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备考2021年九年级中考数学专题训练:《圆的综合》(三)

来源:画鸵萌宠网
备考2021年九年级中考数学专题训练:

《圆的综合》(三)

1.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥DC于点D,AC平分∠DAB. (1)求证:直线CD是⊙O的切线;

(2)若AB=4,∠DAB=60°,求AD的长.

2.如图,△ABC内接于⊙O,过点B的切线BE∥AC,点P是优弧AC上一动点(不与A,

C重合),连接PA,PB,PC,PB交AC于D.

(1)求证:PB平分∠APC;

(2)当PD=3,PB=4时,求AB的长.

3.如图,AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,连接AE、ED、DA,连接BD并延长至点C,使得∠DAC=∠AED. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)若点E是

的中点,AE与BC交于点F,

①求证:CA=CF;

②若⊙O的半径为3,BF=2,求AC的长.

4.如图,已知△ABC,以A为圆心AB为半径作圆交AC于E,延长BA交圆A于D连

DE并延长交BC于F,CE2=CF•CB.

(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论; (2)如图1,若BE=CE=2(3)如图2,若tan∠CEF=

,求⊙A的面积; ,求cos∠C的值.

5.对于平面内的点P和图形M,给出如下定义:以点P为圆心,以r为半径作⊙P,使得图形M上的所有点都在⊙P的内部(或边上),当r最小时,称⊙P为图形M的P点控制圆,此时,⊙P的半径称为图形M的P点控制半径.已知,在平面直角坐标系中,正方形OABC的位置如图所示,其中点B(2,2).

(1)已知点D(1,0),正方形OABC的D点控制半径为r1,正方形OABC的A点控制半径为r2,请比较大小:r1 r2; (2)连接OB,点F是线段OB上的点,直线l:y=点控制圆与直线l有两个交点,求b的取值范围.

x+b;若存在正方形OABC的F

6.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接AC,CE⊥AB于点E,D是直径AB延长线上一点,且∠BCE=∠BCD. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若AD=8,

,求CD的长.

7.已知AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,点P为圆O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.

(1)求证:PA为圆O的切线;

(2)如果OP=AB=10,求AC的长.

8.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AB上一点,以AE为直径作⊙O与BC相切于点D,连接ED并延长交AC的延长线于点F. (1)求证:AE=AF;

(2)若AE=5,AC=4,求BE的长.

9.如图,在△ABC中,∠B=90°,点D为AC上一点,以CD为直径的⊙O交AB于点

E,连接CE,且CE平分∠ACB.

(1)求证:AE是⊙O的切线; (2)连接DE,若∠A=30°,求

10.已知⊙O的直径AB、CD互相垂直,弦AE交CD于F,若⊙O的半径为R, 求证:AE•AF=2R2.

1.(1)证明:连接OC,如图1所示: ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠OAC, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD, ∵AD⊥DC, ∴CD⊥OC,

又∵OC是⊙O的半径, ∴直线CD是⊙O的切线; (2)解:连接BC,如图2所示: ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°,

∵AC平分∠DAB,∠DAB=60°, ∴∠DAC=∠BAC=30°, ∴BC=

AB=2,AC=BC=2,

∵AD⊥DC, ∴∠ADC=90°, ∴CD=

AC=,AD=CD=3.

2.(1)证明:∵BE是⊙O的切线, ∴∠EBC=∠BAC, ∵BE∥AC, ∴∠EBC=∠ACB, ∴∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC, ∴

∴∠APB=∠CPB, ∴PB平分∠APC;

(2)解:∵∠APB=∠CPB,∠BAD=∠CPB, ∴∠BAD=∠APB, ∵∠ABP=∠DBA, ∴△ABD∽△PBA, ∴

∴AB2=PB•BD=PB(PB﹣PD)=4×1=4, ∴AB=2.

3.(1)证明:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠DBA+∠DAB=90°,

∵∠DEA=∠DBA,∠DAC=∠DEA, ∴∠DBA=∠DAC, ∴∠DAC+∠DAB=90°,

∵AB是⊙O的直径,∠CAB=90°, ∴AC是⊙O的切线; (2)①证明:∵点E是∴∠BAE=∠DAE,

∵∠CFA=∠DBA+∠BAE,∠CAF=∠DAC+∠DAE,∠DBA=∠DAC, ∴∠CFA=∠CAF, ∴CA=CF;

②解:设CA=CF=x, 则BC=CF+BF=x+2, ∵⊙O的半径为3, ∴AB=6,

在Rt△ABC中,CA2+AB2=BC2, 即:x2+62=(x+2)2, 解得:x=8, ∴AC=8.

4.解:(1)∵CE2=CF•CB, ∴

的中点,

∴△CEF∽△CBE, ∴∠CBE=∠CEF, ∵AE=AD,

∴∠ADE=∠AED=∠FEC=∠CBE, ∵BD为直径,

∴∠ADE+∠ABE=90°, ∴∠CBE+∠ABE=90°, ∴∠DBC=90°

∴△ABC为直角三角形.

