4.3三角恒等变换19改

考纲解读

会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.

能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.

能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究

高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度.

考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲

常用三角恒等变形公式 和角公式

sin()sincoscossin cos()coscossinsin

sin21cos1cos;cos; 222sin1cos.

21cossina辅助角公式 tanasinbcosa2b2sin(),tanb(ab0),a角的终边过点(a,b)，特殊地，若

asinbcosa2b2或a2b2，则btan.

a常用的几个公式

sincos2sin();

4sin32cos2sin();

33sincos2sin();

6题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明

tan()tantan

1tantan差角公式

sin()sincoscossin cos()coscossinsin

(1)C:cos()coscossinsin; (2)用C证明

S:sin()sincoscossin

tan()tantan

1tantan(3)用(1)(2)证明

T:tan()tantan.

1tantan倍角公式

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2 2tan tan2

1tan2降次（幂）公式 11cos21cos 2sincossin2;sin2;cos2;222 半角公式 1

变式１ 证明：

(1)C:cos()coscossinsin; (2)S:sin()sincoscossin

目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.

13变式1 若cos(),cos(),则

55tantan_______.

(3)T:tan()tantan.

1tantan

题型66 化简求值 思路提示

三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.

(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.

(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.

(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.

一、化同角同函

3cos(x)例4.34 已知则

45sin2x2sin2x(1tanx)

4变式2 若cos，是第三象限角，则

51tan1tanA.2()

2712 B. 25251118C. D. 2525

评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，A.2

11 B.

22C.2 D.2

14，则sin2(变式3 若tantan11A. B. 5411C. D. 32

).

二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）

将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.

常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1.和、差角变换

如可变为()；2可变为

()()；2可变为()

(A.C.).

512 B.3

4 D.6例4.35 若

330,cos,sin(),则

255cos的值为（ ）.

变式2 若

3335(,),(0,),cos(),sin()44445413，则sin()______.

二、辅助角公式变换

A.1 B.1或

C.7 252424 D. 2525

评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：

43例4.36 已知cos()sin，则

65sin(A.7)的值为（ ）. 6();();()()等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式1 已知

sin

2525 B. 55510,sin(),,(0,)51023

44C. D.

55

变式1设

sin14cos14,bsin16cos16,c62,则a,b,c 的大小关系为（ ）.

A.a变式2将函数f(x)3sinx2cosx2的图象向右平移

23个单位长度得到函数yg(x)的图象，则函数yg(x)的一个单调递减区间是（ ）

A．(,) B42．(2,) C．(2,4) D．(32,2)

变式3 已知sin6cos33，则

cos6（ ） A．223 B．223 C．113 D．3

变式4 设当x时，函数f(x)2sinxcosx取得最大值，则cos__________

3.倍角，降幂（次）变换

例4.37 已知为第二象限角，sincos33则cos2().

变式1 若sin(6)123则cos(3)(). A.79 B.113 C.3

D.79

4

4变式2 已知sincos，则s（ ）. in2=

4.诱导变换

3A．79

B．29

C． 29

D．79

变式3已知sin(2)3125,sin13且

(2,),(2,0),求sin值.

变式4若sin35,(12,),tan()2，则

tan(2)().

A.247 B.724 C.247 D.724

变式5已知sin12cos，且(0.2)，则

cos2sin(_____.

4)

例4.38若f(sinx)3cos2x，则

f(cosx)().

A.3cos2x B.3sin2x C.3cos2x D.3six n

变式1 是第二象限角，tan(2)43，则

tan_______.

变式2 若sin(54)13,(0,2)，则

cos2_____.cos(4)

变式3 tan4sin2cos2,2,，

则tan____________．

5

最有效训练题19（限时45分钟） 1.已知函数f(x)sinx3cosx,设

af(),bf(),cf()，则a,b,c的大小

763关系为（ ）.

A.a6.函数ysinx3的最大值是（ ）.

cosx41412261226A. B. C. D.

2315157.已知tan()3，则

4sin22cos2______.

1ππ2.函数fxsinxcosx的最大值

536为（ ）.

π8. 已知0,，tan2，则

2πcos .

46 53C．

5A．

B．1

1 D．

51). ，则cos(2)(2244A. B. 5511C. D. 22114.已知tan(),tan，且

273.若tan9.

3tan101________. 2(4cos102)sin10,(0,)，则2(A.).

3 44535C.,,, D. 44444 B.11310.已知cos,cos()，且

7140，则tan2____,____.

2

2xf(x)2cos3sinx. 11.已知函数

2（1）求函数f(x)的最小正周期和值域；

5.函数ysin(x)(0)的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x轴的交点，则tanAPB(87).

Ａ.10 Ｂ.8 C. D.

6

471（2）若是第二象限角，且f()，求

33cos2的值.

1cos2sin2

12.已知三点

3A(3,0),B(0,3),C(cos,sin),(,).

22（1）若ACBC，求角；

2sin2sin2（2）若ACBC1，求的值.

1tan