赣州市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

赣州市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）

A．20种 B．22种 C．24种 D．36种

2． 在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形

B．等边三角形

D．等腰三角形

=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）

B．相切

C．等腰直角三角形 3． 以过椭圆

A．相交

+

C．相离 D．不能确定

4． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5． 给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为（ ）

A．4,2 B．1,3 C．1,2,3,4 D．以上情况都有可能 6． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．6 B．9 C．12 D．18

7． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）

A．11 B．11.5 C．12 D．12.5

228． 已知函数f(x)3x2axa，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1

和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ ） A．22015 B．32015 C．3

20152

D．220152

9． 如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．i≥7？B．i＞15？ C．i≥15？

D．i＞31？

10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则的值为（ ）

A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或2

11．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ） A．

B．

C．

D． =0.08x+1.23

12．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A．10

B．9

C．8

D．7

二、填空题

13．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

= ．

14．在△ABC中，已知=2，b=2a，那么cosB的值是 ．

15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单 位：小时）间的关系为PP0ekt（P0，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了

消除27.1%的污染物，则需要___________小时.

【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.

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精选高中模拟试卷

16．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）

17．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.

18．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数fx＝－xlnx＋ax在0，e上是增函

a23数，函数gx＝e－a＋，当x0，ln3时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a的值

22x为______.

三、解答题

19．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

20．已知不等式（1）求，的值 （2）解不等式

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的解集为或

.

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21．（本小题满分12分）

2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．

（Ⅰ）确定x，y，p，q的值；

（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．

①请将列联表补充完整； 购物金额在2000元以上 购物金额在2000元以下 合计 参考数据： 网龄3年以上 35 网龄不足3年 20 合计 100 ②并据此列联表判断，是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？

2k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k 第 5 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

nadbc（参考公式：，其中nabcd）

abcdacbd22

22．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA平 面ABCD，M为PA中点，N为BC中点． （1）证明：直线MN//平面ABCD；

（2）若点Q为PC中点，BAD120，PA3，AB1，求三棱锥AQCD的体积．

23．设a＞0，（Ⅰ）求a的值；

是R上的偶函数．

（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

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精选高中模拟试卷

24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

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赣州市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学， 共有共有

=12种推荐方法； =12种推荐方法；

②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选， 故共有12+12=24种推荐方法； 故选：C．

2． 【答案】D

【解析】解：∵A+B+C=180°，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA， ∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D．

【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．

3． 【答案】C

【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D 连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N 根据圆锥曲线的统一定义，可得

=

=e，可得

∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，

∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|） ∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离 故选：C

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【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．

4． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ）， 且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限， ∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．

5． 【答案】A 【解析】

试题分析：f(g(1))f14,f(g(2))f14,f(g(3))f32,f(g(4))f34,故值域为

，∴θ为第二象限角，

4,2.

考点：复合函数求值． 6． 【答案】

【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.

法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54， a＝2 016，b＝54，r＝18， a＝54，b＝18，r＝0. ∴输出a＝18，故选D.

7． 【答案】C

【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．

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故选：C．

8． 【答案】C 【解析】

试题分析：因为函数f(x)3x22axa2，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以f10，解得

f102015a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

2Ta1a2...a2015，比数列，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1，

132015，

T3

20152

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 9． 【答案】C

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=2，i=0

不满足条件，S=5，i=1 不满足条件，S=8，i=3 不满足条件，S=11，i=7 不满足条件，S=14，i=15

由题意，此时退出循环，输出S的值即为14， 结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？ 故选：C．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

10．【答案】C

【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立． 当q≠1时，Sn=

，

4222

由S4=5S2得1﹣q=5（1﹣q），（q﹣4）（q﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，

解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．

=

=q，

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∴=﹣1或=±2．

故选：C．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．

11．【答案】C

【解析】解：法一：

由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 法二：

将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B 因为回归直线方程一定过样本中心点，

将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，

故选C

【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．

12．【答案】B

2

【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，10）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P（95≤ξ≤105）=0.32，

∴P（ξ≥115）=（1﹣0.64）=0.18，

∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B．

【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．

二、填空题

13．【答案】 ﹣5 ．

2

【解析】解：求导得：f′（x）=3ax+2bx+c，结合图象可得

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x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0， 故

，解得

故==﹣5

故答案为：﹣5

14．【答案】

【解析】解：∵b=2a， ∴

∴cosB=． 故答案为：．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．【答案】15

5k【解析】由条件知0.9P，所以ePe00kt于是0.729P，∴e0P0ekt5k ．

=2，由正弦定理可得：

，即c=2a．

==．

0.9.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为0.729P0，

0.7290.93e15k，所以t15小时.

16．【答案】 10 cm

则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm， ∴A′B=

=10cm．

故答案为：10．

【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，

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【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．

17．【答案】48 【

解

析

】

18．【答案】

【解析】fx1lnxa，因为fx在0，e上是增函数，即fx0在0，e上恒成立，

5 2

alnx1，则alnx1max，当xe时，a2，

a2a2x,t1,3， 又gxea，令te，则gtta22a2a2（1）当2a3时，gtmaxg1a1，gtminga，

2235则gtmaxgtmina1，则a，

22a2a2（2）当a3时，gtmaxg1a1，gtming3a3，

22则gtmaxgtmin2，舍。

xa5。 2三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数； （2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数． 【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．

20．【答案】

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【解析】

解：（1）因为不等式的解集为

或

所以，

是方程的两个解

所以

，解得

（2）由（1）知原不等式为，即

，

当时，不等式解集为

当时，不等式解集为;

当时，不等式解集为

;

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为0.4， 所以网购金额在2000元以上的人数为1000.4=40 所以30y40，所以y10，……………………1分

x15，……………………2分

所以p0.15,q0.1……………………4分 ⑵由题设列联表如下

网龄3年以上 网龄不足3年 合 计

购物金额在2000元以上 35 5 40 ……………………7分 购物金额在2000元以下 40 20 60 合计 75 25 100 所

K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)100(3520405)2752540605.56…………9分

因为5.565.024……………………10分

所以据此列联表判断，有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．

……………………12分

22．【答案】（1）证明见解析；（2）

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以=

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【解析】

试题解析：（1）证明：取PD中点R，连结MR，RC， ∵MR//AD，NC//AD，MRNC∴MR//NC，MRAC， ∴四边形MNCR为平行四边形，

∴MN//RC，又∵RC平面PCD，MN平面PCD， ∴MN//平面PCD．

（2）由已知条件得ACADCD1，所以SACD所以VAQCDVQACD

1AD， 23， 4111SACDPA． 328

考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式. 23．【答案】

【解析】解：（1）∵a＞0，∴f（﹣x）=f（x），即∴2x（a﹣

+a•2x=）﹣

+

，

+

=

是R上的偶函数． ，

（a﹣）=0，

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x

∴（a﹣）（2+x

）=0，∵2+

＞0，a＞0，

∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去）， ∴a=1；

（2）证明：由（1）可知∴∵x＞0， ∴22x＞1， ∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．

24．【答案】

，

，0）

，设

，

，

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则

，

，0），B（1，0，0），C（0，

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以

=0， 令

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

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平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

，

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

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