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2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一（下）
期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设复数z满足（3+4i）z＝|3﹣4i|（i为虚数单位），则z＝（ ） A．3+4i
B．3﹣4i
C．
D．
2．（5分）下列说法正确的是（ ） A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱
3．（5分）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4）
D．（1）（4）
（ ）
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A．锐角三角形 C．钝角或锐角三角形
5．（5分）已知向量，满足||＝1，|A．30°
B．60°
B．钝角三角形 D．锐角、钝角或直角 ，|2+|＝
C．120°
，则与﹣（ ）
D．150°
6．（5分）已知复数z满足2≤|z|≤3，则|z﹣1﹣i|（i为虚数单位）的取值范围是（ ） A．
B．D．
C．
7．（5分）已知点P是边长为1的菱形ABCD内一动点（包括边界），∠DAB＝60°，则
第1页（共17页）
的最大值为（ ） A．
B．
，
C．1
，向量
D．
，y∈[1，2]，夹
8．（5分）已知向量，的夹角为角的余弦值的最小值为（ ） A．
B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）已知函数f（x）＝|lgx|，则（ ） A．f（x）是偶函数
C．f（x）在[0，+∞）上递增
B．f（x）值域为[0，+∞） D．f（x）有一个零点
10．（5分）已知圆锥底面半径为3，高为4，则（ ） A．圆锥的体积是36π B．圆锥的侧面积是15π C．圆锥的内切球体积是
，
D．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为
11．（5分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，下列选项正确的是（ ） A．
B．若b＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为
12．（5分）已知等腰△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，则A．﹣2
B．﹣3
C．24
的值可能是（ ） D．16
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知函数
，则f（f（1））＝ ．
14．（5分）如右图，△O′A′B′是水平放置的平面图形△OAB的直观图（斜二测画法）
第2页（共17页）
若OA′＝2，B′C′＝1，则原△OAB的面积是 ．
15．（5分）已知向量则
满足
．
，若对任意实数x都有
，
16．（5分）已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z＝m2+m﹣（m+1）i，m∈R，i为虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当m＝1时，求18．（12分）已知单位向量（1）若（2）若
，求λ的值； ，求
的值 的值
的夹角为
，向量
．
19．（12分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为3的正方形，高为4，E为CC1
的中点．
（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积； （2）求三棱锥E﹣A1BC和长方体的体积之比．
20．（12分）某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形ABCD作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，AD＝2km，测角仪测得∠BAD＝120°． （1）求BD的长；
第3页（共17页）
（2）因地理条件限制，AB，AD不能变更，要求在弧上设计一点C使得四边形ABCD面积最大，求四边形ABCD面积的最大值．
21．（12分）如图，M，N别是△ABC边BC，AB上，且（1）若
，求的值；
（2）若AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，求
22．（12分）已知向量
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数f（C）恰好为函数f（x），且此时CD＝f（C），求3a+b的最小值．
．令函数
．
第4页（共17页）
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一（下）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设复数z满足（3+4i）z＝|3﹣4i|（i为虚数单位），则z＝（ ） A．3+4i
B．3﹣4i
C．
，
．
D．
【解答】解：∵（3+4i）z＝|2﹣4i|＝∴z＝故选：D．
2．（5分）下列说法正确的是（ ） A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱
