电网络的拓扑分析

随着科学技术的迅速发展，人们理性化思考问题的深入，电网络的分析和研究已引起广大科技工作者的广泛关注，经过对电网络不断深入的研究加之方法不断的更新，使人们对电网络的分析日臻成熟和完善，特别是随着计算机技术的发展和新技术的不断采用，使之进入了一个更崭新的时期。本文对电网络的拓扑分析方法进行了较充分的分析和研究，并从理论推广应用到具体的实践中。

我们知道电网络系统是指用基尔霍夫电流和电压定律所刻划的系统，这两个定律只与网络的拓扑结构有关，而与支路的内容无关。因此任一电网络可用一相应的线图来表示，对图的分析和研究，完全就可以推广到对电网络的分析和研究，因此采用图论与拓扑分析的方法对对电网络的研究就具有深远的理论和实践意义，随着科技的发展，电网络的拓扑分析方法就形成为近代网络理论的一个重要组成部分。

本文针对线性无源电网络和线性有源网络进行了较详细的分析，从理论的建立，同时又把分析线性电路的拓朴分析方法推广到非线性电阻电路。本文还详细描述了拓扑分析的基础概念：树及树的生成这一关键问题，同时还简要介绍了一种分析电网络的一种方法一双树法。

本文同时对电网络的几种拓朴分析方法的优缺点进行了简单的评述，并对电网络的拓扑分析进行了展望。

关键词：电网络、图、树、树的生成，拓朴结构、拓朴分析、拓扑公式

I

Abstract

With the fact that the science and technology promptness develops, people reason-rization thinking problem going deep into, and the electric network analysis studying broad already arousing extensive scientific and technical worker pays close attention to, ceaseless renews process method of adding to unceasingly thorough research of electric network, making people become mature and perfect day by day to the electric network analysis , adopting especially with development of computer art and the new technique ceaselessness, has made that enter a more brand-new period. The more sufficient analysis the main body of a book has been carried out on the electric network topology analysis method and the middle studying, and arriving at from theory application and dissemination concrete practice.

We know electric network system is to refer to the system using what Jierhuofu electric current and voltage law delineate , only, this two laws are connected with network topology structure, but have nothing to do with the branch content. Therefore any electric network available one corresponding gleam picture come expression, face to face picture analysis and study, complete right away not bad be extended arrive at face to face electric network analysis and study, therefore adopt picture theory and topology analytical method face to face electric network research right away have far-reaching theory and practice significance, with the development of science and technology, electric network topology analytical method right away take form be modern times electrical network theory one important component.

The main body of a book has carried out more detailed analysis , the building-up from theory specifically for passive electric network of linearity sum linearity active network , final deduction has put up one package topology analysing formula , analysis method has spread to analysing circuital Tuo of linearity Piao at the same time to nonlinearity electric resistance circuit . Analytical basis of topology concept the main body of a book has been described fairly detailedly: Tree and tree's coming into being this one questions , at the same time fairly brief one kind of method new and original pair of tree of the network having introduced that one kind analyses an electricity follow .

The analysis having carried out simple commentary, and the topology to the electric

II

network on several the excellent shortcoming making rubbings from Piao analysis method kind of electric network at the same time has carried out the main body of a book looking into the distance.

Keywords: The electric network, picture, tree, tree's formation, Piao structure ,

Piao analysis, topology formula.

III

独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名：

日期： 年 月 日

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本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。

本论文属于

保 密□ ，在_____年解密后适用本授权书。 不保密□。

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学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日

1 绪 论

1.1 课题背景

自然界和人类社会中的大量事物以及事物与事物之间的关系常可用图形来描述，可以用点和线连接起来的图来模拟，研究图的基本概念和性质，具有重要的理论和实际意义。

图论是应用比较活跃的数学分支之一，它是古老而饶有兴趣且应用极为广泛的一门学科。图论起源于求解奇尼斯堡七桥难题，随后又出现环球旅行游戏，在自然科学、社会科学以及工程技术领域中的问题，凡是含有二元关系的，通过绘制网络模型，设计有效算法，使问题变得形象直观，便于求解。

