高一数学基本不等式的应用及不等式证明1(教师版)

学科教师辅导讲义

年 级： 辅导科目： 数学 课时数： 课 题 不等式的证明 1、会用基本不等式解决简单的应用问题； 教学目的 2、 掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路，并会用这些方法证明简单的不等式 教学内容 【知识梳理】 一、基本不等式的应用 基本不等式a0,b0,ab2ab是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。 （一）直接应用基本不等式 直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。 a2b2a1b11bR2 例1. 已知a，，求证：。 22a21b21a2b222a1b1122 证明：由基本不等式得 （二）间接应用基本不等式 间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。 23x2x12。 例2. 设x>0，求证： 分析：由题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。 22x 证明：2x2x11x1212 1x1211112x1222x2 x32 x 等号成立时121x12

即（三）两次应用基本不等式 连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。 x12 12bRab的最小值。 例3. 已知a，，且a+b=1，求11ab,44ab 错解：因为ab1，所以 122242abab 因此 剖析：出错在于两次等号不能同时取到。 12ab2a2bb2a2ba332322abababab 正解： b2ab时 当a 即b2a,a21,b22，取得最小值。 16a2b(ab)的最小值。 例4. 设a>b>0，求161664b(ab)bab2a22 解：由 此时等号成立条件是bab即a=2b 16a26426416b(ab)a2 所以 64a22a 等号成立条件是a2即a=4，此时b=2 变式题1：若x> -1则x取什么值时x+1的值最小？最小值是多少？ x111= x+1+-1 （*） x1x1 x>-1  x+1>0 解：由x+（*）式2(x1) x=0时x+1 -1=1 当且仅当x+1=1即x=0时取最小值。 x11取最小值为1。 x1x21x2x111仔细推敲上两题可发现，x+ =，x+=那么若碰到 xx1x1x

x21变式题2：x>0时的最小值为多少？何时取到？ xx211只需将变回到x+便迎刃而解。 xxbx2c甚至可归结出如下一类问题：x取何正值时，（a,b,c>0）的值最小？最小值是多少？ axbx2cbxc解：=+ (**) axaax a,b,c,x>0  (**)式2bxc2bccbxc=,当且仅当=即x=时取最小值。 aaxbaaax变式题3：x>0，当x为何值时，yx取到最大值？最大值是多少？ x22x=x22解：由上题得启示  x>0，y1x2x122=2， 4当且仅当x22即x=2时取最大值。 4xx2x1变式题4：x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ x1x2x1(x1)2(x1)11解： x>-1 ==x11211 x1x1x1当且仅当x=0时取最小值1。 同理大家可自己归纳类似变式题2的统一结论（结论略）。大家不妨练习： x2x1当x>-2时y的值域。（答案：y[255,)） x2 二、不等式的证明 1.证明不等式的基本依据： （1）实数大小的比较原则； （2）不等式的性质； （3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式

（4）已知函数的增减性； （5）实系数一元二次方程的根的判别式. 2.证明不等式的常用的方法: ⑴比较法： ①作差比较，要点是：作差——变形——判断。 这种比较法是普遍适用的，是无条件的。 根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0； ②作商比较，要点是：作商——变形——判断。 这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。 当b>0时，a>ba>1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问b题的比较（如幂、方根等）。 ⑵分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。 这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：BB1B2BnA.分析法的思维特点是：执果索因 ⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。 用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是基本不等式找思路。 用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2例5、设a,bR,求证：abab1ab 证明：略（用做差法比较） 变式练习： 三、不等式的应用题 22BnB.综合法的思维特点是：由因导果 例6、某村计划建造一个室内面积为800m的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？ 2【答案】温室左侧变长a40m,b20m,Smax648m 2变式吝惜某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则有 （ ） （A）abababab （B）x （C）x （D）x 22222【答案】B 例7、建造一个容积为8m，深为2m的长方形无盖水池，如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求

