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2019-2020 学年湖北省孝感市孝南区八年级（上）期末数学试卷
一、精心选择，锱定音!（本题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个选项是正 确的
1．（3 分）下列图形分别是四个城市电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．
D．
的值为 0，则 x 的值为（
2．（3 分）若分式
）
D．﹣1
）
A．2 或﹣1
B．0 C．2
3．（3 分）以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（
A．8cm，7cm，13cm
B．6cm，6cm，12cm
C．5cm，5cm，2cm
D．10cm，15cm，17cm
）
4．（3 分）下列计算正确的是（
3• a 3＝ 2a 3 A．a
3 2B．（a ） ＝a5
5÷ a 3＝ a 2 C．a D．（﹣2a）2 ＝﹣4a2
）
5．（3 分）下列因式分解正确的是（
2+ xy+x＝x（x+y） A．x
B．x2 ﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
2﹣ 2a+2＝（a﹣1） 2+1 C．a D．x2 ﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）
6．（3 分）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想办法在作业本画了一 样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（
）
A．AAS
B．ASA C．SSS D．SAS
7．（3 分）如图所示， △在ABC 中，∠C＝90°，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，垂足为 点 D，BE＝6cm，∠B＝15°，则 AC 等于（
）
A．6cm
B．5cm C．4cm D．3cm
）
8．（3 分）已知 x2 +2（m﹣1）x+9 是一个完全平方式，则 m 的值为（
A．4
B．4 或﹣2 C．±4
）
D．﹣2
9．（3 分）若分式方程 A．1
＝a 无解，则 a 的值（ B．﹣1
C．±1 D．0
10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，过点 O 作 OD⊥AC 于 D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；
②∠BOC＝90°+ ∠A；
③点 O 到△ABC 各边的距离相等；
④设 OD＝m，AE+AF＝n，则 S △AEF mn． ＝其中正确的结论是（
）
A．①②③
B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、耐心填空，准确无误（每题 3 分，共计 18 分）
11．（3分）一种植物果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076 克，该质量请用科学
记数法表示
克．
．
12．（3 分）若 a﹣b＝6，ab＝2，则 a2 +b2 ＝
13．（3 分）将点 M（﹣5，m）向上平移 6 个单位得到的点与点 M 关于 x 轴对称，则 m 的 值为
．
＝
．
°．
14．（3 分）若 ＝3，则
15．（3分）如图，AD是等边△ABC 的中线，E是 AC 上一点，且AD＝AE，则∠EDC＝
16．（3 分）如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 6，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF
分别交 AC，AB 于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点， △则△ CDM 的周长的最小值为
．
三、用心做一做显显你的能力（本大题 8 小题，共 72 分）
0 17．（10 分）（1）计算：|﹣5|+（π﹣2020） ﹣（ ）
﹣1；
（2）解方程：
＝1．
18．（8 分）先化简，再求值.
