）

(ii）下证隐函数的连续性.

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设是内的任意一点，记. 对任意给定的，作两平行线

， 。

由上述证明知 ， 。

由的连续性，必存在的邻域使得 ， , 。

对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且

, 。

于是在内存在唯一的一个零点使

，

即 对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。 ……（9分) 11.(10分）判断积分在上是否一致收敛,并给出证明。 证明:此积分在上非一致收敛.证明如下： 作变量替换，则

。 ……（3分) 不论正整数多么大，当时，恒

有。 ……(5分）

因此，

……（7分) ，当时。

因此原积分在上非一致收敛。 ……(10分)

注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：

尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时，关于并非一致趋于零。事实上，取 相应地取,则,并非趋于零。

《 数学分析［3] 》模拟试题

一、解答下列各题(每小题5分，共40分）

1、 设求； 2、求

3、设求在点处的值；

4、求由方程所确定的函数在点处的全微分; 5、求函数在点处的梯度；

6、求曲面在点(1，2，0）处的切平面和法线方程； 7、计算积分:； 8、计算积分：;

二、(10分）求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。 三、（10分)若是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求

四、(10分）计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 。 五、(10分）计算，其中为，的全部边界曲线,取逆时针方向。 六、（10分）计算,其中是半球面。

七、（10分)讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。

参考答案

一、解答下列各题（每小题5分，共40分）

1、 设求; 解：;

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。

2、求； 解：

3、设求在点处的值； 解： 。

4、求由方程所确定的函数在点处的全微分; 解：在原方程的两边求微分,可得

将代入上式，化简后得到

5、求函数在点处的梯度； 解： 。

6、求曲面在点(1，2，0）处的切平面和法线方程； 解:记

在点（1，2,0）处的法向量为： 则切平面方程为:即 法线方程为：，即。 7、计算积分：； 解:

而在上连续，且在［1，2］上一致收敛，则可交换积分次序,于是有 原式。

8、计算积分:;

解：交换积分顺序得:

八、求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面. 解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x，y，z），则长方体的体积为： 拉格朗日函数为 由 解得：

根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大. 九、若D是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求 解：

十、计算，其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 。 解：

。

十一、 计算，其中为，的全部边界曲线,取逆时针方向。 解:由格林公式： 所以

十二、 计算,其中是半球面. 解：

十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。 解：，而收敛，

所以由M判别法知，在内的一致收敛。

《 数学分析［3] 》模拟试题

十四、 解答下列各题（每小题5分，共40分)

1、设，求； 2、，求； 3、设，求；

4、设是方程所确定的与的函数，求; 5、求函数在点处沿从点到点的方向导数;

6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面,求P点的坐标。 7、计算积分：；

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8、计算积分:；

二、（10分）原点到曲线的最大距离和最小距离. 三、（10分）已知，其中为球体:，求 四、（10分）计算，其中D是由圆周所围成的区域。 五、（10分）计算，其中为圆周，取逆时针方向。 六、（10分）计算，其中为锥面被拄面所割下部分。 七、（10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.

参考答案

十五、 解答下列各题（每小题5分，共40分）

1、设,求； 解： . 2、，求； 解： .

3、设，求； 解： 。

4、设是方程所确定的与的函数，求; 解：方程两边求微分，得

。

5、求函数在点处沿从点到点的方向导数;

解：方向即向量的方向,因此x轴到方向的转角。 故所求方向导数为：。

6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标. 解：设P点的坐标为，则P点处的切平面为 又因该平面与平面平行， 则有 ，，即。

7、计算积分：； 解：

而在上连续,且在［2,3]上一致收敛，则可交换积分次序，于是有 原式。

8、计算积分：;

解:交换积分顺序得：

三、原点到曲线的最大距离和最小距离.

解：设P（x，y，z）为曲线上任意点,则目标函数为,约束条件为，建立拉格朗日函数： 由 得驻点：和,根据实际情况必有最大值和最小值， 。

四、已知，其中为球体：，求 解:用球坐标计算，得 故.

四、计算,其中D是由圆周所围成的区域。 解：由对称性知：

故

五、计算，其中为圆周，取逆时针方向. 解：由格林公式： 所以 。

六、计算,其中为锥面被拄面所割下部分. 解:在xoy面上的投影为

八、讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.

《数学分析(三) 》参考答案及评分标准第 5 页 共 6 页

解：当时,,而收敛,

所以由M判别法知，在内的一致收敛。

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