【解答】解：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，直四棱柱就不是长方体； 两个面平行，其余各面是梯形的多面体，就不是棱台； 由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形； 由棱柱的定义可知，平行六面体一定是棱柱． 故选：C．
3．（5分）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
第5页（共17页）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
【解答】解：（1）图还原正方体后，①⑤对面，③⑥对面； （2）图还原后，①④对面，③⑥对面； （3）图还原后，①④对面，③⑥对面； （4）图还原后，①⑥对面，③④对面； 综上可得，还原成正方体后，①． 故选：B．
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．钝角或锐角三角形 D．锐角、钝角或直角
【解答】解：∵在△ABC中，，
∴a＞b，角B可取比，
∴C＝π﹣A﹣B＞，故△ABC的形状为钝角三角形．
故选：B．
5．（5分）已知向量，满足||＝1，|，|2+|＝
，则与﹣（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解答】解：设与﹣的夹角为θ，180°），满足|，||＝+|＝
，∴4+4+
，即 4+4×5×，＞+3＝7，＞＝0， ∴
，
＝0，|﹣
＝2．
∴cosθ＝＝＝＝﹣，
故选：D．
6．（5分）已知复数z满足2≤|z|≤3，则|z﹣1﹣i|（i为虚数单位）的取值范围是（ A． B． C．
D．
【解答】解：令z＝x+yi，x，y∈R， ∵2≤|z|≤3，
第6页（共17页）
）
）
∴3≤x2+y2≤6，
∵z﹣1﹣i＝（x﹣1）+（y﹣2）i， ∴|z﹣1﹣i|＝设该距离为d， 则
，dmax＝3+
，
]．
，
，其几何含义为z在复平面内对应的点（x，5）的距离，
故|z﹣1﹣i|（i为虚数单位）的取值范围是[故选：D．
7．（5分）已知点P是边长为1的菱形ABCD内一动点（包括边界），∠DAB＝60°，则的最大值为（ ） A．
B．
C．1
D．
【解答】解：以菱形ABCD的对角线BD所在直线为x轴，中点为坐标原点，可得A（0，
），8），﹣则
＝（﹣，﹣＝﹣x﹣
作出直线y＝﹣则＝﹣x﹣故选：B．
），D（， ），y），，
x，平移，﹣x﹣．
，
，y﹣
），
8．（5分）已知向量，的夹角为角的余弦值的最小值为（ ）
第7页（共17页）
，，向量，y∈[1，2]，夹
A． B． C．
，||＝2，，
D．
，
【解答】解：依题意可得
，
则所
，
，
以
令，则，
令则所以所以当
，由x，2]，得
，
，故时，
，
，
有最小值
．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）已知函数f（x）＝|lgx|，则（ ） A．f（x）是偶函数
C．f（x）在[0，+∞）上递增
B．f（x）值域为[0，+∞） D．f（x）有一个零点
【解答】解：可画出f（x）＝|lgx|的图象如下图所示：
第8页（共17页）
根据图象可看出f（x）的值域为[0，+∞）． 故选：BD．
10．（5分）已知圆锥底面半径为3，高为4，则（ ） A．圆锥的体积是36π B．圆锥的侧面积是15π C．圆锥的内切球体积是
＝12π；
D．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为
【解答】解：对于A，底面积为S＝π•32＝7π，所以体积V＝对于B，母线长为R＝5，侧面积为
×4π×5＝15π；
对于C，如图所示，内切圆O与AC，E，则CE＝3， ∴AC＝7，CD＝CE＝3， ∴AD＝5﹣4＝2， ∵tan∠CAE＝
＝
，即
＝
，∴OD＝， ；
∴内切球的体积为π•
第9页（共17页）
对于D，圆心角α＝＝故选：BD．
11．（5分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，下列选项正确的是（ ） A．
，
；
，三角形有两解；
，
，C正确；
上
的
中
点
，
则
，
又∴
＝c时等号成立， 所以
第10页（共17页）
．
，
B．若b＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为【解答】解：A．因为又A∈（0，所以B．若b＝3，且
，
C．若△ABC为锐角三角形，则
，
D
．
若
D
为
BC
，边
，
，
，，
，
，当且仅当b
，所以，D正确．
故选：BCD．
12．（5分）已知等腰△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，则A．﹣2
B．﹣3
C．24
的值可能是（ ） D．16
【解答】解：以BC为x轴，BC的中垂线为y轴，显然A在y轴上， 因为∠A＝120°，AB＝4设P（x，y），则所以
，7）﹣x
，0），4）， ﹣x，﹣7y），
＝（﹣x，﹣2y）＝2x²+2y²﹣4y＝2x²+4（y﹣1）²﹣2，
取最小值﹣2，
因为P为△ABC内部及边上的点，所以x＝8，x＝±2
，y＝0时，
．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知函数
【解答】解：f（1）＝﹣1， 故f（f（1））＝f（﹣1）＝， 故答案为：．
