2020年中考数学压轴解答题15 新定义与创新型综合探究问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律

专题15 新定义与创新型综合探究问题

【类型综述】

阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路,或介绍一种解题方法,或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料,然后要求大家自主探索,理解其内容、思想方法,把握本质,解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”,其中最关键的是理解材料的作用和用意,一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.

【方法揭秘】

阅读理解问题在中考中的常考点有新定义学习型,新公式应用型,纠错补全型；图表信息问题在中考中的常考点有表格类信息题,函数图象信息题,图形语言信息题,统计图表信息题等。

解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想,类比思想,化归思想；常用的数学方法有分析法,比较法等．

【典例分析】

【例1】在求1+3+32+34+35+36+37+38的值时,张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍,S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①,然后在①式的两边都乘以3,得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39于是她假设：

931②,②﹣①得：3S﹣S=39﹣1,即2S=39﹣1,∴S=．

2请阅读张红发现的规律,并帮张红解决下列问题：

（1）爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1）,应该能用类比的方法求出1+m+m2+m3+m4+…+m2018的值,对该式的值,你的猜想是______（用含m的代数式表示）． （2）证明你的猜想是正确的． 【例2】阅读材料,解答相应的问题：

如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为“智慧数”,否则,称这个正整数为“非慧数”。

例如：213;325;318;437;4212;4115… 因此：3,5,8,……都是“智慧数”；而1,2,4……都是“非智慧数”。 对于“智慧数”,有如下结论：

①设k为正整数（k2）,则k(k1)2k1,∴除1以外,所有的奇数都是“智慧数”；

精品资源·战胜高考

22222222222222压轴解答题·直面高考

22②设k为正整数（k3）,则k(k2)= ,∴

都是“智慧数”； （1）补全材料中空缺的部分；

（2）求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；

【例3】在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）,且x1x2,y1y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”．下图为点P,Q 的“相关矩形”的示意图．

（1）已知点A的坐标为（1,0）．

①若点B的坐标为（3,1）求点A,B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为求m的取值范围．

【例4】我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边,可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．数大于3）例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形．

,点M的坐标为（m,3）．若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,

（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．

①如图1,若ACADBEBDCE,求证：五边形ABCDE是正五边形；

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

②如图2,若ACBECE,请判断五边形ABCDE是不是正五边形,并说明理由： （2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”） 如图3,已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．

①若ACCEEA,则六边形ABCDEF是正六边形；（ ） ②若ADBECF,则六边形ABCDEF是正六边形． （ ） 【例5】有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图1,在半对角四边形(2)如图2,锐角

并延长交

内接于于点

,

作中,,若边

,上存在一点

,求,使得

与,

的度数之和；

的平分线交

于点

,连结

.求证：四边形于点

,交

于点

是半对角四边形； ,当

时,求

与

的面

(3)如图3,在(2)的条件下,过点积之比.

【例6】类比等腰三角形的定义,我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解

如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．

,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB＇方向②如图2,小红画了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°

平移得到△A＇B＇C＇,连结AA＇,BC＇．小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”,应平移多少距离（即线段BB＇的长）？ （3）应用拓展

,AC,BD为对角线,AC=如图3,“等邻边四边形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD==90°BC,CD,BD的数量关系．

AB．试探究

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

【变式训练】

一、单选题

1．我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”,使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i,i4=（i2）2=（﹣1）2=1,从而对于任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ） A．0

B．1

C．﹣1

D．i

（x＞0）

2．张华在一次数学活动中,利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论,推导出“式子

的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x,则另一边长是,矩形的周长是2（

）；当矩形成为正方形时,就有x=（x＞0）,解得x=1,这时矩形的周长2（

（x＞0）的最小值是（ ）

）=4最小,因此

（x

＞0）的最小值是2．模仿张华的推导,你求得式子A．2 B．1 C．6 D．10 3．已知:

表示不超过的最大整数,例:

,令关于的函数 (是正整

数),例：

=1,则下列结论错误的是（ ） ．．

A．C．

B．D．

或1

4．从1,1,2,4四个数中任取两个不同的数（记作ak,bk）构成一个数组MKak,bk（其中k1,2,L,S,且将ak,bk与bk,ak视为同一个数组）,若满足：对于任意的Miai,bi和

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

Mjai,bj(ij,1iS,1jS)都有aibiajbj,则S的最大值（ ）

A．10

B．6

C．5

D．4

5．定义：形如abi的数称为复数（其中a和b为实数,i为虚数单位,规定i21）,a称为复数的实部,b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算,运算的结果还是一个复数．例如

(13i)212213i(3i)216i9i216i986i,因此,(13i)2的实部是﹣8,虚部是6．已

2知复数(3mi)的虚部是12,则实部是（ ）

A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5

6．规定：在平面直角坐标系中,如果点P的坐标为(m,n),向量OP可以用点P的坐标表示为：OP(m,n).

uuuruuuvuuuruuuruuuruuur已知：OA(x1,y1),OB(x2,y2),如果x1x2y1y20,那么OA与OB互相垂直.

下列四组向量,互相垂直的是（ ）

uuuruuurA．OC(3,2),OD(2,3) uuuruuurB．OE(21,1),OF(21,1)

uuuruuur10C．OG(3,2018),OH(,1)

3uuuurr1uuu3D．OM(8,),ON((2)2,4)

27． 定义运算：a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①2⊗（﹣2）=6, ②a⊗b=b⊗a,

③若a+b=0,则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab, ④若a⊗b=0,则a=0或b=1, 其中结论正确的序号是（ ） A．①④

B．①③

C．②③④

D．①②④

8．已知有理数a1,我们把

1111=．2的差倒数是=-1,-1的差倒数是称为a的差倒数,如：如

1(1)2121a果a12,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1a2La100的值是（ ） A．-7.5 二、填空题

9．高斯函数x,也称为取整函数,即x表示不超过x的最大整数.

B．7.5

C．5.5

D．-5.5

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

例如：2.32,1.52. 则下列结论： ①2.112； ②xx0；

③若x13,则x的取值范围是2x3； ④当1x1时,x1x1的值为0、1、2.

其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.

10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x,即当n为非负整数时,若n0.5xn0.5,则

xn．如1.341,4.865．若0.5x16,则实数x的取值范围是__________．

11．阅读材料：设a＝（x1,y1）,b＝（x2,y2）,如果a∥b,则x1•y2＝x2•y1,根据该材料填空,已知a＝（4,3）,brrrrrrrr＝（8,m）,且a∥b,则m＝_____.

12．对于任意大于0的实数x、y,满足：log2（x•y）＝log2x+log2y,若log22＝1,则log216＝_____． 13．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为,即当n为非负整数时,若<0.46>=0,<3.67>=4。给出下列关于的结论： ①<1.493>=1； ②<2x>=2； ③若

,则实数x的取值范围是

；

；

,则＝n,如

④当x≥0,m为非负整数时,有⑤

。

其中,正确的结论有 （填写所有正确的序号）。 14．任何实数a,可用a表示不超过a的最大整数,如

第1次第2次第3次,现对72进行如下操作：

,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地,①对81只需进727288221行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是 . 三、解答题

15．如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边,向外作正方形ABEF和正方形AGHC像这样的两个正方形称

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

为△ABC的“依伴正方形”

（1）如图1,连接BG,CF相交于点P,求证：BG＝CF且BG⊥CF；

（2）如图2,点D是BC的中点,两个依伴正方形的中心分别为O1,O2连结O1D,O2D,O1O2：,判断△DO1O2的形状并说明由；

,求O1O2的长． （3）如图2,若AB＝6,AC＝3,∠BAC＝60°16．阅读下面的情景对话,然后解答问题：

老师：我们定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形. 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？

问题（1）：根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？___________填“是”或“否”）

问题（2）：已知RtVABC中,两边长分别是5,52,若这个三角形是奇异三角形,则第三边长是_____________；问题（3）：如图,以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形,且ADBD,若四边形ADBC内存在点E,使得AEAD,CBCE.试说明：△ACE是奇异三角形.

