初中数学二次函数综合题及复习资料

二次函数题

选择题：1、(2)2- m 是关于x的二次函数，则（ ）

A -1 B 2 C -1或2 D m不存在

2、下列函数关系中，可以看作二次函数2(a≠0)模型的是（ ）

A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系

B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系

4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是2，则抛物线的解析式是（ ）

A —（ 2）2+2 B —（ 2）2+2 C — （ 2）2+2 D —（ 2）2—2 5、抛物线

1 x2-6242y 的顶点坐标是（ ）

A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D（6，

x —0 1 —6）

6、已知函数2,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①〈０ ②a＋c〈b ③ 〉０ ④ ２c〈３b y A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数2（a≠0）的图象过点（-1，0），则 abc = = 的值是（ ） bcacab11A -1 B 1 C D -

22-1 0 x 8、已知一次函数 与二次函数2（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是

y y y y 图中的（ ） x x x x 初中数学二次函数综合题与复习资料

A B C D

二填空题：

13、无论m为任何实数，总在抛物线2＋2＋m上的点的坐标是————————

————。

16、若抛物线2（a≠0）的对称轴为直线x＝２，最小值为－２，则关于方

程2＝－２的根为————————————。

17、抛物线（1）x22-9开口向下，且经过原点，则k＝—————————

解答题：（二次函数与三角形）

1、已知：二次函数2，其图象对称轴为直线1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△的面积最大，并求出最大面积．

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于

A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，

4)，顶点为（1，）．

（1）求抛物线的函数表达式；

y C A O D (第2题

B x 初中数学二次函数综合题与复习资料

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△为等

腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

（3）若点E是线段上的一个动点（与A、B不重合），分别连接、，过点E作∥交线段于点F，连接，记△的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值与此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分

别交于A、C两点，抛物线y＝x2＋＋c的图象经过

y A O B x A、C两点，且与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，求四边形的面积；

C (第3题

（3）作直线平行于x轴，分别交线段、于点M、N．问在x轴上是否存在

点P，使得△是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（二次函数与四边形）4、已知抛物线yx2mx2m．

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

1272初中数学二次函数综合题与复习资料

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线3时，抛物线的顶点为点C，直线－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线，交直线于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、

D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

5、如图，抛物线y＝2－11＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在

点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠＝90°．

（1）填空：＝_ ▲ ，＝_ ▲ ；

（2）连接，将△沿x轴翻折后得△，当四边形是菱形时，求此时抛物线的

解析式；

（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点

M，与交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛y y ＝n 物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形的面积取得A M A 最大值，并求出这个最大值． O B D C x

O B D C x N 初中数学二次函数综合题与复习资料

6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，∥，∠90°，与y轴相交于点M，且M是的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1 ，，B（1 ，，D 0） 2）（3，0）．连接，并把线段沿方向平移到．若抛物线yax2bxc经过点D、M、N． （1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值．

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7、已知抛物线yax22ax3a (a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标； （2）过点D作丄y轴于点H，若，求a的值和直线的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线与x轴交于点E，过线段的中点N作丄x轴，并交直线于点F，则直线上是否存在点M，使得点M到直线的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（二次函数与圆）

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．

2）若过点A（﹣1，0）的直线与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积

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为6，求此直线的解析式．

3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线和x轴都相切，求点P的坐标．

9、如图，y关于x的二次函数﹣（）（x﹣3m）

图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接．（m＞0） （1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时M点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。

10、已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中(1，0)，

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C(0，3)．

（1）（3分）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．

①（4分）如图l．当△面积与△面积相等时．求点P的坐标；

②（5分）如图2．当∠∠时，求直线的解析式。

答案：

1、解：（1）由已知条件得分）

，（2

解得﹣，﹣，∴此二次函数的解析式为2﹣x﹣；（1分） （2）∵x2﹣x﹣=0，∴x1=﹣1，x2=3， ∴B（﹣1，0），C（3，0），∴4，（1分）

∵E点在x轴下方，且△面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）

∴△的面积=×4×3=6．（1分）

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2、（1）∵抛物线的顶点为（1，） ∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x－1) 2＋

∵抛物线与y轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋＝4 解得a＝

－

∴所求抛物线的函数关系式为y＝－( x－1) 2＋

（2）解：P1 (1，)，P2 (1，－)， P3 (1，8)，P4 (1，)， （3）解：令－( x－1) 2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4

∴抛物线y＝－( x－1) 2＋与x轴的交点为A (－2，0) C (4，0)

