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卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
2．若点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是（ ） A．a＜0
B．a＞3
C．﹣3＜a＜0
D．0＜a＜3
3．下列每组数分别表示三根木棒的长，将木棒首尾连接后，能摆成三角形的是（ ） A．2，2，5
B．1，3，2
C．3，4，5
D．1，2，1
4．将函数y＝2x的图象向上平移4个单位后，下列各点在平移后的图象上的是（ ） A．（1，5）
B．（0，4）
C．（﹣1，3）
D．（2，﹣3）
5．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5° B．4° C．8° D．6°
6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．105° B．110° C．120° D．125°
8．已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在该直线上，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y1
B．y1＜y1
C．y1＝y2
D．不确定
9．如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（ ）
A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ∥AB D．PQ＝PC
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．“对顶角相等”这个命题的逆命题是 ．
12．4）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ．
13．在三角形ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B、C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠（点B、C都与点D重合），若EM＝a，则△DEF的周长是 ．
14．如图，已知点B（0，1）、点C（3，0），△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°． （1）点A的坐标是 ；
（2）延长AB交x轴于点D，则OD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1向下平移3个单位，再向左平移1个单位得到△A2B2C2，请你画出△
A2B2C2；
（3）若点P（m，n）在△A1B1C1上，与△A2B2C2上的点Q是对应点，写出点Q的坐标．
16．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是∠ABC的角平分线． （1）求∠ABD的度数；
（2）若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分） 17．已知y﹣2与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）判断点A（1，5）是否在这个函数图象上．
18．如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥BF，AE＝BF，AB＝CD，CE与BF交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BFD；
（2）若∠A＝42°，∠D＝85°，求∠BOC的度数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，已知直线y＝kx+b经过点A（5，0）和点B（﹣1，6）． （1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣1与y轴交于点D，与直线AB交于点C，求△ADC的面积．
20．如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE、CD相交于点P，且AD＝AE，连接AP． （1）求证：AP平分∠DAE；
（2）连接BC，求证：△ABC为等腰三角形．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（1）如图1，直线m经过等边三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D、E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°，求证：BD+CE＝DE；
（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB＝120°，∠AEC＝120°，若BD＝3，CE＝7，求DE的长．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．B两种商品共200件进行销售，某商场购进A、其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，A、B两种商品的进价、售价如表：
进价（元/件）
A 150
B 130
售价（元/件） 220 195
（1）设商场购进A商品的件数为x（件），购进A、B两种商品全部售出后获得的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在（1）条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中捐给慈善基金m（5＜m≤10）元，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°， ①求证：BD＝CE； ②∠BCE＝ ；
（2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β，
①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°；
②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D．
2．若点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是（ ） A．a＜0
B．a＞3
C．﹣3＜a＜0
D．0＜a＜3
【分析】根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
解：由点P（a，a﹣3）在第四象限，得
．
解得0＜a＜3， 故选：D．
3．下列每组数分别表示三根木棒的长，将木棒首尾连接后，能摆成三角形的是（ ） A．2，2，5
B．1，3，2
C．3，4，5
D．1，2，1
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 解：A、2+2＜5，不能摆成三角形； B、1+2＝3，不能摆成三角形； C、3+4＞5，能摆成三角形； D、1+1＝2，不能摆成三角形． 故选：C．
4．将函数y＝2x的图象向上平移4个单位后，下列各点在平移后的图象上的是（ ） A．（1，5）
B．（0，4）
C．（﹣1，3）
D．（2，﹣3）
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，然后把各选项中点的坐标代入即可判断．
解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x的图象向上平移4个单位后所得直线的解析式为：y＝2x+4， 当x＝1时，y＝2+4＝6≠5， 当x＝0时，y＝0+4＝4， 当x＝﹣1时，y＝﹣2+4＝2≠3， 当x＝2时，y＝4+4＝8≠﹣3，
所以在平移后的函数图象上的是（0，4）， 故选：B．
5．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5° B．4° C．8° D．6°
【分析】由角平分线的定义，得∠BAE＝25°，再根据三角形内角和定理得∠BAD＝30°，最后利用角的和差关系得出答案．
解：∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAE＝25°，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝5°， 故选：A．
6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等； 不能判定甲与△ABC全等； 故选：B．
