广灵县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

广灵县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知x，y满足约束条件

，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）

A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1

2． 若偶函数f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f（﹣1）＜f（lg x）的解集是（ ） A．（0，10）

B．（

，10）

C．（

，+∞）

D．（0，

）∪（10，+∞）

3． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（ ） A．k360°+463°

B．k360°+103°

C．k360°+257°

D．k360°﹣257°

4． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（ ） A．（0，1） B．（e﹣1，1） C．（0，e﹣1） D．（1，e）

5． 满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

1,x6． 记集合A=(x,y)x+y?1和集合B={(x,y)x+y３22{}0,y?0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，

若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（ ） A．

1112 B． C． D．

3p2ppp22【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

y27． 过抛物线y2px(p0)焦点F的直线与双曲线x-=1的一条渐近线平行，并交其抛物线于A、 8B两点，若AF>BF，且|AF|3，则抛物线方程为（ ）

A．yx B．y2x C．y4x D．y3x

【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．

8． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2 A．30° B．60° C．120° D．150° 9． 已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|

|=

，则

•

=（ ）

sinB，则A=（ ）

2222第 1 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

A．﹣1 B．1

C．﹣ D．

10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若

,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[B[C[D[

]

] ] ]

11．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A．36种 B．18种 C．27种 D．24种 12．下列4个命题：

①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”； ②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；

③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；

④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2； 其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

13．观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

照此规律，第n个等式为 ．

14．在各项为正数的等比数列{an}中，若a6=a5+2a4，则公比q= ． 15．若函数f(x)的定义域为1,2，则函数f(32x)的定义域是 ． 16．设MP和OM分别是角

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：

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①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．

17．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.

2218．设集合 Ax|2x7x150,Bx|xaxb0,满足

AB,ABx|5x2,求实数a__________.

三、解答题

19．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位 得到的数据： 男 女 合计 赞同 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400 （Ⅰ）能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述 发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率． 参考公式：K2n(adbc)2，(nabcd)

(ab)(cd)(ac)(bd)

【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力

3xa20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数fxx1.

3b第 3 页，共 17 页

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（1）当ab1时，求满足fx3的x的取值；

x（2）若函数fx是定义在R上的奇函数

22①存在tR，不等式ft2tf2tk有解，求k的取值范围；

②若函数gx满足fxgx2求实数m的最大值.

1x33x，若对任意xR，不等式g2xmgx11恒成立，321．已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列． （1）求p的值及数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足bn=

22．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点. （1）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （2）证明：B1F∥平面A1BE．

，证明bn≤．

A1 B1

C1 A 第 4 页，共 17 页

D1 F E D C

B 精选高中模拟试卷

23．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．

进行分组，假设同一组中的每个数据可用

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率； （Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中

．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明） （注：

24．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y） （1）求f（1）的值，

（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

，其中为数据

的平均数）

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广灵县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax+y，得y=﹣ax+z，

若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件． 若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0． 平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即a=1．

若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0． 平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件． 综上a=1． 故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．

2． 【答案】D

【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），

．

因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，

由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜故选：D．

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【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．

3． 【答案】C

【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z） 即：k360°+257°，（k∈Z） 故选C

【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．

4． 【答案】 D

由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1， 所以f（x）=lnx+e， f′（x）=，x＞0．

∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，

令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞） 可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增， g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0， ∴x0∈（1，e），g（x0）=0，

【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．

∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e） 故选：D．

【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．

5． 【答案】D

【解析】解：由{0，1}∪A={0，1}易知： 集合A⊆{0，1} 故选D 础题．

n

2

而集合{0，1}的子集个数为2=4

【点评】本题考查两个集合并集时的包含关系，以及求n个元素的集合的子集个数为2个这个知识点，为基

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6． 【答案】A

OAB及其内部，【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示D11由几何概型得点M落在区域Ω2内的概率为P=2=，故选A.

p2py1BOA1x

7． 【答案】C

ìy0=22ïïx-pï02ïïppï【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为y=22x，设A(x0,y0)，则x0>，所以íx0+=3，

22ïï2ïy0=2px0ïïïîpp解得p=2或p=4，因为3->，故022∵a﹣b=

sinB，∴c=2

=b，

=

bc，∴cosA=

∵A是三角形的内角 ∴A=30° 故选A．

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．

9． 【答案】B

【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|

|=

，

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即有|则即有

，

|2+||2=||2，

可得△OAB为等腰直角三角形，

的夹角为45°， =|

|•|

|•cos45°=1×

×

=1．

•

故选：B．

【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

10．【答案】B 【解析】当x≥0时，

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。 ∴当x＞0时，

∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，

。 。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是11．【答案】

【解析】

C

。

。

排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．

【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．

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【解答】解：分4种情况讨论，

①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，

②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，

③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况， ④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C． 组合公式．

12．【答案】C

22

【解析】解：①命题“若x﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x﹣x≠0”，①正确； ②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确； ③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，

由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；

④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确． ∴正确的命题有3个． 故选：C．

【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、

二、填空题

13．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 ．

【解析】解：观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，

照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2

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【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．

14．【答案】 2 ．

2

【解析】解：由a6=a5+2a4得，a4q=a4q+2a4， 即q﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，

2

又各项为正数，则q=2， 故答案为：2．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．

15．【答案】,2

2【解析】

试题分析：依题意得132x2,x,2.