，其中 x＝2．
19．（8 分）如图，AC⊥BD，DE 交 AC 于 E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．
20．（6 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4）， （1）画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A△ 1 1B CB 1 ，并写出点 1 的坐标；
（2）在 x 轴上求作一点 P，使△PAB 的周长最小，并直接写出点 P 的坐标．
21．（8 分）先阅读下列材料，再解答下列问题：
2+2 （x+y）+1． 材料：因式分解：（x+y） 2+2 A+1＝（A+1） 2． 解：将“x+y”看成整体，令 x+y＝A，则原式＝A 2． 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1） 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解 答下列问题：
2． （1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y） （2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
22．（10 分）如图，在五边形 ABCDE 中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD． （1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B＝140°时，求∠BAE 的度数．
23．（10 分）某校为了创建书香校园，计划进一批图书，经了解．文学书的单价比科普书的
单价少 20 元，用 800 元购进的文学书本数与用 1200 元购进的科普书本数相等． （1）文学书和科普书的单价分别是多少元？
（2）该校计划用不超过 5000 元的费用购进一批文学书和科普书，问购进 60 本文学书后 最多还能购进多少本科普书？
24．（12 分）如图①，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE 相交于点 M，连
接 CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含 α 的式子表示∠AMB 的度数；
（3）当 α＝90°时，取 AD，BE 的中点分别为点 P、Q，连接 CP，CQ，PQ，如图②， 判断△CPQ 的形状，并加以证明．
2019-2020 学年湖北省孝感市孝南区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选择，锱定音!（本题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个选项是正 确的
1．（3 分）下列图形分别是四个城市电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形，结合选项即可作出判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确；
故选：D．
2．（3 分）若分式
的值为 0，则 x 的值为（
）
D．﹣1
A．2 或﹣1
B．0 C．2
【分析】分式的值为 0 的条件是：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．两个条件需同时具备， 缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：x﹣2＝0 且 x+1≠0，
解得 x＝2．
故选：C．
3．（3 分）以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（
）
A．8cm，7cm，13cm
B．6cm，6cm，12cm
C．5cm，5cm，2cm
D．10cm，15cm，17cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，
进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得 A、8+7＞13，能组成三角形；
B、6+6＝12，不能组成三角形；
C、2+5＞5，能组成三角形；
D、10+15＞17，能组成三角形．
故选：B．
4．（3 分）下列计算正确的是（
）
3 2B．（a ） ＝a5
3• a 3＝ 2a 3 A．a 5÷ a 3＝ a 2 C．a
D．（﹣2a）2 ＝﹣4a2
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，积 的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3 •a3 ＝a6 ，故本选项不合题意；
3 2 ，故本选项不合题意； B．（a ）＝a6
a3 a2 C．a5 ÷ ＝ ，正确，故本选项符合题意；
D．（﹣2a） ＝4a ，故本选项不合题意． 故选：C．
2 2
5．（3 分）下列因式分解正确的是（
2+ xy+x＝x（x+y） A．x
）
B．x2 ﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
2﹣ 2a+2＝（a﹣1） 2+1 C．a D．x2 ﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝x（x+y+1），不符合题意；
2，不符合题意； B、原式＝（x﹣2）
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（x﹣5）（x﹣1），符合题意，
故选：D．
6．（3 分）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想办法在作业本画了一 样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（
）
A．AAS
B．ASA C．SSS D．SAS
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即 可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是 ASA．
故选：B．
7．（3 分）如图所示， △在ABC 中，∠C＝90°，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，垂足为 点 D，BE＝6cm，∠B＝15°，则 AC 等于（
）
A．6cm
B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出 BE＝AE＝6cm，
求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根据含 30°角的直角三角形性质求出即可． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE 垂直平分 AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝ AE＝ ×6cm＝3cm，
故选：D．
（m﹣1）x+9 是一个完全平方式，则 m 的值为（ 8．（3 分）已知 x2 +2）
A．4
B．4 或﹣2 C．±4 D．﹣2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 m 的值．
【解答】解：∵x +2（m﹣1）x+9 是一个完全平方式， ∴2（m﹣1）＝±6，
2
解得：m＝4 或 m＝﹣2，
故选：B．
9．（3 分）若分式方程 A．1
＝a 无解，则 a 的值（ B．﹣1
）
D．0
C．±1
