柯西不等式习题

4-5柯西不等式教学题库大全 (a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.) (2)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

(3)(ab)(cd)(acbd)2(a,b,c,d0,当且仅当adbc时，等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

.(当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比方说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 〔1〕巧拆常数：

例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：〔2〕重新安排某些项的次序：

例2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2R求证：(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2 〔3〕改变结构：

例3、假设a>b>c 求证：〔4〕添项：

abc3 bccaab2【1】、设a(2,1,2), b6，则ab之最小值为________；此时b________。

114 abbcac2229 abbccaabc例4：a,b,cR求证：

1

答案：18; (4,2,4) 解析：abab ∴ab18 ∴18ab18

 ab之最小值为18，此时b2a(4,2,4)

222

【2】 设a (1，0， 2)，b (x，y，z)，假设x  y  z  16，则ab的最大值为 。

【解】

∵ a (1，0， 2)，b (x，y，z) ∴ a．b x  2z

由柯西不等式[12  0  ( 2)2](x2  y2  z2)  (x  0  2z)2  5  16  (x  2z)2   45 x  45

  45 a．b  45，故a．b的最大值为45

【3】空间二向量a(1,2,3)，b(x,y,z)，已知b56，则(1)ab的最大值为多少？(2)此时b？ Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)

4936【4】设a、b、c为正数，求(abc)()的最小值。Ans：121

abc【5】. 设x，y，z  R，且满足x2  y2  z2  5，则x  2y  3z之最大值为

解(x  2y  3z)2  (x2  y2  z2)(12  22  32)  5．14  70 ∴ x  2y  3z最大值为70

【6】 设x，y，z  R，假设x2  y2  z2  4，则x  2y  2z之最小值为 时，(x，y，z)  解(x  2y  2z)2  (x2  y2  z2)[12  (  2) 2  22]  4．9  36 ∴ x  2y  2z最小值为  6，公式法求 (x，y，z) 此时∴ xxyz622 221222(2)23244，y，z 333【7】设x,y,zR，x2y2z225，试求x2y2z的最大值M与最小值m。 Ans：M15;m15

【8】、设x, y, zR, x2y2z225，试求x2y2z的最大值与最小值。

答：根据柯西不等式

(1x2y2z)[1(2)2](xyz)

2

2222222 即(x2y2z)925 而有15x2y2z15

故x2y2z的最大值为15，最小值为–15。

2【9】、设x, y, zR, 2xy2z6，试求x2y2z2之最小值。

答案：考虑以下两组向量

22 u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式(uv)2uv，就有 [2x(1)y(2)z]2[22(1)2(2)2](x2y2z2)即

(2xy2z)29(x2y2z2) 将2xy2z6代入其中，得 369(x2y2z2) 而有 x2y2z24 故x2y2z2之最小值为4。

【10】设x,y,zR，2xy2z6，求x2y2z2的最小值m，并求此时x、y、z之值。

424Ans：m4;(x,y,z)(,,)

333【11】 设x，y，z  R，2x  2y  z  8  0，则(x  1)2  (y  2)2  (z  3)2之最小值为

解： 2x  2y  z  8  0  2(x  1)  2(y  2)  (z  3)   9，

22 u = ( , , ) ，v =( , , ) (uv)2uv

[2(x  1)  2(y  2)  (z  3)]2  [(x  1)2  (y  2) 2  (z  3) 2]．(22  22  12)  (x  1)2  (y  2) 2  (z  3) 2 

【12】设x, y, zR，假设2x3yz3，则x2(y1)2z2之最小值为________，又此时

考虑以下两组向量

(9)29 9

y________。

解： 2x3yz3  2x  3(y  1)  z ( )，

考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

解析：[x2(y1)2z2][22(3)212](2x3y3z)2[x2(y1)2z2]xy1zt, 2x3yz3,2(2t)3(3t1)t3 231

32 ∴t ∴y

77

3

3618 ∴最小值 147【13】 设a，b，c均为正数且a  b  c  9，则

解：考虑以下两组向量

4916之最小值为 abc u = ( , , ) ，v =( , , )

234491622abc)2  ()(a  b  c) (uv)2uv (abcabc4916 ()．9  (2  3  4)2  81

abc491681   9

abc9

123【14】、设a, b, c均为正数，且a2b3c2，则之最小值为________，此时a________。

abc解：考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

122322)()2()2](123)2 (uv)2uv [(a)2(2b)2(3c)2][(abc123 ∴()18，最小值为18 等号发生于 u//v 故

abca1a2b2b3c3c

∴abc 又a2b3c2 ∴a

1 3【15】. 设空间向量a的方向为，，，0  ，，  ，csc2  9 csc2  25 csc2 的最小值为 。

解∵ sin2  sin2  sin2  2由柯西不等式 ∴ (sin2  sin2  sin2)[(123252)()()]  (1  3  5)2 2(csc2  9csc2  25csc2)  81 sinsinsin∴ csc2  9csc2  25csc2 