有不少物理系统其性能不仅与元件的特性有关，而且也与元件的相互位置有关，电网络就是一个明显的例子。图论可以通过由点和线组成的图形，构成模拟物理系统的数学模型或抽象模型，这里不指其物理结构。通过对图的性质来进行分析，提供了研究物理系统的巧妙方法，并且通过图论作为数学工具来求解电网络领域的一些实际问题。特别是随着计算机技术的发展，为图论在电子领域的发展提供了广阔的前景。随这科技的发展，这更进一步推动了图论在集成电路领域和复杂系统的实现和发展。 网络和对应线图之间的相互关系的种类可能是各种各样的，但线图就是一种简化、抽象的网络图形，它提供了网络几何结构的全部信息，即全部网络元件之间的连接关系。网络的拓扑分析就是根据网络的拓扑性质，来求解电网络方程的理论，它经过研究电网络的拓扑结构及变化，可以得到电网络的网络函数的表达式，它建立了基于结点方程和基于回路方程的一整套拓扑公式。这些拓扑公式很直观，并减少了分析电路时解复杂方程的问题。它具有：没有因相减而对消的项，这样提高了计算精度；同时这种方法将电网络图与求得的网络传递函数的表达式直接联系起来，从而使人们对问题的理解更透彻。拓扑公式是不用实际展开各种行列式和余因式，仅由观察网络图而写下网络函数所用的公式。因此，它在网络分析中得到广泛应用。并且，对于大的网络，它们也提供计算网络函数的一个有效而简捷的方法，因为，我们知道在频域分析中，通常需要计算符号网络函数，它不是数字形式的而是文字形式的函数。随着

1

计算机技术发展和新的硬件和软件开发，为之提供了用计算机列写公式和求解的方法。科技的发展和进步，使图论为分析电网络创造了一个平台，并成为网络理论研究的一个不可缺少的数学工具，图论在电网络中应用的研究在不断深入，随着时代的飞速发展，电网络的拓扑分析方法必将取得愈来愈多的丰硕成果。

1.2 国内外研究的发展过程和展望

电网络的拓扑分析是近代网络理论的一个重要组成部分，它的历史可以追溯到一百多年前。1847年克希霍夫用余树阻抗乘积表达回路电流方程行列式的值，给出了求解电路的一个拓扑公式[1]。1892年麦克斯韦用树支导纳乘积表示节点电压方程行列式的值，给出了求解电路的另一套拓扑公式[2]，二者具有对偶的形式，二十世纪五十年代末和六十年代初期，电网络的拓扑分析法有了较大的发展，开始了一个用拓扑分析方法分析一般网络和网络综合应用的发展时期。在这一时期，许多学者经过不懈的努力，对这一领域的研究和发展做出了杰出的贡献，最具代表性的例如：前边渡教授提出的有源电路的“双图法”[34]，开关网络的拓扑分析及综合；陈惠开教授引用了有向图及K—树的概念[2]，提出并得到了能用于一般有源网络的通用的拓扑公式。在陈惠开教授和前边渡教授等人的有创见性方法的基础上，陈树柏教授等人作了有意义的改进，使对电网络的拓扑分析方法从无源网络研究推广深入到对有源网络的研究。 拓扑分析方法除了对网络分析之外，还用于网络的综合运用，图论的研究随着时间的推移，更注重了实效性，它还能广泛应用和分析电力系统中遇到的实际问题，同时电网络的拓扑分析方法又从分析线性网络发展到分析非线性电阻网络中。虽然在分析非线性网络中还受到很多局限，但必然是一种进步和飞跃。近年来，寻求处理更大网络的拓扑分析方法仍然是众多科技工作者进行研究的重要课题。

1.3 课题研究的主要内容

采用拓扑分析的方法分析电网络，经过多年的研究和发展，已经进入到了一个比较成熟的时期，方法很多且各有所长，通过对国内外研究现状的了解，通过查阅大量的相关资料，我就确定本论文只研究拓扑分析方法在电网络中的应用一个部分，即：采用拓扑公式的法则直接从带权线图研究所述系统的特性，这一方法是根据一个给定

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的线性集中参数的电网络所对应的带权线图，然后找出所有具有某些特性的子图，从而得到电网络的函数。同时，也简单的涉及到了非线性电阻电路的拓扑分析问题，我们根据实际就确定了课题研究的主要内容。

（1）树，有向树，树的生成，树的算法，电流图和电压图 （2）无源网络的拓扑分析 （3）有源网络的拓扑分析 （4）非线性电阻网络的拓扑分析 (5)一种新颖的拓扑分析法-双树法（6）含变压器网络的拓扑分析 （7）电网络拓扑分析的思考

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2 电网络拓扑分析的相关理论

2.1 图的基本基本概念

2.1.1 图的定义

是由顶点与边组成的，用边来反映顶点间的某种联系，是顶点和边的集合。 2.1.2 子图、引真图和子图的补图

若图Gi的边集和顶点集各G的边集和顶点集的子集分，它就是G的一个子图。如果Gi包含了G的所有顶点，则这个子图，叫做生成子图。如果图Gi是包含所有在G中而不在Gi中边的集合。 2.1.3 顶占的度

图的某顶点的度，是该顶点所关联边的数目，度数为0的顶点称为孤立顶点。 由图中顶点的度，可以看到有两种特殊的图：完备图和m阶全图，守备图是图中任一对相异顶点之间均有一边相连的图，m阶全图，是图中任一对相异于顶点之间均有m条边相连，它的每个项点的度是m(V—1) 2.1.4 边序列、边列和路径