【分析】分式方程无解是指这个解不是分式方程的解是化简的整式方程的解，也就是使 分式方程得分母为 0，可以根据增根的意义列出方程，求出 a 的值．
【解答】解：在方程两边同乘（x+1）得：x﹣a＝a（x+1），
整理得：x（1﹣a）＝2a，
当 1﹣a＝0 时，即 a＝1，整式方程无解，
当 x+1＝0，即 x＝﹣1 时，分式方程无解，
把 x＝﹣1 代入 x（1﹣a）＝2a 得：﹣（1﹣a）＝2a，
解得：a＝﹣1，
故选：C．
10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，过点 O 作 OD⊥AC 于 D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；
②∠BOC＝90°+ ∠A；
③点 O 到△ABC 各边的距离相等；
④设 OD＝m，AE+AF＝n，则 S △AEF mn． ＝其中正确的结论是（
）
A．①②③
B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，根据角平分线的定义与
三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+ ∠A 正确；由平行线的性质和角平分线
的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出 EF＝BE+CF 故①正确；由角平分线的性
质得出点 O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解 方法，即可求得③设 OD＝m，AE+AF＝n，则
＝ AEF △S
mn，故④错误．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A；故②正确；
∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点 O 作 OM⊥AB 于 M，作 ON⊥BC 于 N，连接 OA，
∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S
△AEF
＝S
△AOE
+
△SAOF
＝ AE•OM+ AF•OD＝ OD•（AE+AF）＝ mn；故④错误；
∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴点 O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确．
故选：A．
二、耐心填空，准确无误（每题 3 分，共计 18 分）
11．（3分）一种植物果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076 克，该质量请用科学
记数法表示 7.6×10 ﹣8 克．
﹣n 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10 ，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定．
﹣8 【解答】解：0.000000076＝7.6×10 ．
故答案为：7.6×10 ﹣8 ．
2+ b 2＝ 40 ． 12．（3 分）若 a﹣b＝6，ab＝2，则 a
2 进行计算即可． 【分析】根据完全平方公式：（a﹣b）2 ＝a2 ﹣2ab+b a2 2ab+b 2， a﹣b＝6，ab＝2， 【解答】解：∵（a﹣b）2 ＝ ﹣ b22+2 ab＝36+2×2＝40， ∴a2 + ＝（a﹣b） 故答案为：40．
13．（3 分）将点 M（﹣5，m）向上平移 6 个单位得到的点与点 M 关于 x 轴对称，则 m 的 值为 ﹣3 ．
【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标，再利用关于 x 轴对称点的性质得出 答案．
【解答】解：∵点 M（﹣5，m）向上平移 6 个单位长度，
∴平移后的点的坐标为：（﹣5，m+6），
∵点 M（﹣5，m）向上平移 6 个单位长度后所得到的点与点 M 关于 x 轴对称，
∴m+m+6＝0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（3 分）若 ＝3，则
＝ 4 ．
【分析】根据比例的合比性质即可直接完成题目．
【解答】解：根据比例的合比性质，
原式＝
；
15．（3分）如图，AD是等边△ABC 的中线，E是 AC 上一点，且AD＝AE，则∠EDC＝ 15 °．
【分析】由 AD 是等边△ABC 的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得
AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由 AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求 得∠ADE 的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AD 是等边△ABC 的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝
＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15．
16．（3 分）如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 6，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF
分别交 AC，AB 于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点， △则
CDM 的周长的最小值为 9 ．
【分析】连接 AD，AM，由于△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 AD⊥BC，
再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 A
关于直线 EF 的对称点为点 C，MA＝MC，推出 MC+DM＝MA+DM≥AD，故 AD 的长为 BM+MD 的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接 AD，MA．
∵△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×6×AD＝18，解得 AD＝6， △ABC
∵EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD 的长为 CM+MD 的最小值，
∴△CDM 的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝6+ ×6＝6+3＝9． 故答案为：9．
三、用心做一做显显你的能力（本大题 8 小题，共 72 分）
0 1 17．（10 分）（1）计算：|﹣5|+（π﹣2020） ﹣（ ） ﹣；
（2）解方程：
＝1．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可 求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到 分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝5+1﹣2＝4；
2+4 ＝（x+1）（x﹣1）， （2）方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1） 解得：x＝﹣3，
检验：当 x＝3 时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣3 是原方程的解，
∴原方程的解是：x＝﹣3．
18．（8 分）先化简，再求值.