8181 ∴ 故最小值为 22【注】此题亦可求tan2  9 tan2  25tan2 与cot2  9cot2  25cot2 之最小值，请自行练习。

【16】. 空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，，〔，， 均非象限角〕，求

149的最小值。 sin2sin2sin2解 : 由柯西不等式

4

[((122232)()()](sin2sin2sin2)  sinsinsin123sinsinsin)2 sinsinsin149)()()](sin2sin2sin2)(123)2 222sinsinsin149149)36()18 222222sinsinsinsinsinsin(∵ sin2  sin2  sin2  2 ∴ 2(∴

149的最小值  18

sin2sin2sin292516的最小值。 222sinsinsin【17】.空间中一向量a的方向角分别为,,，求答72利用柯西不等式解之

【18】、设x, y, zR，假设(x1)2(y2)2z24，则3xy2z之范围为何？又3xy2z发生

最小值时，x？

答案：[(x1)2(y2)2z2][32(1)2(2)2](3x3y22z)2

4(14)(3xy2z5)2 2143xy2z5214

52143xy2z5214x1y2z假设3xy2z5214又t∴3(3t1)(t2)2(2t)5214

312314141 ∴t ∴x77

【19】 设ABC之三边长x，y，z满足x  2y + z = 0及3x + y  2z = 0，则ABC之最大角是多少度？

211112x2yz0【解】 x：y：z =：：= 3：5：7

1223313xy2z0(3k)2(5k)2(7k)21设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cos == ，∴ = 120

2(3k)(5k)2(x1)2(y2)2(z3)21，求x  y  z之最大值，最小值。 【20】. 设x，y，z  R且

1654Ans 最大值7；最小值  3

【解】

(x1)2(y2)2(z3)21 ∵

1654

5

由柯西不等式知

x12y22z32[42  (5)2  22]()()()2542  x1y24．()5．()2． 45z3()  25  1  (x  y  z  2)2  5  |x  y  z  2| 2  5  x  y  z  2  5 ∴  3  x  y  z  7 故x  y  z之最大值为7，最小值为  3

【21】. 求2sin 3cos sin  cos cos 的最大值与最小值。

答. 最大值为22，最小值为 22

【详解】

令向量a  (2sin，3cos， cos)，b (1，sin，cos)

由柯西不等式 |a．b|  |a||b|得

| 2sin 3cos sin  cos cos | 4sin23cos2cos2，

1sin2cos24(sin2cos2)(1sin2cos2)22 所求最大值为22，最小值为 22

【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

(a2b2c2)(1112证明：由三角形中的正弦定理得 )36R222sinAsinBsinC14R214R214R2a，所以22，同理22，22于是左边= sinAsinAasinBbsinCc2R4R24R24R22R2R2R2(abc)(222)(aaa)36R2。

abcabc|Ax0By0C|222【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=

AB22.

证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得

6

22

(A2+B2［)(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥

|Ax0By0C|AB22.

当

xx0yy0AxByC|Ax0By0C|时,取等号,由垂线段最短得d=. 020222ABABAB111≤λ恒成立,求λ的范围. xyyzzx【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

1111111z≤(xyyzzx2xy2yz2zx2xyzxxyzy)

xyz31zxy3故λ的取值范围是［,+∞). (121212)()22xyzxyzxyz2温馨提示

此题主要应用了最值法,即不等式化为求f(x,y,z)=

111111≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转xyyzzxxyyzzx111的最大值. xyyzzxabc的值.

xyz【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式. 由柯西不等式等号成立的条件,知

abcabc=λ,再由等比定理,得=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不xyzxyzabc=λ时,上式等号成立. xyz等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±

abc55(舍负),即.

xyz66竞赛欣赏

1 〔1987年CMO集训队试题〕设a,b,cR，求证：

a5b5c5a3bcb3cac3ab 〔2-10〕

证明：因a2b2c2abbcca，由定理1有

a4b4c4(a2b2c2)2a2b2c2 此即〔2-10〕式。 bccaabbccaab

7

2 设a,b,cR，求证：b2ac2a2bc3(a2b2c2) 证明：由均值不等式得a3c2a2a2c,b3a2b2ab,c3b2c2bc2，故 a3b3c3a2bb2cc2a2(ab2bc2ca2) 即 (a2b2c2)(abc)3(ab2bc2ca2).

又由柯西不等式知3(a2b2c2)(abc)2，故3(a2b2c2)abc 又由定理1，得

原式左＝a4b4c4(a2b2c2)23(a2b2c2)2a2cb2ac2bbc2ca2ab2(a2b2c2)(abc)原式右 8