(2)∵BE=CE

∴设∠EBC=∠ECB=x, ∴∠BDE=∠EBC=x, ∵AE=AD

∴∠AED=∠ADE=x, ∴∠CEF=∠AED=x ∴∠BFE=2x

在△BDF中由△内角和可知: 3x=90°, ∴x=30°, ∴∠ABE=60° ∴

∴⊙A的面积为

(3)由(1)知:∠BDF=∠CEF=∠CBE, ∵tan∠CBE=∴

∴AD=AB=

,设EF=a,BE=2a,

∴DE=2BE=4a,过F作FK∥BD交CE于K, ∴∵∴∴∴∴

5.解:(1)由题意得:r1=BD=CD=∴r1<r2, 故答案为:<.

,r2=AC=

=2,

(2)如图所示:⊙O和⊙B的半径均等于OB,

当直线l:y=x+b与⊙O相切于点M时,连接OM,则OM⊥l,

x,

则直线OM的解析式为:y=﹣设M(x,﹣∵OM=OB, ∴OM=∴x2+

=8,

或x=, ,,. ), )代入y=

(舍), =

x),

解得:x=﹣∴﹣

x=

∴M(﹣将M(﹣解得:b=4

x+b得:=×(﹣)+b,

当直线l:y=x+b与⊙B相切于点N时,连接BN,则BN⊥l,

x+n,将B(2,2)代入得:

同理,设直线BN的解析式为:y=﹣2=﹣∴n=2+

×2+n,

∴直线BN的解析式为:y=﹣设N(m,﹣∵BN=OB, ∴

∴4﹣4m+m2+

+

=8

x+2+,

m+2+),

=,

∴m2﹣4m+2=0, ∴m=2﹣∴﹣

(舍)或m=2+

=﹣), )代入y=,

)+2+

=2﹣

m+2+

,2﹣

(2+

∴N(2+∴将N(2+解得:b=

,2﹣x+b得:2﹣=(2+)+b,

∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点,此时b的取值范围为:

<b<

6.(1)证明:连接OC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵CE⊥AB, ∴∠CEB=90°,

∴∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠CAB=90°, ∴∠A=∠ECB, ∵∠BCE=∠BCD, ∴∠A=∠BCD, ∵OC=OA,

∴∠A=∠ACO, ∴∠ACO=∠BCD,

∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°, ∴∠DCO=90°, ∴CD是⊙O的切线; (2)解:∵∠A=∠BCE, ∴tanA=

=tan∠BCE=

设BC=k,AC=2k, ∵∠D=∠D,∠A=∠BCD, ∴△ACD∽△CBD, ∴

∵AD=8, ∴CD=4.

7.(1)证明:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠BAC+∠B=90°, 又∵OP∥BC, ∴∠AOP=∠B,

∴∠BAC+∠AOP=90°, ∵∠P=∠BAC, ∴∠P+∠AOP=90°, ∴∠PAO=90°, ∴PA⊥OA,

又∵OA是的⊙O的半径,

∴PA为⊙O的切线;

(2)解:由(1)得:∠PAO=∠ACB=90°, 又∵∠P=∠BAC,OP=BA, ∴△OAP≌△BCA(AAS), ∴BC=OA=∴AC=

AB=5,

=5

8.证明:(1)连接OD, ∵BC切⊙O于点D, ∴OD⊥BC, ∴∠ODC=90°, 又∵∠ACB=90°, ∴OD∥AC, ∴∠ODE=∠F, ∵OE=OD, ∴∠OED=∠ODE, ∴∠OED=∠F, ∴AE=AF; (2)∵OD∥AC ∴△BOD∽△BAC, ∴

∵AE=5,AC=4, 即∴BE=

9.(1)证明:连接OE,如图1所示: ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠BCE, 又∵OE=OC, ∴∠ACE=∠OEC, ∴∠BCE=∠OEC, ∴OE∥BC, ∴∠AEO=∠B, 又∵∠B=90°, ∴∠AEO=90°, 即OE⊥AE, ∵OE为⊙O的半径, ∴AE是⊙O的切线;

(2)解:连接DE,如图2所示: ∵CD是⊙O的直径, ∴∠DEC=90°, ∴∠DEC=∠B, 又∵∠DCE=∠ECB, ∴△DCE∽△ECB, ∴

∵∠A=30°,∠B=90°, ∴∠ACB=60°, ∴∠DCE=

∠ACB=

×60°=30°,

∴∴

=cos∠DCE=cos30°==

10.证明:连接BE,如图, ∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB=90° ∵AB⊥CD ∴∠AOF=90° ∴∠AOF=∠AEB=90° 又∠A=∠A ∴△AOF∽△AEB ∴AE•AF=AO•AB ∵AO=R,AB=2R 所以AE•AF=2R2.

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