7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．105° B．110° C．120° D．125°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，则∠DCB＝∠B＝25°，利用三角形外角性质计算出∠CDA＝50°，利用等腰三角形的性质得∠CAD＝∠CDA＝50°，然后
利用三角形内角和计算出∠ACD，从而得到∠ACB的度数． 解：由作法得MN垂直平分BC， ∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝25°， ∴∠CDA＝25°+25°＝50°， ∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠ACB＝80°+25°＝105°． 故选：A．
8．已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在该直线上，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y1
B．y1＜y1
C．y1＝y2
D．不确定
【分析】由已知可得k＞0，b＞0，所以y随x值的增大而增大，即可求解． 解：∵直线y＝kx+b经过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，
∴y随x值的增大而增大， ∴当x1＞x2时，y1＞y2， ∴y1＞y2， 故选：A．
9．如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（ ）
A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ∥AB D．PQ＝PC
【分析】可利用角平分线的性质判断选项B，利用HL判断选项A，利用平行线的判定定理判定选项C．
解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，PM＝PN，
∴点P在∠BAC的角平分线上． ∴∠BAP＝∠CAP，故选项B正确； ∵∠PAQ＝∠APQ， ∴∠BAP＝∠APQ． ∴PQ∥AB，故选项C正确； 在Rt△APM和Rt△APN中，
，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL）． ∴AM＝AN，故选项A正确；
由于不能说明∠C与∠CQP相等，也不能直接证明PQ与PC相等， 故选项D错误． 故选：D．
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意找到点P到达D、C前后的一般情况，列出函数关系式即可． 解：由题意可知
当0≤x≤6时，y＝•AP•AB＝•4x＝2x，
当6≤x≤10时，y＝4×6﹣×4×2﹣×6（x﹣6）﹣×4（10﹣x）＝﹣x+18， 当10≤x≤14时，y＝
（10﹣x）＝20﹣2x．
根据函数解析式，可知D正确． 故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．“对顶角相等”这个命题的逆命题是 如果两个角相等，那么它们是对顶角 ． 【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．
解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
12．4）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 x＝﹣2 ．
【分析】根据交点坐标直接写出方程的解即可．
解：函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，4）， ∴关于x的方程kx+b+2x＝0的解为x＝﹣2． 故答案为x＝﹣2．
13．在三角形ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B、C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠（点B、C都与点D重合），若EM＝a，则△DEF的周长是 6a ．
【分析】依据折叠的性质，即可得到△DEF是等边三角形，△DEM是含30°角的直角
三角形，再根据EM的长，即可得到△DEF的周长．
解：由折叠可得，∠B＝∠EDB＝30°，∠FDC＝∠C＝90°， ∴∠FED＝∠FED＝60°，∠EFD＝90°﹣30°＝60°， ∴△DEF是等边三角形， 由折叠可得，∠EMD＝90°， ∴Rt△DEM中，DE＝2EM＝2a， ∴DE＝EF＝DF＝2a， ∴△DEF的周长为6a， 故答案为：6a．
14．如图，已知点B（0，1）、点C（3，0），△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°． （1）点A的坐标是 （1，4） ； （2）延长AB交x轴于点D，则OD＝
．
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，根据已知条件证明△AOB≌△BDC，进而可以解决问题；
（2）点A的坐标是（1，4），B（0，1），可得直线AB的解析式为y＝3x+1，进而可以解决问题．
解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，
∴∠BEA＝∠BOC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠OBC＝90°，
∴∠BAE＝∠OBC，
∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS）， ∴AE＝OB＝1，BE＝OC＝3， ∴OE＝OB+BE＝1+3＝4， ∴点A的坐标是（1，4）； 故答案为：（1，4）； （2）如图，
∵点A的坐标是（1，4），B（0，1）， ∴直线AB的解析式为y＝3x+1， 当y＝0时，x＝﹣， ∴OD＝． 故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1向下平移3个单位，再向左平移1个单位得到△A2B2C2，请你画出△A2B2C2；
（3）若点P（m，n）在△A1B1C1上，与△A2B2C2上的点Q是对应点，写出点Q的坐标．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴对称点的位置，再连接即可； （2）首先确定A1、B1、C1三点平移后的位置，再连接即可； （3）根据图形得出坐标特点解答即可． 解：（1）如图所示：
（2）如图所示： （3）Q（m﹣1，n﹣3）．
16．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是∠ABC的角平分线． （1）求∠ABD的度数；
（2）若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，根据
角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到AB＝AC＝6，求得AD＝BD，于是得到结论． 解：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝ABC＝36°； （2）∵∠C＝∠ABC＝72°， ∴AB＝AC＝6， ∵∠ABD＝∠A＝36°， ∴AD＝BD， ∵DE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝A＝3．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分） 17．已知y﹣2与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）判断点A（1，5）是否在这个函数图象上．
【分析】（1）设y﹣2＝kx，然后把已知对应值代入求出k即可； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 解：（1）设y﹣2＝kx，
把x＝2，y＝﹣4代入得﹣4﹣2＝2k， 解得k＝﹣3， ∴y﹣2＝﹣3x，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+2； （2）∵x＝1时，y＝﹣3x+2＝﹣3+2＝﹣1≠5， ∴点A（1，5）不在这个函数图象上．
18．如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥BF，AE＝BF，AB＝CD，CE与BF交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BFD；
（2）若∠A＝42°，∠D＝85°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△BFD；