过点F作⊥于点M，

∵∥，∴△∽△，∴＝ 又 ∵＝4，＝6，∴＝×＝

设E点坐标为 (x，0)，则＝4－x，＝ (4－x) ∴S＝S△－S△＝ ·－ ·＝ (－)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x2＋x＋＝－( x－1) 2＋

y 3

∵a＝－＜0，∴S有最大值 当x＝1时，S最大值＝3 此

E A O B x 时点E的坐标为 (1，0) 3、（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，

C ∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)

D 代入y＝x2＋＋c得

(第3题∴－b＋c＝0＝－4)) 解得 ∴y＝x2－x－4

（2）∵y＝x2－x－4＝( x－1) 2－ ∴顶点为D（1，－） 设直线交x轴于点E 由D（1，－）C (0，y －4)

P A O 易求直线的解析式为y＝－x－4 B x 易求E（－3，0），B（3，0） S△＝×

M N 6×＝16

(第3题S△＝×2×4＝4 S四边形＝S△－S△C ＝12

（3）抛物线的对称轴为x＝－1

做的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3 易求的解析式为y＝－x＋

∵D3E是的垂直平分线 ∴D3E∥

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设D3E的解析式为y＝－x＋b

∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－, ∴y＝－x－ 把x＝－1代入得y＝0 ∴D3 (－1，0), 过B做∥x轴，则＝1

在△D1中，由勾股定理得D1H＝ ∴D1（－1，＋）同理可求其它点的坐标。

可求交点坐标D1（－1，＋）, D2（－1，2）, D3 (－1，0), D4 (－1, －)D5（－1，－2） 4、(1)m241722mm24m7m24m43m23，∵不管22m为何实

数，总有m22≥0，∴=m223＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

(2)∵ 抛物线的对称轴为直线3，∴m3， 抛物线的解析式为y12512x3x=x32，顶点222C坐标为（3，－2）， A的坐标为（1，0）、

yx1,x11x27解方程组，解得或，所以125yx3xy10y2622B的坐标为（7，6），∵x3时－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设

抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以3，2，

①

假设抛物线上存在一点P使得四边形是正方形，则、互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，

但6，4，≠，故抛物线上不存在一点P使得四边形是正方形．

②

(Ⅰ)设直线向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线的解析式为3n，直线与直线－1交于点

M（3n，2n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

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∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形是平行四边形或四边形是平行四边形．

（ⅰ）当四边形是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，n2），

又N在抛物线yx23x上，∴n23n233n， 解得n10（不合题意，舍去），n22，

（ⅱ）当四边形是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，n6），

又N在抛物线yx23x上，∴n63n233n， 解得n1117（不合题意，舍去），n2117，

(Ⅱ) 设直线向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线的解析式为3n，直线与直线－1交于点M（3n，2n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形是平行四边形或四边形是平行四边形．

（ⅰ）当四边形是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，2n），

又N在抛物线yx23x上，∴2n3n233n， 解得n10（不合题意，舍去），n22（不合题意，舍去），

（ⅱ）当四边形是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，6n），

又N在抛物线yx23x上，∴6n3n233n，

12521252125212521252125212521252初中数学二次函数综合题与复习资料

解得n1117，n2117（不合题意，舍去）， 综上所述，直线向右平移2或（117）个单位或向左平移（117）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

5、解：（1）＝3，＝8 （2）连接，交于点E

y ∵四边形是菱形 ∴⊥，＝＝ ×8＝4

A ∴＝4－3＝1

又∵∠＝90°， C x O B E ∴△∽△ ∴＝ D ∴2＝·＝1×4

∴＝2

∴点A的坐标为 (4，2) 把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝2－11＋24m， y－ 12 得m＝－ ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＝n （3）∵直线x＝n与抛物线交于点M A M ∴点M的坐标为 (n，－n2＋n－12)

C x O B E 由（2）知，点D的坐标为（4，－2）， N D 则C、D两点的坐标求直线的解析式为y＝x－4 ∴点N的坐标为 (n，n－4) ∴＝（－n2＋n－12）－（n－4）＝－n2＋5n－8

∴S四边形＝S△＋S△＝·＝（－n2＋5n－8）×4＝－(n－5)2＋9 ∴当n＝5时，S四边形＝9 6、解：（1）∵∥，B（-1，2），M是与x轴的交点，∴M（0，2），