若G中k条边依次排列为：e1(v1,v2)，e2(v2,v3)……ex(vk,vk+1)，形成一串边的有限序列，叫做边序列。

没有重复边（即边只出现一次）的边序列，叫做边列，起点和终点重合的边列叫做闭边列；否则，叫做开边列。

一个开边列，若其中顶点也不重复（即每个顶点上只出现一次），叫做路径。 2.1.5 回路

闭合的路径，叫做回路，即路径的两个端点重合，回路中每个顶点的度都是2，也可以称它是一个圈。

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2.1.6 连通图和非连通图

若在图G的顶点中，每一对顶点之间至少有一条路径，则称图G为连通图，反之，就是非连通图。 2.1.7 可分图和不可分图

若连通图G存在这样一个顶点，当将它移去以后，剩下来的图成为不连通，这样的顶点，叫做割点，又叫分离点，含有割点的连通图叫可分图。 2.1.8 无向图和有向图

赋予边方向的图称为有向图；未赋予边方向的图自然为“无向图”。 2.1.9 割集和顶点割集

连通图的一个割集，是它的边的最小集合，移去它，将使图分离为两个不相连的子图，其一部分可以是一孤立顶点，如果移去它，出现了孤立顶点，则叫做顶点割集。

2.2 树

树，在拓扑学和电路教材中经常遇到这个概念，究竟什么是树，从狭义的角度来讲 ，树是连通图的一个连通子图，它连接图的所有节点，但不含回路，当一个连通图的树选定后，构成树的那些支路称为树支，不在树上的那些支路称为连支。一个连通图可选取多个不同的树，但任何一个树的树支数目bt都一样。bt=n-1，连支数均为bl=b-n+1。

我们为了分析更深入的研究电路问题，也为了使拓扑学在分析电路中得到更好的应用，在这里有必要对树这一概念做更深入层次的定义： 2.2.1

树的基本概念

有一种称为“树”的子图，它不仅在理论上，而且在线图的各种应用，例如电网络的分析中，都具有非常重要的作用。这里要介绍树的概念，研究关联矩阵和树的关系。首先我们定义一个矩阵的大子阵如下。

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定义2.2.1.1 对于一个p×q阶矩阵，如果一个方子阵的阶等于p和q的最小值，则称此子阵为大子阵。大子阵的行列式称为大子式。

为了说明树与关联矩阵的大子阵之间的关系，我们考虑一个具有nv个顶点的连通线图G。设A是G的一个关联矩阵，A的秩等于它的行数，故A至少有一个行列式不为零的大子阵。考虑G的一个子图gm，它的边对应于非奇异大子阵Am的列。因为Am是非奇异的，Am一定是gm的一个关联矩阵。因为Am的行数是nv-1，且每一行对应除参考点外的一个顶点，故gm有nv个顶点。因为Am是一个方阵，其每一列对应一条边，故gm共有nv-1

条边。并且gm的秩是nv-1。因为gm必为连通的。这样的一个子图就称为树。

定义2.2.1.2 在一个有nv个顶点的连通线图中，有nv个顶点和nv-1条边的连通子图称为树。

现在很明显，如果一个线图G的子图gm是树，而子阵的Am的列对应gm的边，则Am是非奇异的。另一方面，如果一个包含nv个顶点和nv-1条边的子图gm是分离的，则gm的秩是nv-ρ(这里ρ＞1 )，而由于每一个大子阵包含nv-1行，若大子阵Am的列与gm的全部边对应，则Am的秩小于它的行数。因此Am是奇异的*。