14．（5分）如右图，△O′A′B′是水平放置的平面图形△OAB的直观图（斜二测画法）若OA′＝2，B′C′＝1，则原△OAB的面积是 2
．
，则f（f（1））＝
．
第11页（共17页）
【解答】解：根据题意，设原△OAB的面积为S1，
在△O′A′B′中，OA′＝2，B′C′＝31＝×O′A′×B′C′＝1， 又由
＝
，则S＝2
， ，
即原△OAB的面积是2故答案为：5
．
15．（5分）已知向量则
满足
．
，若对任意实数x都有，
【解答】解：因为对任意实数x都有成立，
|²）≤0，
所以对任意实数x都有x²||²﹣12x+12﹣|，则△＝144﹣4|所以（||²﹣8）²≤0|＝因为
，
则当λ＝﹣1时，上式取得最小值故答案为：
．
，
，所以|＝＝
16．（5分）已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
．
【解答】解：∵△ABC的重心为G， ∴∵∴（∴
a﹣c）
b﹣c）
+
+
＝，即
+
＝﹣， ＝， c，
＝， ，
a﹣c＝0，，即a＝
＝
∴cosA＝∵A∈（0，π）， ∴A＝
．
第12页（共17页）
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z＝m2+m﹣（m+1）i，m∈R，i为虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当m＝1时，求
的值
【解答】解：（1）当z是纯虚数时，则，解得m＝0．
（2）当m＝8时，z＝m2+m﹣（m+1）i＝7+1﹣2i＝6﹣2i， ∴
＝
的夹角为
． ，向量
．
18．（12分）已知单位向量（1）若（2）若
，求λ的值； ，求
的值
【解答】解：（1）若所以（2）若
，则存在k使得，即）＝8k，
，解得λ＝； ，则
＝0
）（•
+（3λ+1）
＝7+（3λ+1）
×8×1×（﹣，解得λ＝5， 所以||＝
＝
＝
．
19．（12分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为3的正方形，高为4，E为CC1
的中点．
（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积； （2）求三棱锥E﹣A1BC和长方体的体积之比．
第13页（共17页）
【解答】解：（1）∵长方体的底面是边长为3的正方形，高为4， ∴长方体的表面积为S＝长方体外接球的半径r＝
∴长方体外接球的表面积S＝4π×（2）
＝2×3×7+4×3×4＝66．
， ＝34π； ＝
＝SABCD•AA2＝3×3×5＝36．
．
∴三棱锥E﹣A1BC和长方体的体积之比为＝．
20．（12分）某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形ABCD作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，AD＝2km，测角仪测得∠BAD＝120°． （1）求BD的长；
（2）因地理条件限制，AB，AD不能变更，要求在弧上设计一点C使得四边形ABCD面积最大，求四边形ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理可得：
BD2＝AB2+AD4﹣2AB•AD•cos∠BAD＝1+7﹣2×1×4×（﹣）＝8， ∴BD＝
，
；
故BD的长为
（2）在△BCD中，∠BCD＝60°，
第14页（共17页）
则由余弦定理可得：BD4＝BC2+CD2﹣7BC•CD•cos∠BCD， ∴7＝BC2+CD6﹣2BC•CD≥2BC•CD﹣BC•CD＝BC•CD， 当且仅当BC＝CD时等号成立． ∴
则S△ABCD＝S△ABD+S△BCD≤故四边形ABCD面积的最大值为
km2．
＝
，
．
21．（12分）如图，M，N别是△ABC边BC，AB上，且（1）若
，求的值；
（2）若AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，求
【解答】解：（1）因为
＝2
，故
），故
＝
+
，
所以x＝，y＝，故； （2）设故同理可得
＝λ（＝
，
）+μ
，
，连接BP，
+λ
＝
，
因为不共线，解得，
所以故＝
＝＝（﹣
+
+
，
＝（＝
﹣
）
+
第15页（共17页）
＝．
22．（12分）已知向量
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数f（C）恰好为函数f（x），且此时CD＝f（C），求3a+b的最小值． 【解答】解：（1）＝sinx（sinx+
cosx）+
＝（sinx+sinxcosx+＝＝π， ，k∈Z
+kπ≤x≤
，k∈Z， ，）（sinx
+
＝sin（2x﹣
，
．令函数
．
则f（x）的最小正周期为令﹣
+2kπ≤2x﹣
≤
故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，，k∈Z；
，
（2）由f（C）恰好为函数f（x）的最大值，则f（C）＝sin（5C﹣即sin（2C﹣
）＝1，∴C＝
， ，可得AD＝
，
在△ACD中，由
在△BCD中，由，可得BD＝，
所以c＝+，
在△ABC中，＝（+），
则可得a＝（1+）（+3），
第16页（共17页）
则3a+b＝2（1+（+1）＝7•+•+，
因为sinA＞0，sinB＞2， ∴3a+b≥2
当仅当sinA＝sinB时取“＝”， 故3a+b的最小值为4+
．
+
＝4+
，
第17页（共17页）
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