南昌三中2014届高三数学理科

江西省南昌三中2014届高三第七次考试

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．集合M{0,1,2,3,4,5},N{0,2,3}，则ðMN＝（ ）

A．{0,2,3} 2．若函数f(x)

B．{0,1,4}

C．{1,2,3}

D．{1,4,5}

1，则该函数在,上是（ ） 2x13．已知函数f(x)cosx(xR,0)的最小正周期为，为了得到函数gx

A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值

sin(x4)的图象，只要将yfx的图象( )

个单位长度 B．向右平移个单位长度 88C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

444．设0ab1,则下列不等式成立的是( )

A．向左平移

A．ab

33B．

11 abC．a1

bD．lgba0

5．“数列anaqn为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ） A．a0,q1 B．a0,q6．已知函数ytanx在(

A．0<≤1

11 C．a0,q0 D．a0,0q

22,)内是减函数，则（ ）

22C．≥1

D．≤－1

B．－1≤<0

7．M是正方体ABCDA1BC11D1的棱DD1的中点，给出下列命题： ①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交； ②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直； ③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.其中真命题是（ ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

8．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB

的外接圆方程是( )

A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20

9．已知二次函数f(x)ax2bx1的导函数为f'(x)，且f'(0)＞0，f(x)的图象与x 轴恰有一个交点，则

f(1)的最小值为 ( ) 'f(0)35

A．3 B． C．2 D． 22

x2y2C：221(a0,b0)的左、右焦点，A为双曲线 10．设F1，F2分别为双曲线

ab的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足：

MAN120，则该双曲线的离心率为（ ）

A．

72119 B． C．

333 D．73 3二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题

共5分.

11．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：23cos，直线的

极坐标方程为：2cos3.则它们相交所得弦长等于 .

(2)（不等式选做题）已知函数f (x)＝|x－2|－|x－5|，则不等式f (x)≥x2－8x＋15的

解集为 ．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 12．复数z=1i(i为复数的虚数单位)的模等于 ．

31i2213．掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小

于正面次数的概率是 ． 14．语句：

S=0 i=1 Do

S=S+i i=i+2

Loop while S≤200 n=i－2

Output n 则正整数n= .

15．在平面直角坐标系中，设点P(x,y),定义[OP]|x||y|，其中O为坐标原点，对于

以下结论：

①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；

②设P为直线5x2y20上任意一点，则[OP]的最小值为1；

③设P为直线ykxb(k,bR)上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个” 的必要不充分条件是“k1”.

其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB·BC= 6 , AB与BC的夹角为.

12cos(2)4的最大值. (1) 求的范围;(2)求函数f()=

sin 17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获

得奖券一张，每张奖券中奖的概率为

1，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲 5购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格 600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为（元）. （1）求的分布列；

（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.

18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，ABC90，当E、F

分别在线段AD、BC上，且EFBC，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD沿EF折 叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直.

（1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；

（2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°？

19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：

，cnSna(Snan1)（正常数a≠1）

11 an1an11.

（1）求an的通项公式；

2（2）设bnanSnan，若数列{bn}为等比数列，求a的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，cn 求证：Tn2n

11，数列{cn}的前n项和为Tn, an1an111． 2x2y21的右焦点F2 20．（本小题满分13分）已知抛物线C1:y=4x的焦点与椭圆C2:

9b22

重合，F1是椭圆的左焦点.

2

（1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y=4x上运动，求ABC重心G

的轨迹方程； （2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求coscos

的值及PF1F2的面积.

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)2a2lnxx2(常数a0). （1）当a1时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程； （2）讨论函数f(x)在区间(1,e2)上零点的个数（e为自然对数的底数）.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．集合M{0,1,2,3,4,5},N{0,2,3}，则ðMN＝（ D ）

A．{0,2,3} 2．若函数f(x)

B．{0,1,4}

C．{1,2,3}

D．{1,4,5}

1，则该函数在,上是（ A ） 2x13．已知函数f(x)cosx(xR,0)的最小正周期为，为了得到函数gx

A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值

sin(x4)的图象，只要将yfx的图象( B )

个单位长度 B．向右平移个单位长度 88C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

444．设0ab1,则下列不等式成立的是( D )