（2）由全等三角形的性质可得∠A＝∠FBD＝42°，∠D＝∠ACE＝85°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD， ∴AC＝BD， ∵AE∥BF， ∴∠A＝∠FBD， 在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SAS）； （2）∵△AEC≌△BFD，
∴∠A＝∠FBD＝42°，∠D＝∠ACE＝85°， ∴∠BOC＝53°．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，已知直线y＝kx+b经过点A（5，0）和点B（﹣1，6）． （1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣1与y轴交于点D，与直线AB交于点C，求△ADC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（﹣1，6）代入y＝kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可求得直线AB的解析式；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可求得C的坐标；求得直线y＝2x﹣1、直线
AB与y轴的交点，然后根据三角形面积公式求解即可． 解：（1）把点A（5，0），B（﹣1，6）分别代入y＝kx+b得解得k＝﹣1，b＝5，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+5；
（2）由﹣x+5＝2x﹣1解得x＝2，故y＝3， ∴C点坐标（2，3）；
∵直线y＝2x﹣1交y轴于D（0，﹣1），直线AB交y轴于（0，5），点A（5，0）． ∴S△ADC＝×6×5﹣×6×2＝9．
20．如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE、CD相交于点P，且AD＝AE，连接AP． （1）求证：AP平分∠DAE；
（2）连接BC，求证：△ABC为等腰三角形．
，
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ADP≌Rt△AEP，可得∠DAP＝∠EAP，可得结论； （2）由“ASA”可证△DPB≌△EPC，可得DB＝EC，可得结论． 【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADP＝∠AEP＝90°， 在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL）， ∴∠DAP＝∠EAP， ∴AP平分∠DAE； （2）如图，连接BC，
∵Rt△ADP≌Rt△AEP， ∴DP＝PE，
在△DPB和△EPC中，
，
∴△DPB≌△EPC（ASA）， ∴DB＝EC， ∴AD+DB＝AE+EC， ∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（1）如图1，直线m经过等边三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D、E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°，求证：BD+CE＝DE；
（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB＝120°，∠AEC＝120°，若BD＝3，CE＝7，求DE的长．
【分析】（1）通过证明△DAB≌△ECA（AAS），得出AD＝CE，BD＝AE，从而证得BD+CE＝AE+AD＝DE：
（2）通过△DAB≌△ECA（AAS），得出AD＝CE，BD＝AE，从而求得CE﹣BD＝AD﹣AE＝DE＝4．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，
∴∠DAB+∠CAE＝120°， 又∵∠ECA+∠CAE＝120°， ∴∠DAB＝∠ECA， 在△DAB和△ECA中，
，
∴△DAB≌△ECA（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴BD+CE＝AE+AD＝DE．
（2）解：在正三角形ABC中，∠BAC＝60°， ∴∠DAB+∠CAE＝60°， ∵∠AEC＝120°， ∴∠ECA+∠CAE＝60°， ∴∠DAB＝∠ECA， 在△DAB和△ECA中，
，
∴△DAB≌△ECA（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD﹣AE＝CE﹣BD＝4．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．B两种商品共200件进行销售，某商场购进A、其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，A、B两种商品的进价、售价如表：
进价（元/件） 售价（元/件）
A 150 220
B 130 195
（1）设商场购进A商品的件数为x（件），购进A、B两种商品全部售出后获得的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在（1）条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利
润中捐给慈善基金m（5＜m≤10）元，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以写出y与x之间的函数关系式，然后根据A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，可以求得x的取值范围；
（2）根据题意可以写出最后获得的利润与x之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和x的取值范围，可以求得最大利润． 解：（1）由题意可得，
y＝（220﹣150）x+（195﹣130）（200﹣x）＝5x+13000， ∵A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件， ∴50≤x≤200﹣x， 解得50≤x≤100，
即y与x之间的函数关系式是y＝5x+13000（50≤x≤100）； （2）设最后获得的利润为w元，
由题意可得：w＝y﹣mx＝（5x+13000）﹣mx＝（5﹣m）x+13000， ∵5＜m≤10， ∴5﹣m＜0，
∴w随x的增大而减小， ∵50≤x≤100，
∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝13250﹣50m，
答：该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润是（13250﹣50m）元． 八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°， ①求证：BD＝CE； ②∠BCE＝ 90° ；
（2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β，
①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°；
②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）①利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可证明结论；
②由①知△ABD≌△ACE，得∠B＝∠ACE，则∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B＝90°；
（2）①利用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B＝∠ACE，从而α+β＝180°；
②由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD＝∠ACE，从而得出∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE，即可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE；
②由①知△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BCE＝90°， 故答案为：90°；
（2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE， ∴∠B+∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°；
②α＝β．理由如下：如图，由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE， ∴∠BAC＝∠BCE， 即α＝β．
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