17．如图①,平面内的两条直线l1,l2点A,B在直线l1上,点C、D在直线l2上,过A、B两点分别作l2的垂线,垂足分别为A1、B1,我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影,其长度可记为TAB1CD或TAB1l2特别地,线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．请依据上述定义解决如下问题：

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

（1）如图①,若A1B15,则TAB1CD ．

（2）如图②,在矩形ABCD中,TAC1CD12,TAC1AD5,则TBC1AC ．

（3）如图③,在矩形ABCD中,点E在CD边上（DECE）,连接AE、BE,∠AEB90 ①若TAE1AB8,TBE1AB3,求矩形ABCD的面积．

②如图④,点F在BA延长线上,连按EF,若AB8,TBE1BC23,TEF1AB10,求TEF1EA．

18．定义：角的内部一点到角两边的距离比为1：2,这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图1,点P为∠AOB内一点,PA⊥OA于点A,PB⊥OB于点B,且PB＝2PA,则线段OP是∠AOB的二分线．

（1）图1中,OP为∠AOB的二分线,PB＝4,PA＝2,且OA+OB＝8,求OP的长； （2）如图2,正方形ABCD中,AB＝2,点E是BC中点,证明：DE是∠ADC的二分线；

,且∠CAB＜∠CAD,∠BDC＜∠BDA,若AC,BD分别是∠（3）如图3,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC＝90°DAB,∠ADC的二分线,证明：四边形ABCD是矩形． 19．（新知学习）

如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

（简单运用）

（1）下列三个三角形,是智慧三角形的是______（填序号）；

（2）如图,已知等边三角形ABC,请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D,使△ABD为“智慧三角形”,并写出作法；

（深入探究）

（3）如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,F是CD上一点,且CF慧三角形”,并说明理由；

1CD,试判断VAEF是否为“智4

（灵活应用）

（4）如图,等边三角形ABC边长5cm．若动点P以1cms的速度从点A出发,沿△ABC的边

ABBCCA运动．若另一动点Q以2cms的速度从点B出发,沿边BCCAAB运动,两点同时出发,

当点Q首次回到点B时,两点同时停止运动．设运动时间为ts,那么t为______s时,△PBQ为“智慧三角形”．

精品资源·战胜高考

压轴解答题·直面高考

20．如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．

将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB',FD′相交于点O．

简单应用：

(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是__________________． (2)请你结合图1写出一条完美筝形的性质_______________． (3)当图3中的∠BCD=120°时,∠AEB′=_________________．

(4)当图2中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有__________________________(写出筝形的名称：例 筝形ABCD)．

21．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义：若⊙C上存在一个点M,使得PM = MC,则称

23,F2，0． 点P为⊙C的“等径点”．已知点D，,E0，（1）当⊙O的半径为1时,

①在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是 ；

②作直线EF,若直线EF上的点T（m,n）是⊙O的“等径点”,求m的取值范围．

（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G,若△EFG上的所有点都是某个圆的“等径点”,求这个圆的半径r的取值范围．

精品资源·战胜高考

1123压轴解答题·直面高考

22．阅读理解：如图1,在正多边形A1A2A3…An的边A2A3上任取一不与点A2重合的点B2,并以线段A1B2为边在线段A1A2的上方作以正多边形A1B2B3…Bn,把正多边形A1B2B3…Bn叫正多边形A1A2…An的准位似图形,点A3称为准位似中心．

特例论证：（1）如图2已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3,试证明：随着点B2的运动,∠B3A3A1的大小始终不变．

数学思考：（2）如图3已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4,随着点B2的运动,∠B3A3A4的大小始终不变？若不变,请求出∠B3A3A4的大小；若改变,请说明理由．

归纳猜想：（3）在图（1）的情况下：①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变？若不改变,请用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小（直接写出结果）；若改变,请说明理由．②∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1= （用含n的代数式表示）

精品资源·战胜高考