2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十三)(浙江省专用)

[第23讲 不等式选讲]

(时间：30分钟)

1．设f(x)＝x2＋m2，m>0为常数． (1)求证：|f(a)－f(b)|≤|a－b|；

(2)设a2＋2b2＋2c2＝4m2，求f(a)＋f(b)＋f(c)的最大值．

2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．

3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)解不等式|x－8|－|x－4|>2.

4．已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2＋b2＋c2＝n2＋p2＋q2＝m. (1)求m的值；

n4p4q4

(2)求证：a2＋b2＋c2≥2.

专题限时集训(二十三) 1．解：(1)方法一：

|f(a)－f(b)|＝|a2＋m2－b2＋m2|＝＝

|a－b|

a2＋m2＋b2＋m2

|a|＋|b|

≤|a－b|≤|a－b|. a2＋m2＋b2＋m2方法二：

|f(a)－f(b)|≤|a－b|⇔|a2＋m2－b2＋m2|≤|a－b|

⇔a2＋m2＋b2＋m2－2a2＋m2b2＋m2≤a2＋b2－2ab ⇔m2＋ab≤a2＋m2b2＋m2，

由柯西不等式得：a2＋m2b2＋m2≥ab＋m22＝|ab＋m2|≥ab＋m2， 所以|f(a)－f(b)|≤|a－b|.

方法三：设M(0，m)，A(a,0)，B(b,0)则由||MA|－|MB||≤|AB|得|f(a)－f(b)|≤|a－b|. (2)f(a)＋f(b)＋f(c)＝a2＋m2＋b2＋m2＋c2＋m2 ≤

11

1＋2＋2[a2＋m2＋2b2＋m2＋2c2＋m2]＝32m，

|a＋b|

|a2－b2|a2＋m2＋b2＋m2

当且仅当a2＋m2＝4(b2＋m2)＝4(c2＋m2)且a2＋2b2＋2c2＝4m2. 1422

即a＝±2m，b＝±4m，c＝±4m时取等号．

所以f(a)＋f(b)＋f(c)最大值为32m.

2．解：(1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a,6－a<0时无解， ∴6－a≥0，∴a－6≤2x－a≤6－a， 即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，

11

则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝4，－2，2

4，x≤4，

3．解：(1)f(x)＝－2x＋12，4－4，x>8.图象如下：

1

2－4n，n≤－2，

φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．

(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2， 由－2x＋12＝2得x＝5.

由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)． 2x－6x≥4，

4．解：(1)方法1：f(x)＝|x－2|＋|x－4|＝22－2x＋6x≤2，

可得函数的最小值为2.故m＝2.

方法2：f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2，当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m＝2. (2)证明：

n2p2q2n2p2q2n4p4q4

2＋2＋2·(a2＋b2＋c2)≥·a＋·b＋·c2，即＋＋×2≥(n2＋p2＋abcabca2b2c2

n4p4q4

q2)2＝4，故a2＋b2＋c2≥2.