A．向左平移

A．ab

33B．

11 abC．a1

bD．lgba0

5．“数列anaqn为递增数列”的一个充分不必要条件是（ D ） A．a0,q1 B．a0,q6．已知函数ytanx在(

A．0<≤1

11 C．a0,q0 D．a0,0q

22,)内是减函数，则（ B ）

22C．≥1

D．≤－1

B．－1≤<0

7．M是正方体ABCDA1BC11D1的棱DD1的中点，给出下列命题： ①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交； ②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直； ③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.其中真命题是（ C ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

8．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( A )

A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20

22

C．(x＋2)＋(y＋1)＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20

9．已知二次函数f(x)ax2bx1的导函数为f'(x)，且f'(0)＞0，f(x)的图象与x 轴恰有一个交点，则

f(1)的最小值为 ( C ) 'f(0)35

A．3 B． C．2 D． 22

x2y2C：221(a0,b0)的左、右焦点，A为双曲线 10．设F1，F2分别为双曲线

ab的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足：

MAN120，则该双曲线的离心率为（ A ）

A．72119 B． C．

333 D．73 3二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题

共5分.

11．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：23cos，直线的

极坐标方程为：2cos3.则它们相交所得弦长等于 3 .

(2)（不等式选做题）已知函数f (x)＝|x－2|－|x－5|，则不等式f (x)≥x2－8x＋15的

解集为 {x|5－3≤x≤6} ． －3， x≤2，

f(x)＝|x－2|－|x－5|＝2x－7， 2＜x＜5，

3， x≥5.

2当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；

当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x＜5}；

当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．

2

综上，不等式f(x)≥x－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 12．复数z=

1i(i为复数的虚数单位)的模等于 31i222 ．

13．掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小

于正面次数的概率是 14．语句：

S=0 i=1 Do

1 ． 5

S=S+i i=i+2

Loop while S≤200 n=i－2

Output n 则正整数n= 29 . 15．在平面直角坐标系中，设点P(x,y),定义[OP]|x||y|，其中O为坐标原点，对于

以下结论：

①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P为直线5x2y20上任意一点，则[OP]的最小值为1；

③设P为直线ykxb(k,bR)上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”

的必要不充分条件是“k1”.

其中正确的结论有 ①③ （填上你认为正确的所有结论的序号）.

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB·BC= 6 , AB与BC的夹角为.

12cos(2)(1) 求的范围;(2)求函数f()=

4sin的最大值.

ABBCABBCcos6解：（1）∵

S12ABBCsin()∴S=3tan又3S333tan1. ∴[6,4]。

（2）f()22sin()在[,]上递增，∴f(464)maxf(4)0.

17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获

得奖券一张，每张奖券中奖的概率为

15，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲 购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格

600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为（元）. （1）求的分布列；

（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算. 解：（1）的所有可能取值为2450,1450,450，－550 ,

P(2450)(4)364P(1450)C11424851253(5)(5)125P(450)C2141231313(5)2(5)125 P(550)C3(5)125，

分布列为

（2）E245064481211450450(550) 125125125125 ＝1850（元）） „（9分）

设小李不出资50元增加1张奖券,消费的实际支出为1（元）

41681142400)()2,P(11400)C2 52555251212P(1400)C2()

525168114004002000(元) ∴E12400252525∴E＜E1, 故小王出资50元增加1张奖券划算.„（12分）

则P(1

18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，ABC90，当E、F

分别在线段AD、BC上，且EFBC，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD沿EF折 叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直.

（1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；

（2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°？ 解：（1）AD、BC是异面直线， （1分） （反证法）假设AD、BC共面为．

EFBC,ABC90,EFAB,EF,AB．

EF,又EFCDCDEFCD,CDAB．

这与ABCD为梯形矛盾．故假设不成立．即AD、BC是异面直线．

„6

分

（2）延长CD,FE相交于N，由已知ED2,CF4,设ABx,则△NDE中，NEx，

AEEF，平面ABFE平面EFCD,

AE平面EFCD．过E作EHDN于H，连结AH， 则AHDN．AHE是二面角ADCE的平面角，

则AHE60． NEx,DE2,HE2xx42,AE2,

AEtanAHEEHx243,x22,x2, x

此时在△EFC中，EF2,FC4,EC32．又AE平面EFCD,

ACE是直线AC与平面EFCD所成的角,

tanACEAE22． EC3232时，二面角ADEE的 3即当直线AC与平面EFCD所成角的正切值为大小为60。

19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：

，cnSna(Snan1)（正常数a≠1）（1）求an的通项公式；

2（2）设bnanSnan，若数列{bn}为等比数列，求a的值；

11 an1an11.