9a3bc0111a9∵∥，D（3，0），∴N（-3，2），则c2，解得，∴yx2x2；

1939a3bc0b3c2（2）连接交y轴与G，∵M是的中点，∴，2，∴，即G（0，1），

∵∠90°，∴⊥，即是的垂直平分线，要使，即点P在的垂直平分线上，故P在直线上，∴点P为直线与抛物线的交点，

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kb2k1设直线的解析式为ykxb，则，解得，∴yx1，

b1b1yx1x1332x2332∴，解得，， 121yxx2y1232y223293∴点P（332 ， 232） 232）或P（3-32 ，，

（3）∵yx2x2(x)2，∴对称轴

3， 211令x2x20，解得x13，x26，∴E（6，

93x19131932940），

故E、D关于直线x对称，∴，∴，

要使最大，则延长与x相交于点Q，即点Q为直线与直线x的交点， 由于M为的中点，∴C（1，2），设直线的解析式为， 则3kb0k1，解得，∴yx3，

kb2b33232923922323232当x时，y3，故当Q在（， ）的位置时，最大， 过点C作⊥x轴，垂足为F，则CF2DF2222222． 7、解：（1）由0得，2-2-3a0，

∵a≠0，∴x2-23=0， 解得x11，x2=3， ∴点A的坐标（-1，

0），点B的坐标（3，0）；

（2）由2-2-3a，令0，得3a， ∴C（0，-3a），

又∵2-2-3a（1）2-4a， 得D（1，-4a），

∴1，4a（-3a）， ∴1，∴1， ∴C（0，3），D（1，4），

设直线的解析式为，把C、D两点的坐标代入得， ∴直线的解析式为3；

，解得

，

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（3）存在．

由（2）得，E（-3，0），N（- ，0） ∴F（ ， ）， ， 作⊥于Q，设存在满足条件的点M（ ，m），则 ，

=

，

由题意得：△∽△，∴ = ，整理得4m236m63=0，∴m29m ，

=± ∴m1= ，m2 ，

m29m = + （ ）2=

∴点M的坐标为M1（ ， ），M2（ ，- ）．

8、解：（1）∵抛物线2（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），

∴假设二次函数解析式为：（x﹣1）（x﹣3），

将D（0，3），代入（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a， ∴1， ∴抛物线的解析式为：（x﹣1）（x﹣3）2﹣43；

（2）∵过点A（﹣1，0）的直线与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴×6，

∵抛物线2（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为2，

∴3，∴4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；，

∴，解得：，；

（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线和x轴都相切，

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∴⊥，，，

∵1+2=3，4， ∴5，3， ∴2， ∵∠∠，∠∠， ∴△∽△，∴∴

，

，∴1.5，P点坐标为：（2，1.5）．

m）．

m）代入得：

．

9、解：（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，（2）设直线的解析式为，将E（﹣3，0），D（0，

解得，

将﹣

，

． ∴直线的解析式为

（）2

（）（x﹣3m）化为顶点式：﹣

m）．代入

．

∴顶点M的坐标为（m，得：m2

∵m＞0，∴1．所以，当1时，M点在直线上．连接，C为中点，C点坐标为C（m，0）． ∵

，1，∴2，D点在圆上

又3，222=12，2=16，2=4，∴222．∴∠90°∴直线与⊙C相切． （3）当0＜m＜3时，S△．•

当m＞3时，S△．•

（3﹣m） ﹣m2

2

． ．

（m﹣3）． 即

abc0a110、解：（1）由题意，得c3，解得b4∴抛物线的解析式为

c3b22a初中数学二次函数综合题与复习资料

yx24x3。

（2）①令x24x30，解得x11，x23 ∴B（3, 0） yPAOEP3CBx当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线的平行线交抛物线于点P， 易求直线的解析式为

yxn，

yx3，∴设直线的解析式为∵直线过点A（1,0），代入求得n1。∴直线的解析式为yx1 解方程组yx12yx4x3P2第24题 图1，得x11x221) ∴点P1(2，，y10y21当点P在x轴下方时，如图1 设直线AP1交y轴于点E(0，1)，

把直线向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3， 得直线P2P3的解析式为

yx5，

yx5解方程组， 2yx4x3317317x1x222，y717y7171222 ∴P2(317717317717，)，P3(，) 22221)，P2(综上所述，点P的坐标为：P1(2，317717317717，)，P3(，) 2222②∵B(3，，0)C(0，3)∴，∴∠∠45° 设直线的解析式为ykx3 如图2，延长交x轴于点Q，设∠α，则∠45°α ∵∠∠ ∴∠45°α

∴∠∠∠45°-（45°α）=α ∴∠∠

又∵∠∠90° ∴△∽△

yAOBQxPC第24题 图2初中数学二次函数综合题与复习资料

∴

OAOC13，∴，∴9，∴Q(9，0) OCOQ3OQ∵直线过点Q(9，0)，∴9k30 ∴k∴直线的解析式为yx3。

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