二次函数题
选择题:1、(2)2- m 是关于x的二次函数,则( )
A -1 B 2 C -1或2 D m不存在
2、下列函数关系中,可以看作二次函数2(a≠0)模型的是( )
A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系
4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是2,则抛物线的解析式是( )
A —( 2)2+2 B —( 2)2+2 C — ( 2)2+2 D —( 2)2—2 5、抛物线
1 x2-6242y 的顶点坐标是( )
A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D(6,
x —0 1 —6)
6、已知函数2,图象如图所示,则下列结论中正确的有( )个 ①〈0 ②a+c〈b ③ 〉0 ④ 2c〈3b y A 1 B 2 C 3 D 4 7、函数2(a≠0)的图象过点(-1,0),则 abc = = 的值是( ) bcacab11A -1 B 1 C D -
22-1 0 x 8、已知一次函数 与二次函数2(a≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是
y y y y 图中的( ) x x x x 初中数学二次函数综合题与复习资料
A B C D
二填空题:
13、无论m为任何实数,总在抛物线2+2+m上的点的坐标是————————
————。
16、若抛物线2(a≠0)的对称轴为直线x=2,最小值为-2,则关于方
程2=-2的根为————————————。
17、抛物线(1)x22-9开口向下,且经过原点,则k=—————————
解答题:(二次函数与三角形)
1、已知:二次函数2,其图象对称轴为直线1,且经过点(2,﹣). (1)求此二次函数的解析式.
(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧),请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E,使△的面积最大,并求出最大面积.
2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于
A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C (0,
4),顶点为(1,).
(1)求抛物线的函数表达式;
y C A O D (第2题
B x 初中数学二次函数综合题与复习资料
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△为等
腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标.
(3)若点E是线段上的一个动点(与A、B不重合),分别连接、,过点E作∥交线段于点F,连接,记△的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值与此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
3、如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分
别交于A、C两点,抛物线y=x2++c的图象经过
y A O B x A、C两点,且与x轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,求四边形的面积;
C (第3题
(3)作直线平行于x轴,分别交线段、于点M、N.问在x轴上是否存在
点P,使得△是等腰直角三角形?如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(二次函数与四边形)4、已知抛物线yx2mx2m.
(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
1272初中数学二次函数综合题与复习资料
(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线3时,抛物线的顶点为点C,直线-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线,交直线于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、
D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
5、如图,抛物线y=2-11+24m (m<0) 与x轴交于B、C两点(点B在
点C的左侧),抛物线另有一点A在第一象限内,且∠=90°.
(1)填空:=_ ▲ ,=_ ▲ ;
(2)连接,将△沿x轴翻折后得△,当四边形是菱形时,求此时抛物线的
解析式;
(3)如图2,设垂直于x轴的直线l:x=n与(2)中所求的抛物线交于点
M,与交于点N,若直线l 沿x轴方向左右平移,且交点M始终位于抛y y =n 物线上A、C两点之间时,试探究:当n为何值时,四边形的面积取得A M A 最大值,并求出这个最大值. O B D C x
O B D C x N 初中数学二次函数综合题与复习资料
6、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形是直角梯形,∥,∠90°,与y轴相交于点M,且M是的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(1 ,,B(1 ,,D 0) 2)(3,0).连接,并把线段沿方向平移到.若抛物线yax2bxc经过点D、M、N. (1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使得,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有最大?并求出最大值.
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7、已知抛物线yax22ax3a (a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标; (2)过点D作丄y轴于点H,若,求a的值和直线的解析式;
(3)在第(2)小题的条件下,直线与x轴交于点E,过线段的中点N作丄x轴,并交直线于点F,则直线上是否存在点M,使得点M到直线的距离等于点M到原点O的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(二次函数与圆)
8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线2(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.
2)若过点A(﹣1,0)的直线与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积
初中数学二次函数综合题与复习资料
为6,求此直线的解析式.
