《第1课时 圆周角和圆心角的关系1》教案 (公开课)2022年北师大版数学

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)

2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)

一、情境导入

在以下列图中，当球员在B, D, E处射

门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC，∠AEC.这三个角

的大小有什么关系？

二、合作探究 探究点：圆周角定理及其推论 【类型一】 利用圆周角定理求角的度数 如图，CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，假设∠D的度数是50°，那么∠C的度数是( ) A．25° B．30° C．40° D．50° 解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°.∵∠C＝11

2∠AOD，∴∠C＝2

×50°＝25°.应选A.

方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．

变式训练：见?学练优?本课时练习“课

堂达标训练〞第2题

【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数

如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵

，∠A＝30°，那么∠B＝( )

A．150° B．75°

C．60° D．15° 解析：因为AB︵＝AC︵

，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B

＝ 180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.应选B.

方法总结：解题的关键是掌握在同圆或

等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相

等．注意方程思想的应用．

变式训练：见?学练优?本课时练习“课

堂达标训练〞第8题 【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合 如以下列图，AB是⊙O的一条弦，OD

⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上． (1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；

(2)假设AC＝7，CD＝1，求⊙O的半

径．

解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得AD︵＝BD︵

，再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答．

解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AD︵＝BD︵，∴∠DEB＝11

2∠AOD＝2×52°

＝26°；

(2)设⊙O的半径为x，那么OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋(7)2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4.

方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌

握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第3题

【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是CD︵

的中点，求证：∠B＝∠BEC.

解析：由点B是CD︵

的中点，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．

证明：∵B是CD︵的中点，∴BC︵＝BD︵

，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180°－∠B－∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC.

方法总结：此题考查了圆周角定理的推

论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．

变式训练：见?学练优?本课时练习“课

后稳固提升〞第7题

【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC＝∠CPB＝60°.连接AB、BC、AC.

(1)试判断△ABC的形状，并给予证明； (2)求证：CP＝BP＋AP. 解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，那么△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．

(1)解：△ABC是等边三角形．证明如

下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是BC︵

所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC︵

所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；

(2)证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB∠APB＝∠ADC，和△ADC中，

∠ABP＝∠ACD，∴△APB

AP＝AD，≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP，

∴CP＝BP＋AP.

方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．

【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合 如图，点E是BC︵

的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.求证：BE2＝AE·DE.

解析：点E是BC︵

的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE＝∠CBE，可证得△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．

证明：∵点E是BC︵的中点，即BE︵＝CE︵

，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.

方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形

的问题常常考虑此定理．

三、板书设计

圆周角和圆心角的关系

1．圆周角的概念 2．圆周角定理

3．圆周角定理的推论

本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.

第2课时 三角形的三边关

系

1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；

2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)

一、情境导入

数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？

问：你能不能给三角形下一个完整的定义？

二、合作探究

探究点一：三角形按边分类

以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )

解析：

三角形根据边分类



不等边三角形等腰三角形只有两边相等的三角形



三边相等的三角形〔等边三角形〕应选D.

方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键． 探究点二：三角形中三边之间的关系 【类型一】 判定三条线段能否组成三角形 以以下各组线段为边，能组成三角形的是( )

A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm

C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm

解析：选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.

方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．

【类型二】 判断三角形边的取值范围 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )

A．3＜x＜11 B．4＜x＜7

C．－3＜x＜11 D．x＞3

解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜xA.

方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

【类型三】 三角形三边关系与绝对值的综合 假设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.

解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．

解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.

方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．

三、板书设计

1．三角形按边分类：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．

2．三角形中三边之间的关系： 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．

本节课让学生经历一个探究解决问题

的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力