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专题32 尺规作图问题
专题知识回顾
1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。 2.尺规作图的五种基本情况： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知线段的垂直平分线； （4）作已知角的角平分线； （5）过一点作已知直线的垂线。 3.对尺规作图题解法：
写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。 4.中考要求：
（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.
（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形. （3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20° 【答案】B
1
B．30° C．45° D．60°
【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．
在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。
【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【答案】见解析。
【解析】（1）分别以A.B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。 如图所示，直线EF即为所求；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可。 ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C． ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°， ∵EF垂直平分线段AB， ∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
2
【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS） 【答案】B
【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS．
【例题4】（2019•山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
B． （SSS）
C． （ASA）
D． （AAS）
【答案】见解析。
【解析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
3
先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点． 如图，△ABC为所作．
专题典型训练题一、选择题
1.（2019•广西北部湾）如图, 在△ABC中，AC=BC, ∠A=400 ，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A． 400 B． 450 C．500 D．600 【答案】C
【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质． 由作法得CG⊥AB，
∵AB=AC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B， -40°-40°=100°∵∠ACB=180°， ∴∠BCG=∠ACB=50°．
2.（2019·贵州贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
4
A．2 【答案】D．
【解析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．
由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝
＝
．
B．3
C．
D．
3.（2019•河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．【答案】C．
B． C． D．
【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
4．（2019•山东潍坊）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE． ③连接OE交CD于点M． 下列结论中错误的是（ ）
A．∠CEO＝∠DEO C．∠OCD＝∠ECD
B．CM＝MD
D．S四边形OCED＝CD•OE
5
【答案】C．
【解析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可． 由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，
∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD•OE， 但不能得出∠OCD＝∠ECD
5．(2019•湖北宜昌)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知，选项A符合条件，故选A．6.（经典题）作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 【答案】见解析。 【解析】作法： ① 作射线AP；
② 在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。
7.（经典题）已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
【答案】见解析。 【解析】作法： ① 作线段AB = c；
6
② 以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心 a为半径作弧与前弧相交于C； ③ 连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
8.（经典题）已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m，n, ∠.
求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.
【答案】见解析。 【解析】作法： ① 作∠A=∠；
② 在AB上截取AB=m ,AC=n； ③ 连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
9.（经典题）做已知线段的中点 已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 【答案】见解析。
【解析】作法：① 分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同
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线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； ② 连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
10.（经典题）作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。【答案】见解析。 【解析】作法：
① 以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N；
② 分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； ③ 作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。
11.（经典题）已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠，∠，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.
【答案】见解析。
8
【解析】作法： ① 作线段AB=m；
② 在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠， ∠A与∠B的另一边相交于C。 则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
12.（2019•河北模拟题）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C．【答案】D
D．
【解析】要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确 D选项中作的是AB的中垂线， ∴PA=PB， ∵PB+PC=BC， ∴PA+PC=BC
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13.（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B
【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形。 ∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形。
14.(2019•湖南益阳)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 【答案】B
【解析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
二、填空题
15．（2019武汉）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若
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AP＝3，则点P到BD的距离为 ．
【答案】3
【解析】结合作图的过程知：BP平分∠ABD， ∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3。
16．（2019济南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则
＝ ．
【答案】．
【解析】由作法得BD平分∠ABC， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD， ∴AD＝2CD， ∴
＝1/2
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17. ( 2019甘肃省兰州市) 如图， 矩形ABCD， ∠BAC＝600. 以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB.AC于点M、N两点，再分别以点M、N 为圆心，以大于
1MN的长为半径作弧交于点P ，作射线AP2交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.
【答案】33．
【解析】 由题可知AP是∠BAC的角平分线 ∵∠BAC＝600 ∴∠BAE＝∠EAC＝300 ∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝3 ∴∠AEB＝600
又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC＝∠ECA＝300 ∴AE＝EC＝2 ∴BC＝3
∴S矩形ABCD＝33．
18. (2019四川成都）如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M；③以点M为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N；④过点N作射线ON交BC于点E，若AB=8，则线段OE的长为 .
