备考2021年九年级中考数学专题训练：《圆的综合》(三)

《圆的综合》（三）

1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB． （1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．

2．如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线BE∥AC，点P是优弧AC上一动点（不与A，

C重合），连接PA，PB，PC，PB交AC于D．

（1）求证：PB平分∠APC；

（2）当PD＝3，PB＝4时，求AB的长．

3．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是

的中点，AE与BC交于点F，

①求证：CA＝CF；

②若⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．

4．如图，已知△ABC，以A为圆心AB为半径作圆交AC于E，延长BA交圆A于D连

DE并延长交BC于F，CE2＝CF•CB．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）如图1，若BE＝CE＝2（3）如图2，若tan∠CEF＝

，求⊙A的面积； ，求cos∠C的值．

5．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．

（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1 r2； （2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y＝点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．

x+b；若存在正方形OABC的F

6．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝8，

＝

，求CD的长．

7．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．

（1）求证：PA为圆O的切线；

（2）如果OP＝AB＝10，求AC的长．

8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：AE＝AF；

（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．

9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点

E，连接CE，且CE平分∠ACB．

（1）求证：AE是⊙O的切线； （2）连接DE，若∠A＝30°，求

．

10．已知⊙O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若⊙O的半径为R， 求证：AE•AF＝2R2．

参

1．（1）证明：连接OC，如图1所示： ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴OC∥AD， ∵AD⊥DC， ∴CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半径， ∴直线CD是⊙O的切线； （2）解：连接BC，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，

∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝30°， ∴BC＝

AB＝2，AC＝BC＝2，

∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝90°， ∴CD＝

AC＝，AD＝CD＝3．

2．（1）证明：∵BE是⊙O的切线， ∴∠EBC＝∠BAC， ∵BE∥AC， ∴∠EBC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴

＝

，

∴∠APB＝∠CPB， ∴PB平分∠APC；

（2）解：∵∠APB＝∠CPB，∠BAD＝∠CPB， ∴∠BAD＝∠APB， ∵∠ABP＝∠DBA， ∴△ABD∽△PBA， ∴

＝

，

∴AB2＝PB•BD＝PB（PB﹣PD）＝4×1＝4， ∴AB＝2．

3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝90°，

∵∠DEA＝∠DBA，∠DAC＝∠DEA， ∴∠DBA＝∠DAC， ∴∠DAC+∠DAB＝90°，

∵AB是⊙O的直径，∠CAB＝90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）①证明：∵点E是∴∠BAE＝∠DAE，

∵∠CFA＝∠DBA+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，∠DBA＝∠DAC， ∴∠CFA＝∠CAF， ∴CA＝CF；

②解：设CA＝CF＝x， 则BC＝CF+BF＝x+2， ∵⊙O的半径为3， ∴AB＝6，

在Rt△ABC中，CA2+AB2＝BC2， 即：x2+62＝（x+2）2， 解得：x＝8， ∴AC＝8．

4．解：（1）∵CE2＝CF•CB， ∴

，

的中点，

∴△CEF∽△CBE， ∴∠CBE＝∠CEF， ∵AE＝AD，

∴∠ADE＝∠AED＝∠FEC＝∠CBE， ∵BD为直径，

∴∠ADE+∠ABE＝90°， ∴∠CBE+∠ABE＝90°， ∴∠DBC＝90°

∴△ABC为直角三角形．

（2）∵BE＝CE

∴设∠EBC＝∠ECB＝x， ∴∠BDE＝∠EBC＝x， ∵AE＝AD

∴∠AED＝∠ADE＝x， ∴∠CEF＝∠AED＝x ∴∠BFE＝2x

在△BDF中由△内角和可知： 3x＝90°， ∴x＝30°， ∴∠ABE＝60° ∴

，

∴⊙A的面积为

（3）由（1）知：∠BDF＝∠CEF＝∠CBE， ∵tan∠CBE＝∴

∴AD＝AB＝

，

，设EF＝a，BE＝2a，

，

∴DE＝2BE＝4a，过F作FK∥BD交CE于K， ∴∵∴∴∴∴

，

5．解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝∴r1＜r2， 故答案为：＜．

＝

，r2＝AC＝

＝2，

（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，

当直线l：y＝x+b与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，

x，

则直线OM的解析式为：y＝﹣设M（x，﹣∵OM＝OB， ∴OM＝∴x2+

＝8，

或x＝， ，，． ）， ）代入y＝

（舍）， ＝

x），

，

解得：x＝﹣∴﹣

x＝

∴M（﹣将M（﹣解得：b＝4

x+b得：＝×（﹣）+b，

当直线l：y＝x+b与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，

x+n，将B（2，2）代入得：

同理，设直线BN的解析式为：y＝﹣2＝﹣∴n＝2+

×2+n，

，

∴直线BN的解析式为：y＝﹣设N（m，﹣∵BN＝OB， ∴

∴4﹣4m+m2+

﹣

+

＝8

x+2+，

m+2+），

＝，

∴m2﹣4m+2＝0， ∴m＝2﹣∴﹣

（舍）或m＝2+

＝﹣）， ）代入y＝，

，

）+2+

＝2﹣

，

m+2+

，2﹣

（2+

∴N（2+∴将N（2+解得：b＝

，2﹣x+b得：2﹣＝（2+）+b，

∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：

＜b＜

6．（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠A＝∠ECB， ∵∠BCE＝∠BCD， ∴∠A＝∠BCD， ∵OC＝OA，

．

∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝∠BCE， ∴tanA＝

＝tan∠BCE＝

＝

，

设BC＝k，AC＝2k， ∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴

＝

＝

，

∵AD＝8， ∴CD＝4．

7．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， 又∵OP∥BC， ∴∠AOP＝∠B，

∴∠BAC+∠AOP＝90°， ∵∠P＝∠BAC， ∴∠P+∠AOP＝90°， ∴∠PAO＝90°， ∴PA⊥OA，

又∵OA是的⊙O的半径，

∴PA为⊙O的切线；

（2）解：由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°， 又∵∠P＝∠BAC，OP＝BA， ∴△OAP≌△BCA（AAS）， ∴BC＝OA＝∴AC＝

AB＝5，

＝

＝5

8．证明：（1）连接OD， ∵BC切⊙O于点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODC＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴OD∥AC， ∴∠ODE＝∠F， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∴∠OED＝∠F， ∴AE＝AF； （2）∵OD∥AC ∴△BOD∽△BAC， ∴

，

∵AE＝5，AC＝4， 即∴BE＝

．

，

9．（1）证明：连接OE，如图1所示： ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， 又∵OE＝OC， ∴∠ACE＝∠OEC， ∴∠BCE＝∠OEC， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠B， 又∵∠B＝90°， ∴∠AEO＝90°， 即OE⊥AE， ∵OE为⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，如图2所示： ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠B， 又∵∠DCE＝∠ECB， ∴△DCE∽△ECB， ∴

＝

，

∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝

∠ACB＝

×60°＝30°，

∴∴

＝cos∠DCE＝cos30°＝＝

．

，

10．证明：连接BE，如图， ∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB＝90° ∵AB⊥CD ∴∠AOF＝90° ∴∠AOF＝∠AEB＝90° 又∠A＝∠A ∴△AOF∽△AEB ∴AE•AF＝AO•AB ∵AO＝R，AB＝2R 所以AE•AF＝2R2．