3)点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线和x轴都相切,求点P的坐标.
9、如图,y关于x的二次函数﹣()(x﹣3m)
图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以为直径作圆,圆心为C.定点E的坐标为(﹣3,0),连接.(m>0) (1)写出A、B、D三点的坐标;
(2)当m为何值时M点在直线上?判定此时直线与圆的位置关系;
(3)当m变化时,用m表示△的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。
10、已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x2,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中(1,0),
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C(0,3).
(1)(3分)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).
①(4分)如图l.当△面积与△面积相等时.求点P的坐标;
②(5分)如图2.当∠∠时,求直线的解析式。
答案:
1、解:(1)由已知条件得分)
,(2
解得﹣,﹣,∴此二次函数的解析式为2﹣x﹣;(1分) (2)∵x2﹣x﹣=0,∴x1=﹣1,x2=3, ∴B(﹣1,0),C(3,0),∴4,(1分)
∵E点在x轴下方,且△面积最大,∴E点是抛物线的顶点,其坐标为(1,﹣3),(1分)
∴△的面积=×4×3=6.(1分)
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2、(1)∵抛物线的顶点为(1,) ∴设抛物线的函数关系式为y=a ( x-1) 2+
∵抛物线与y轴交于点C (0,4), ∴a (0-1) 2+=4 解得a=
-
∴所求抛物线的函数关系式为y=-( x-1) 2+
(2)解:P1 (1,),P2 (1,-), P3 (1,8),P4 (1,), (3)解:令-( x-1) 2+=0,解得x1=-2,x1=4
∴抛物线y=-( x-1) 2+与x轴的交点为A (-2,0) C (4,0)
过点F作⊥于点M,
∵∥,∴△∽△,∴= 又 ∵=4,=6,∴=×=
设E点坐标为 (x,0),则=4-x,= (4-x) ∴S=S△-S△= ·- ·= (-)= (4-x)[4- (4-x)]=-x2+x+=-( x-1) 2+
y 3
∵a=-<0,∴S有最大值 当x=1时,S最大值=3 此
E A O B x 时点E的坐标为 (1,0) 3、(1)∵一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,
C ∴A (-1,0) C (0,-4) 把A (-1,0) C (0,-4)
D 代入y=x2++c得
(第3题∴-b+c=0=-4)) 解得 ∴y=x2-x-4
(2)∵y=x2-x-4=( x-1) 2- ∴顶点为D(1,-) 设直线交x轴于点E 由D(1,-)C (0,y -4)
P A O 易求直线的解析式为y=-x-4 B x 易求E(-3,0),B(3,0) S△=×
M N 6×=16
(第3题S△=×2×4=4 S四边形=S△-S△C =12
(3)抛物线的对称轴为x=-1
做的垂直平分线交抛物线于E,交对称轴于点D3 易求的解析式为y=-x+
∵D3E是的垂直平分线 ∴D3E∥
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设D3E的解析式为y=-x+b
∵D3E交x轴于(-1,0)代入解析式得b=-, ∴y=-x- 把x=-1代入得y=0 ∴D3 (-1,0), 过B做∥x轴,则=1
在△D1中,由勾股定理得D1H= ∴D1(-1,+)同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D1(-1,+), D2(-1,2), D3 (-1,0), D4 (-1, -)D5(-1,-2) 4、(1)m241722mm24m7m24m43m23,∵不管22m为何实
数,总有m22≥0,∴=m223>0,∴无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线3,∴m3, 抛物线的解析式为y12512x3x=x32,顶点222C坐标为(3,-2), A的坐标为(1,0)、
yx1,x11x27解方程组,解得或,所以125yx3xy10y2622B的坐标为(7,6),∵x3时-1=3-1=2,∴D的坐标为(3,2),设
抛物线的对称轴与x轴的交点为E,则E的坐标为(3,0),所以3,2,
①
假设抛物线上存在一点P使得四边形是正方形,则、互相垂直平分且相等,于是P与点B重合,
但6,4,≠,故抛物线上不存在一点P使得四边形是正方形.