水池的最低造价。 【答案】1760元 例8、已知直角三角形的斜边为定值c，求：（1）这个直角三角形面积的最大值；（2）这个直角三角形周长的最大值。 c2【答案】（1） （2）421c 【例21】已知直角三角形周长为l（定值），问直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大？ 【答案】等腰直角三角形 例9、现要建造一个面积为40平方米的矩形房子，已知围墙每米的造价500元，如何建造，才能使围墙的造价最低，最低造价是多少元？（精确到0.1） 解析：矩形的一条变长为6.3米时，造价最低为12649.1元 例10、某造纸长拟建一座占地面积为200平方米的矩形二级污水处理池（如图），池的深度一定，池的外围周壁造价单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚度忽略不计），污水处理池的长为多少米时，可使总造价最低？ 解析：当污水处理池的长为15米时，总造价最低。 【课堂总结】 1、 不等式的证明有哪些方法？都相应的要注意什么问题？ 2、 基本不等式都有什么用图？ 【课后练习】 1、均值不等式链 aba2b2ab设a、bR，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅1122ab2当ab时等号成立. 111112证明：（1）由a、bR，得abab，当且仅当ab时等号成立. 112ababab

（2）abab，当且仅当ab时等号成立，已证. 222a2b2ab2222（3）由ab2ab2abab 24a2b22ab42abab. 22aba2b2 所以，当a、bR时，有，当且仅当ab时等号成立. 22aba2b2ab 综合（1）、（2）、（3）得，当a、bR时，有，当且仅当ab时等号1122ab2成立. [说明] 事实上当a、bR时，有： ab① ab，当且仅当ab时等号成立. 22a2b2abab② . 222ab22证明：① 由ab2abab4abab，当且仅当ab 时等号成立. 222a2b2ab2222 ② 由ab2ab2abab 2422a2b22ab42abab. 22a2b2abab 即，. 222a2b2ab 不等式等号成立当且仅当ab. 22 不等式abab等号成立当且仅当ab0. 22

a2b2ab 不等式等号成立当且仅当ab0. 22 2、甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为a，后一半时间的行走速度为b；乙用速度a走完前半段路程，用速度b走完后半段路程；问：谁先到达B地？ 解：设A、B两地的距离为S，甲、乙两人用时分别为t1、t2，则Sat1t1b1t1ab。 222SS1ab111 因此t222t1abt12t1。 ab4baab4所以，当ab时，t2t1，甲、乙两人同时到达B地；当ab时，t2t1，甲先到B地。 另解：设A、B两地的距离为S，甲、乙两人用时分别为t1、t2，平均速度分别为v1、v2，则 Sabt1t1vSab1t2122S12v1v2。 SSv2t11111222t1abab2ab因而，当ab时，v1v2，甲、乙两人同时到达B地；当ab时，v1v2，甲先到B地。 3、某村计划建造一个室内面积为800m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少 解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b). 2 所以 S80842ab648(m). 2当a2b,即a40(m),b20(m)时,S最大值648(m). 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2. 4、已知x0，则23x24的最大值是__243_______. x5、已知x0,y0，且2x8yxy0， 求（1）xy的最小值；（2）xy的最小值。

解：（1）由x8yxy0，得821， xy 又x0,y0，则182828，得xy64， 2xyxyxy当且仅当xy时，等号成立。 （2）法1：由x8yxy0，得x8y，x0y2 y2 则xyy8y161018， (y2)y2y216，即y6,x12时，等号成立。 y2821， xy当且仅当(y2)法2：由x8yxy0，得则xy=(8x22x8y2x8y)(xy)1010218。 yyxyx6、求下列函数的最小值 x27x10(x1) （1）yx1（2）已知x0,y0，且3x4y12,求lgxlgy的最大值及相应的x，y的值。 解：（1）换元法，设tx1，x1，则t0，xt1 (t1)27(t1)10t25t44t5459 且yttt4，t2即x1时，等号成立。则函数的最小值是9。 t113x4y2(3x)(4y)()3 （2）由x0,y0，且3x4y12,得xy121223 lgxlgylgxylg3，当且仅当3x4y6，即x2，y时， 23等号成立。故当x2，y时，lgxlgy的最大值是lg3 2 当且仅当t