（3）在满足条件（2）的情形下，cn 求证：Tn2n11，数列{cn}的前n项和为Tn, an1an111． 2解：（1）S1a(S1a11), ∴a1a, ……….1分 当n2时， Sna(Snan1)

Sn1a(Sn1an11)

两式相减得：anaan1， ∴anaan1an；„4分

ana , 即{an}是等比数列． an1a(an1)n(2a1)a2naana,bn（2）由（1）知, bn(a)，

a1a1n2若{bn}为等比数列，则有b22b1b3, 而b12a ，b2a(2a1), b3a4(2a2a1) „„6分 故[a(2a1)]2aa(2a1)，

322423

1， „„„„„„„„7分 2111n再将a代入得bn()成立，所以a． „„„„8分

2221n（3）证明：由（2）知bn()，

2解得a所以cn11()n1211()n1122n2n1112nn1nn1„ 10分

21212121所以cn211 nn122Tnc1c2(22ncn

1111112)(223)(2nn1) 222222111n12n„„„12分 2222

x2y21的右焦点F2 20．（本小题满分13分）已知抛物线C1:y=4x的焦点与椭圆C2:

9b2重合，F1是椭圆的左焦点.

2

（1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y=4x上运动，求ABC重心G

的轨迹方程； （2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求coscos

的值及PF1F2的面积.

x解：（1）设重心G(x,y)，则yx403x3x4y03 整理得(*)将(*)式代入

y3y3344442ABC(x)(x) y=4x中，得(y+1)=3重心G的轨迹方程为(y+1)=33 ∴3.„6分

2

2

(2) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y=4x得F2(1,0)，

2

x2y22

∴b=8，椭圆方程为981.设P(x1,y1)

x12y1213222x9x18081由9得1，∴x1=2，x1=-6(舍).∵x=-1是y=4x的准线，即

y24x11抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1.

2

设点P到抛物线y=4x的准线的距离为PN，则︱PF2︱=︱PN︱.

351又︱PN︱=x1+1=22,

57PF,PF2aPF212∴22.

5过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα=7在Rt△PP1F2中，

111cos(л-β)=5,cosβ=5,∴cosαcosβ=7。

3∵x1=2,∴∣PP1∣=6,

1SF1F2P1P26.„13分 ∴PF1F22

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)2a2lnxx2(常数a0). （1）当a1时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程； （2）讨论函数f(x)在区间(1,e2)上零点的个数（e为自然对数的底数）.

2解:（1）当 a1时，f(x)2lnxx，f(x)22x. f(1)0.„3分 x又

f(1)1，∴曲线yf(x)在点x1处的切线方程为y10．„4分

222a22a22x22(xa)(xa)2x（3）f(x)2alnxx，所以f(x).

xxx因为x0，a0，于是当0xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0. 所以f(x)在0,a上是增函数，在a,上是减函数. „7分 所以f(x)maxf(a)a(2lna1). „8分 讨论函数f(x)的零点情况如下． ①a(2lna1)0，即0a②当a(2lna1)0，即a222e时，函数f(x)无零点，在(1,e2)上也无零点；„9分 e时，函数f(x)在(0,)内有唯一零点a，而

1aee2，∴f(x)在(1,e2)内有一个零点；„„10分

③当a2(2lna1)0，即ae时，

由于f(1)10， f(a)a2(2lna1)0f(e2)4a2e4(2ae2)(2ae2)，

e2当2ae0时，即ea时，

22e21eae2，f(e2)0，由单调性可知，函数f(x) 在(1,a)内有唯一零点x1、

2在(a,e2)内有唯一零点x2满足，f(x)在(1,e2)内有两个零点； „11分

e2212e时，f(e2)0，当2ae0时，即a而且f(e)2aeae0，

22222f(1)10由单调性可知，无论ae还是ae，f(x)在(1,e)内有唯一的一个零点，

在[e,e2)内没有零点，从而f(x)在(1,e2)内只有一个零点；„14分

（注：这一类的讨论中，若没有类似“f(e)0来说明唯一零点在(1,e)内”的这一

e2步，则扣去这2分）综上所述，有：当0ae时，函数f(x)无零点；当ae或a2e2时，函数f(x)有一个零点；当ea时，函数f(x)有两个零点.

2