广西柳州市2022届高三毕业班上学期摸底联考数学(文)试题 Word版含答案

第Ⅰ卷（共60分）

收入x（万元） 支出y（万元） 8.3 6.3 8.5 7.4 9.9 8.1 11.4 8.5 11.9 9.7 据上表得回归直线方程ybxa，其中b0.76,aybx，据此估量，该社区一户收入为15万元家庭的年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合Axx3，Byy23y280，则AB（ ） A． B．7,4 C．7,4 D．3,3 2.已知复数z满足z2i4，i是虚数单位，则复数z的虚部是（ ） A．

4445 B．5 C．5i D．45i 3.如图是调査某地区男女中同学宠爱理科的等高条形阴影部分 表示宠爱理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的（ ）

①性别与宠爱理科有关 ②女生中宠爱理科的比为20% ③男生不比女生宠爱理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为40% A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

4.已知tan4，则sincossin217sin4的值为（ ） A．1421686868 B．68 C．14 D．21

yx5. 若变量x,y满足约束条件xy1，则z2xy的最大值为（ ）

y1A． 1 B．2 C. 3 D．4

6.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如图统计数据表：

支出为（ ）

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D． 12.2万元

7.函数fx1cosxsinx在,上的图象的大致外形是（ ）

A． B．

C． D．

8.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数yxa,x0,是增函数的概率为（ ）

A．

37 B．45 C. 335 D．4 9.过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（A．

993332 B．16 C.8 D．16 10.空间中，设m,n表示不同的直线，,,表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

） A．若,，则// B．若m,m，则// C. 若m,，则m// D．若nm,n，则m//

x2ay211.过双曲线2b21a0,b0 的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P.

若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（ ） A．2 B．3 C. 2 D．5

12.已知函数fxe2x1，直线l过点0,e且与曲线yfx相切，则切点的横坐标为（ ） A． 1 B．1 C. 2 D．e1

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.平面对量a与b的夹角为60，a2,0,b1，则a2b ．

14. 已知焦点在x轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13，则椭圆

的方程是 ．

15.在锐角ABC中，角A,B所对的边分别为a,b，若2bsinA2a，则角B等于 ．

15. 已知函数fx对任意xR都有fx6fx2f3，yfx1的图象关于点1,0对称且

f24，则f22 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设数列aSn的前n项和为Sn，点n,nnnN*均在函数y3x2的图象上.

（1）求证：数列an为等差数列；

（2）设T2n是数列a的前n项和，求Tnna.

n118. 在三棱锥PABC中，PAC和PBC是边长为2的等边三角形，AB2，O,D分别是AB,PB的中点.

（1）求证：OD//平面PAC；

（2）求证:OP平面ABC； （3）求三棱锥DABC的体积.

19. 某校高一班级同学全部参与了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名同学的测试成果，整理数据并按分数段40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成果的折线图如图.

（1）体育成果大于或等于70分的同学常被称为“体育良好”.已知该校高一班级有1000名同学，试估量高

一班级中“体育良好”的同学人数；

（2）为分析同学平常的体育活动状况，现从体育成果在60,70和80,90的样本同学中随机抽取2人，求在抽取的2名同学中，至少有1人体育成果在60,70的概率.

20. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P4,m到焦点的距离为5.

（1）求该抛物线C的方程；

（2）已知抛物线上一点Mt,4，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，推断直线DE是否过定点？并说明理由.

21. 已知函数fxaxxlnx在xe2处取得微小值. （1）求实数a的值；

（2）当x1时，求证fx3x1.

请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线Cx4t21的参数方程为(其中t为参数）.y4t以坐标原点O为极点，x轴正半

轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C22的极坐标方程为cos42.

（1）把曲线C1的方程化为一般方程，C2的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线C1，C2相交于A,B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点，求PEPF.

23. 选修4—5:不等式选讲 已知函数fxx12017.

（1）解关于x的不等式fxx2017； （2）若fa43fa421，求实数a的取值范围.