，其中 x＝2．
【分析】先化简分式，然后将 x 的值代入计算． 【解答】解：原式＝
÷
＝
•
，
＝
当 x＝2 时，
原式＝
＝ ．
19．（8 分）如图，AC⊥BD，DE 交 AC 于 E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得 BC＝CE，即可得结论．
【解答】证明：∵AB＝DE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°
∴△ABC≌△DEC（AAS）
∴BC＝CE，
∵AC＝AE+CE
∴AC＝AE+BC
20．（6 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4）， （1）画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A△ 1 1B C ，并写出点 1B 的坐标；
1
（2）在 x 轴上求作一点 P，使△PAB 的周长最小，并直接写出点 P 的坐标．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）作点 A 关于 x 轴的对称点，再连接 A′B，与 x 轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A△ 1 1BCB 1 即为所求，其中点 1 的坐标为（﹣4，2）．
（2）如图所示，点 P 即为所求，其坐标为（2，0）．
21．（8 分）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y） 2+2 （x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令 x+y＝A，则原式＝A 2+2 A+1＝（A+1） 2． 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 ． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y） 2． （2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
【分析】（1）将（2x﹣3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令 A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（1+2x﹣3y） 2． （2）令 A＝a+b，则原式变为 A（A﹣4）+4＝A 2﹣ 4A+4＝（A﹣2） 2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2） 2． 22．（10 分）如图，在五边形 ABCDE 中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD． （1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B＝140°时，求∠BAE 的度数．
【分析】（1）根据∠ACD＝∠ADC，∠BCD＝∠EDC＝90°，可得∠ ACB＝∠ADE，进 而运用 SAS 即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE 的度数． 【解答】（1）证明：
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，
在△ABC 和△AED 中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）解：当∠B＝140°时，∠E＝140°，
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴五边形 ABCDE 中，∠BAE＝540°﹣140°×2﹣90°×2＝80°．
23．（10 分）某校为了创建书香校园，计划进一批图书，经了解．文学书的单价比科普书的
单价少 20 元，用 800 元购进的文学书本数与用 1200 元购进的科普书本数相等． （1）文学书和科普书的单价分别是多少元？
（2）该校计划用不超过 5000 元的费用购进一批文学书和科普书，问购进 60 本文学书后 最多还能购进多少本科普书？
【分析】（1）设文学书的单价为 x 元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，根据数量＝
总价÷单价结合用 800 元购进的文学书本数与用 1200 元购进的科普书本数相等，即可得 出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进 m 本科普书，根据总价＝文学书的单价×购进本数+科普书的单价×购进本
数结合总价不超过 5000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数 值即可得出结论．
【解答】解：（1）设文学书的单价为 x 元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，
依题意，得：
＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40 是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝60．
答：文学书的单价为 40 元/本，科普书的单价为 60 元/本．
（2）设购进 m 本科普书，
依题意，得：40×60+60m≤5000，
解得：m≤43 ．
∵m 为整数，
∴m 的最大值为 43．
答：购进 60 本文学书后最多还能购进 43 本科普书．
24．（12 分）如图①，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE 相交于点 M，连 接 CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含 α 的式子表示∠AMB 的度数；
（3）当 α＝90°时，取 AD，BE 的中点分别为点 P、Q，连接 CP，CQ，PQ，如图②， 判断△CPQ 的形状，并加以证明．
【分析】（1）由 CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用 SAS 即可判 定△ACD≌ △BCE；
（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠
AMB＝∠ACB＝α；
（3）先根据 SAS 判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出 CP＝CQ，∠ACP
＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得 到△PCQ 为等腰直角 三角形．
【解答】解：（1）如图 1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD 和△BCE 中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图 1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC 中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM 中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝（3）△CPQ 为等腰直角三角形．
证明：如图 2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE 的中点分别为点 P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP 和△BCQ 中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
α；
∴∠BCQ+∠PCB＝90°， ∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ 为等腰直角三角形．
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