【答案】4
【解析】此题考察的是通过尺规作图构造全等三角形的原理及两直线平行的判定，连接MN和MN，因为
AMOM，ANON，MNMN，所以△AMN△OMN(SSS)，所以，MANMON，
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所以OE∥AB，又因为O是AC中点，所以OE是△ABC的中位线，所以OE1AB，所以OE4. 2
三、填空题
19．（2019•六盘水模拟题）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）
【答案】见解析。
【解析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可。 如图所示：
20.（2019石景山二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：∠AOB．
求作：∠APC，使得∠APC=2∠AOB． 作法：如图，
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①在射线OB上任取一点C； ②作线段OC的垂直平分线， 交OA于点P，交OB于点D； ③连接PC；
所以∠APC即为所求作的角． 根据小华设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：∵DP是线段OC的垂直平分线，
∴OP= （ ）． ∴∠O=∠PCO．
∵∠APC=∠O+∠PCO（ ）． ∴∠APC =2∠AOB． 【答案】见解析。
【解析】（1）补全的图形如图所示：
（2）PC；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
21.（2019•湖北省仙桃市）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m； （2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．
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（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m． 如图①，直线m即为所求
（2）（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n． 如图②，直线n即为所求
22.（2019•四川省达州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3． （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D； ②过点D作BC的垂线，垂足为点E． （2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E。 如图，DE为所作；
（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE． ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACB＝45°， ∵DE⊥BC，
∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE， ∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC， ∴
＝，即＝，
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∴DE＝．
23.（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要 求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若
ADAE=2，求的值． DBEC
【答案】见解析。
【解析】（1）如图所示，∠ADE为所求.
（2）∵∠ADE=∠B ∴DE∥BC ∴
AEAD= ECDBADAE=2 ∴=2 DBEC∵
24.（2019•广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
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把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF即可得到△DEF。如图，
△DEF即为所求．
25.（2019•湖北孝感）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）线段CD与CE的大小关系是 ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值． 【答案】见解析。
【解析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案； CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
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∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°， ∴∠CEB＝∠CDE， ∴CD＝CE， 故答案为：CD＝CE；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝＝13，知sin∠DAF＝
＝，即
＝
，解之求得x＝
，结合BC＝BF＝5可得答案．
∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF， ∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD， 在△BCD和△BFD中， ∵
，
∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴CD＝DF， 设CD＝DF＝x， 在Rt△ACB中，AB＝＝13， ∴sin∠DAF＝＝
，即
＝
，
解得x＝
，
∵BC＝BF＝5， ∴tan∠DBF＝
＝
×＝．
26.（ 2019•广东模拟题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；
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（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论． DE∥AC
∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC．
27.（2019平谷二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点P． 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2，
（1）在直线l上任取一点A；
（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）； （3）连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；
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（4）作直线PH，交直线l于点H． 所以直线PH就是所求作的垂线． 根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形 （保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明. 证明：∵PH平分∠APB， ∴∠APH= ． ∵PA= ，
∴PH⊥直线l于H．( )(填推理的依据) 【答案】见解析。 【解析】（1）如图所示。 PHABl
（2）证明：∵PH平分∠APB， ∴∠APH= ∠BPH ． ∵PA= PB ， ∴PH⊥直线l于H．( 等腰三角形三线合一 )
28.（2019•甘肃庆阳）已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝ ．
【答案】见解析。
【解析】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．如图⊙O即为所求．
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（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题． 设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB＝＝5，
∴S圆O＝π•52＝25π．
29.（2019•广东广州）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
【答案】见解析。
【解析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求． 如图，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题． 连接BD，OC交于点E，设OE＝x． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝6，
∵BC＝CD， ∴
＝，
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∴OC⊥BD于E． ∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得x＝，
∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE＝
，
∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+
＝
． 22
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