试卷答案 一、选择题

1-5: DBCBC 6-10: BACAB 11、12：AA

二、填空题

13.23 14. 1 15. 4 16. 4 三、解答题

17. (1)依题意，

Snn3n2，即Sn3n22n， n2时，a2nSnSn13n22n3n12n16n5

当n1时，a1S11符合上式， 所以an6n5nN*.

又 ∵anan16n56n156， ∴an是一个以1为首项，6为公差的等差数列. （2）由（1）知，

22111a6n56n1536n56n1， nan1故T1111n31711112n7136n56n1316n16n1. 18. （1）∵O,D分别为AB,PB的中点， ∴OD//PA.

又PA平面PAC,OD平面PAC， ∴OD//平面PAC.

（2）连接OC,OP,∵O为AB中点，AB2, ∴OCAB,OC1. 同理，POAB,PO1. 又PC2，

∴PC2OC2PO22， ∴POC90. ∴POOC.

∵POOC,POAB,ABOCO， ∴PO平面ABC.

（3）由（2）可知OP平面ABC，

∴OP为三棱锥PABC的高，且OP1.

∴V1111DABC6SABCOP622116.

19.（1）由折线图知，样本中体育成果大于或等于70分的同学有30人. 所以该校高一班级同学中，“体育良好”的同学人数大约为10003040750人. （2）设“至少有1人体育成果在60,70为大事M，

记体育成果在60,70的同学为A1,A2，体育成果在80,90的同学为B1,B2,B3， 则从这两组同学中随机抽取2人，全部可能的结果如下：

A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3共 10 种.

而大事M所包含的结果有A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3共7种，因此大事M发生的概率为

710. 20. （1）由题意设抛物线方程为y22px， 其准线方程为xp2， ∵P4,m到焦点的距离等于A到其准线的距离， ∴4p25，∴p2. ∴抛物线C的方程为y24x.

（2）由（1）可得点M4,4，可得直线DE的斜率不为0， 设直线DE的方程为：xmyt， 联立xmyt2，得y24my4t0y4x，

则16m216t0①.

设Dx1,y1,Ex2,y2，则y1y24m,y1y24t. ∵MDMEx14,y14x24,y24

x1x24x1x216y1y24y1y216

y2y214y22441y2216y1y24y1y44216 y1y22216y1y23y1y24y1y232

t216m212t3216m0

即t212t3216m216m，得：t6242m12， ∴t622m1，即t4m8或t4m4， 代人①式检验均满足0，

∴直线DE的方程为：xmy4m8my48或xmy44. ∴直线过定点8,4（定点4,4不满足题意，故舍去）. 21.（1）由于fxaxxlnx， 所以fxalnx1，

由于函数fx在xe2处取得微小值， 所以fe20，即alne210， 所以a1，

所以fxlnx2，

当fx0时，xe2，当fx0 时，0xe2 所以fx在0,e2上单调递减，在e2,上单调递增. 所以fx在xe2处取得微小值，符合题意. 所以a1.

（2）由（1）知a1，∴fxxxlnx.

令gxfx3x1，即gxxlnx2x3x0. gxlnx1，由gx0得xe.

由gx0得xe，由gx0得0xe，

所以gx在0,e上单调递减，在e,上单调递增，

∴所以gx在1,上最小值为ge3e0. 于是在1,上，都有gxge.

∴fx3x1得证.

x4t222.（1）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），消去参数可得y24x.

y4t∴a42，解得2a6.

222曲线C2的极坐标方程为cos，开放为cossin，化为xy10.

4222（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，且中点为Px0,y0， y24x联立，

xy10解得x26x10， ∴x1x26,x1x21. ∴x0x1x23,y02. 2线段AB的中垂线的参数方程为 x3y22t2（t为参数）， 2t2代入y24x，可得t282t160， ∴t1t216，

∴PEPFt1t216.

23. （1）fxx2017可化为x1x， ∴x1x2， ∴x21. 21∴不等式的解集为xx.

2（2）∵fxx12017在1,上单调递増，又a431，a411， ∴只需要a43a41， 化简为a11a420，

22