②
(Ⅰ)设直线向右平移n个单位(n>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,则直线的解析式为3n,直线与直线-1交于点
M(3n,2n),又∵D的坐标为(3,2),C坐标为(3,-2),∴D通过向下平移4个单位得到C.
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∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形是平行四边形或四边形是平行四边形.
(ⅰ)当四边形是平行四边形,∴M向下平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,n2),
又N在抛物线yx23x上,∴n23n233n, 解得n10(不合题意,舍去),n22,
(ⅱ)当四边形是平行四边形,∴M向上平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,n6),
又N在抛物线yx23x上,∴n63n233n, 解得n1117(不合题意,舍去),n2117,
(Ⅱ) 设直线向左平移n个单位(n>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,则直线的解析式为3n,直线与直线-1交于点M(3n,2n),又∵D的坐标为(3,2),C坐标为(3,-2),∴D通过向下平移4个单位得到C.
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形是平行四边形或四边形是平行四边形.
(ⅰ)当四边形是平行四边形,∴M向下平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,2n),
又N在抛物线yx23x上,∴2n3n233n, 解得n10(不合题意,舍去),n22(不合题意,舍去),
(ⅱ)当四边形是平行四边形,∴M向上平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,6n),
又N在抛物线yx23x上,∴6n3n233n,
12521252125212521252125212521252初中数学二次函数综合题与复习资料
解得n1117,n2117(不合题意,舍去), 综上所述,直线向右平移2或(117)个单位或向左平移(117)个单位,可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
5、解:(1)=3,=8 (2)连接,交于点E
y ∵四边形是菱形 ∴⊥,== ×8=4
A ∴=4-3=1
又∵∠=90°, C x O B E ∴△∽△ ∴= D ∴2=·=1×4
∴=2
∴点A的坐标为 (4,2) 把点A的坐标 (4,2)代入抛物线y=2-11+24m, y- 12 得m=- ∴抛物线的解析式为y=-x2+x=n (3)∵直线x=n与抛物线交于点M A M ∴点M的坐标为 (n,-n2+n-12)
C x O B E 由(2)知,点D的坐标为(4,-2), N D 则C、D两点的坐标求直线的解析式为y=x-4 ∴点N的坐标为 (n,n-4) ∴=(-n2+n-12)-(n-4)=-n2+5n-8
∴S四边形=S△+S△=·=(-n2+5n-8)×4=-(n-5)2+9 ∴当n=5时,S四边形=9 6、解:(1)∵∥,B(-1,2),M是与x轴的交点,∴M(0,2),
9a3bc0111a9∵∥,D(3,0),∴N(-3,2),则c2,解得,∴yx2x2;
1939a3bc0b3c2(2)连接交y轴与G,∵M是的中点,∴,2,∴,即G(0,1),
∵∠90°,∴⊥,即是的垂直平分线,要使,即点P在的垂直平分线上,故P在直线上,∴点P为直线与抛物线的交点,
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kb2k1设直线的解析式为ykxb,则,解得,∴yx1,
b1b1yx1x1332x2332∴,解得,, 121yxx2y1232y223293∴点P(332 , 232) 232)或P(3-32 ,,
(3)∵yx2x2(x)2,∴对称轴
3, 211令x2x20,解得x13,x26,∴E(6,
93x19131932940),
故E、D关于直线x对称,∴,∴,
要使最大,则延长与x相交于点Q,即点Q为直线与直线x的交点, 由于M为的中点,∴C(1,2),设直线的解析式为, 则3kb0k1,解得,∴yx3,
kb2b33232923922323232当x时,y3,故当Q在(, )的位置时,最大, 过点C作⊥x轴,垂足为F,则CF2DF2222222. 7、解:(1)由0得,2-2-3a0,
∵a≠0,∴x2-23=0, 解得x11,x2=3, ∴点A的坐标(-1,
0),点B的坐标(3,0);
(2)由2-2-3a,令0,得3a, ∴C(0,-3a),
又∵2-2-3a(1)2-4a, 得D(1,-4a),
∴1,4a(-3a), ∴1,∴1, ∴C(0,3),D(1,4),
设直线的解析式为,把C、D两点的坐标代入得, ∴直线的解析式为3;
,解得
,
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(3)存在.