2考点：抽象函数定义域． 16．【答案】 ②

11【解析】解：由MP，OM分别为角∵

∴OM＜0＜MP． 故答案为：②．

的正弦线、余弦线，如图， ，

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【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．

17．【答案】48 【

解

析

】

18．【答案】a【解析】

7,b3 2

考

点：一元二次不等式的解法；集合的运算.

【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键.

三、解答题

19．【答案】

400501703015026.25 【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：80320200200因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关

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（Ⅱ）由已知得抽样比为

取2人共有a,b，a,c，a,d，a,e，a,1，a,2，a,3，b,c，b,d，b,e，b,1，b,2，

81=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为a,b,c,d,e,1,2,3，选8010b,3，c,d，c,e，c,1，c,2，c,3，d,e，d,1，d,2，d,3，e,1，e,2，e,3，1,2，1,3，2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件，故所

189=． 281420．【答案】（1）x1（2）①1,，②6

求概率为P【解析】

23x1xx3，化简得3323x10 解析：（1）由题意，x1311xx解得31舍或3，

3所以x1

试题

3xa3xax10 （2）因为fx是奇函数，所以fxfx0，所以x13b3bxx化简并变形得：3ab332ab60

要使上式对任意的x成立，则3ab0且2ab60 解得：{a1a1a1或{ ，因为fx的定义域是R，所以{ 舍去 b3b3b33x1所以a1,b3，所以fxx1

333x1121x ①fxx133331对任意x1,x2R,x1x2有：

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12223x23x1fx1fx2x1x23313133x113x21xx因为x1x2，所以32310，所以fx1fx2，

 因此fx在R上递减．

因为ft22tf2t2k，所以t22t2t2k， 即t22tk0在

时有解

所以44t0，解得：t1， 所以的取值范围为1,

1x3x3xx②因为fxgx2333，所以gx3fx2

即gx33

xx2x所以g2x332x33不等式g2xmgx11恒成立， 即3x3xxx22

22m3x3x11，

9恒成立 xx339令t3x3x,t2，则mt在t2时恒成立

t99令htt，h't12，

ttxx即：m33t2,3时，h't0，所以ht在2,3上单调递减

所以htminh36，所以m6 所以，实数m的最大值为6

考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题

【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。 21．【答案】

n*

【解析】（1）解：∵数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3（n∈N，p为常数），

t3,时，h't0，所以ht在3,上单调递增

∴a2=3+3p，a3=3+12p，

∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．

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n

∵an+1=an+p•3，

2n1

∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•3，…，an﹣an﹣1=2•3﹣，

将这些式子全加起来 得 an﹣a1=3n﹣3，

n

∴an=3．

（2）证明：∵{bn}满足bn=设f（x）=

，则f′（x）=

，∴bn=．

，x∈N，

*

令f′（x）=0，得x=当x∈（0，

∈（1，2）

，+∞）时，f′（x）＜0，

）时，f′（x）＞0；当x∈（

且f（1）=，f（2）=，

*

∴f（x）max=f（2）=，x∈N．

∴bn≤．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

22．【答案】解：（1）设G是AA1的中点，连接GE，BG．∵E为DD1的中点，ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG=．设正方体的棱长为a，∴GEa，

BG53a，BEBG2GE2a， 22∴直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为：sinGE2；……6分 BE3（2）证明：连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH． ∵H为AB1的中点，且B1H=

11C1D，B1H∥C1D，而EF=C1D，EF∥C1D， 22∴B1H∥EF且B1H=EF，四边形B1FEH为平行四边形，即B1F∥EH， 又∵B1F平面A1BE且EH平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE． ……12分 23．【答案】

【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型

【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有

人，

所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有

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人． （

Ⅱ）设 “至少有1人体育成绩在”为事件， 记体育成绩在

的数据为

，

，体育成绩在

的数据为

，

，，． ，

，

，

，

，

，

则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：

，

而事件

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的结果有7种，它们是：

因此事件的概率． （Ⅲ）a，b，c的值分别是为，24．【答案】

，．

【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中， 令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）， ∴f（1）=0；

（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6）， ∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2

等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6）， ∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6）， 即f（

）＜f（6），

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴

，解得﹣3＜x＜9，

即不等式的解集为（﹣3，9）．

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