由(2)得,E(-3,0),N(- ,0) ∴F( , ), , 作⊥于Q,设存在满足条件的点M( ,m),则 ,
=
,
由题意得:△∽△,∴ = ,整理得4m236m63=0,∴m29m ,
=± ∴m1= ,m2 ,
m29m = + ( )2=
∴点M的坐标为M1( , ),M2( ,- ).
8、解:(1)∵抛物线2(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),
∴假设二次函数解析式为:(x﹣1)(x﹣3),
将D(0,3),代入(x﹣1)(x﹣3),得:3=3a, ∴1, ∴抛物线的解析式为:(x﹣1)(x﹣3)2﹣43;
(2)∵过点A(﹣1,0)的直线与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,∴×6,
∵抛物线2(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,∴二次函数对称轴为2,
∴3,∴4,∴B点坐标为:(2,4),一次函数解析式为;,
∴,解得:,;
(3)∵当点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线和x轴都相切,
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∴⊥,,,
∵1+2=3,4, ∴5,3, ∴2, ∵∠∠,∠∠, ∴△∽△,∴∴
,
,∴1.5,P点坐标为:(2,1.5).
m).
m)代入得:
.
9、解:(1)A(﹣m,0),B(3m,0),D(0,(2)设直线的解析式为,将E(﹣3,0),D(0,
解得,
将﹣
,
. ∴直线的解析式为
()2
()(x﹣3m)化为顶点式:﹣
m).代入
.
∴顶点M的坐标为(m,得:m2
∵m>0,∴1.所以,当1时,M点在直线上.连接,C为中点,C点坐标为C(m,0). ∵
,1,∴2,D点在圆上
又3,222=12,2=16,2=4,∴222.∴∠90°∴直线与⊙C相切. (3)当0<m<3时,S△.•
当m>3时,S△.•
(3﹣m) ﹣m2
2
. .
(m﹣3). 即
abc0a110、解:(1)由题意,得c3,解得b4∴抛物线的解析式为
c3b22a初中数学二次函数综合题与复习资料
yx24x3。
(2)①令x24x30,解得x11,x23 ∴B(3, 0) yPAOEP3CBx当点P在x轴上方时,如图1,过点A作直线的平行线交抛物线于点P, 易求直线的解析式为
yxn,
yx3,∴设直线的解析式为∵直线过点A(1,0),代入求得n1。∴直线的解析式为yx1 解方程组yx12yx4x3P2第24题 图1,得x11x221) ∴点P1(2,,y10y21当点P在x轴下方时,如图1 设直线AP1交y轴于点E(0,1),
把直线向下平移2个单位,交抛物线于点P2、P3, 得直线P2P3的解析式为
yx5,
yx5解方程组, 2yx4x3317317x1x222,y717y7171222 ∴P2(317717317717,),P3(,) 22221),P2(综上所述,点P的坐标为:P1(2,317717317717,),P3(,) 2222②∵B(3,,0)C(0,3)∴,∴∠∠45° 设直线的解析式为ykx3 如图2,延长交x轴于点Q,设∠α,则∠45°α ∵∠∠ ∴∠45°α
∴∠∠∠45°-(45°α)=α ∴∠∠
又∵∠∠90° ∴△∽△
yAOBQxPC第24题 图2初中数学二次函数综合题与复习资料
∴
OAOC13,∴,∴9,∴Q(9,0) OCOQ3OQ∵直线过点Q(9,0),∴9k30 ∴k∴直线的解析式为yx3。
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