定理2-2-1 设Am是一个连通图的关联矩阵的一个大子阵，则Am是非奇异的，当且仅当由所有与Am的列对应的边组成的子图是树。

1 a 0 bbe2d3 图2-1 线图

例2-2-1 在图2-1所示的线图中，以0为参考点，关联矩阵A是

abcd

e

1⎡11000⎤

⎥ A=2⎢01110⎢⎥

3⎢⎣00011⎥⎦

A的非奇异子阵和相应的子图(它们都是树)见表2-2-1。例如方子阵

6

abc

110011 000是奇异的，因为与此子阵对应的图由边a，b，c和顶点0,1，2,3组成，它是分离的。

根据树的定义，显然在一个分离图中没有树。但是，对应于分离图关联矩阵的每一个非奇异大子阵，存在着一个子图，这样的子图称为林。

表2-1 非奇异子阵和树

非奇异子阵

树

非奇异子阵

e

树

abd ad

1⎡110⎤1⎡100⎤b ⎥ t2⎢010⎥ t12⎢0115⎢⎢⎥⎥a d3⎢3⎢⎣001⎥⎣011⎥⎦⎦abe bcd

aed1⎡110⎤1⎡100⎤

b⎥ t2⎢111⎥t22⎢0106

⎢⎢⎥⎥

ae3⎢3⎢⎣001⎥⎣001⎥⎦⎦acd bce

bcd1⎡110⎤1⎡110⎤b⎢⎥ c ⎥t32⎢ t01172011 ⎢⎥⎥aed⎢a 3⎢3⎢⎣001⎥⎣001⎥⎦⎦ace bd

e

bda e 1⎡100⎤1⎡100⎤e⎢⎥ c ⎥t42⎢ t01082110 ⎢⎢⎥⎥

3⎢⎣001⎥⎦

3⎢⎣011⎥⎦

定义2.2.1.4 设分离图G由ρ个最大连通图G1，G2，…，Gρ组成，若对所有i=1,2,…,

ρ,τi是Gi的树，则由ρ个最大连通子图τ1,τ2，…，τρ组成的子图ρ称为林。

例如，考虑图2-2所示的线图G，它由三个最大连通子图G1，G2和G3组成。图2-2所示的子图包含三个最大连通子图τ1，τ2和τ3，因为G1的树，τ2是G2的树，τ3

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是G3的树，所以该子图是一个林。

G1a2bc1a2c3d34e54G2g6fh7G3 k

8g6

7k 85f图2-2 分离线图G

虽然我们在这里只讨论树的性质，但从定义2-2-1-3可看出，这些性质也是林的每一个最大连通子图的性质，因此我们也能很容易地想象出林的性质。

树的一个重要性质由以下定理给出。 定理2-2-2. 一个连通图的树不包含回路。

证明： 假定一个树包含回路，则删除回路的一边，所得的图仍是连通的。但是，边数将减少1。于是将得到一个具有nv顶点的连通图。用逐次短路边的办法，我们将得到一个至少有两个顶点而没有边的连通图，这是不可能的，因此树中不可能有回路。 (证毕)

根据定义2.3.1.1和2.3.1.2，树具有以下四个性质; 1、它是连通

2、它包含nυ个顶点。 3、它不包含回路。 4、它包含nυ－1条边。

我们可以很容易地说明，其中任意三个性质蕴涵了第四个性质。并且，这些性质中每两个就足以定义一个树，如以下定理。

定理2-2-3 对于nv个顶点的连通线图来说，一个nv－1条边且不含回路的子图是树。

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以下定理给出了树的一些简单性质。

定理2-2-4 当且仅当一个线图的任两个顶点间恰有一条路径时，这个线图是一个树。

证明：因为在线图G的任两个顶点间恰有一条路径，所以它是连通的，并且显然没有回路。因此，由树的定义，线图G是一个树，反过来也易证。 (证毕)

定理2-2-5 在一个连通线图中至少存在一个树。

证明：因为一个关联矩阵的非奇异大子阵是存在的，故据定理2-3-1，树的存在是显然的。 (证毕)

定理2-2-6 在一个树中，至少存在两个度为1的顶点。

证明：，我们在拓扑学中已经知到，一个线图G中所有顶点的度数d(υ)的和等于边数ne的两倍，即

∑d(υ)=2n

v∈G

e

(2.1)

我们这里考虑的图G是树，据定义2.2.1.2，其边数为nv－1，其中nv是G的顶点数。因此

d(v)=2(n∑υ∈G

v

−1) (2.2)

假定G的每一顶点度都等于或大于2，则

d(v)≥2n∑υ∈G

v

(2.3)

但(2.2)表明，∑d(v)不能大于2nυ－2。因此必定有些顶点度小于2。假定只有

υ∈G

一个顶点度为1(而其它所有顶点度至少是2)，则

d(v)≥2(nυ−1)+1 ∑υ∈G

仍大于2nυ－2。 (证毕) 2.2.2

树支

具有v个顶点，l条边的连通图G的一个连通子图，若具有下面特性中任意两个： (a)包含图G的所有顶点 (b)具有V-1条边 (c)不含回路

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这就是G的一个树，用T表示，树中所含有的边，叫做树支。 2.2.3 连支和补树及K-树：

若Ti是图G的一个树，它也是图G的一个子图，则它的补子图Ti′叫做补树，Ti′中包含的边，就叫做连支。

K-树：在连通图G中，由K片组成的无回路生成子图称为生成K-树。

2.3 图的矩阵表示

2.3.1 关联矩阵A

说明一个图的独立节点与支路的关联情况，其行对应于（n-1）个节点，列对应于支路。

2.3.2 回路矩阵B与网孔矩阵M

说明一个图的独立回路与支路的关联情况，其行对应于一组独立回路列对应于支路。

对于基本回路，若编写回路矩阵时，列的排列顺序按先连支后树支；基本回路对应的行与决定该基本回络的连支对应的列在排列顺序上保持一致；基本回路的参考方向与决定该基本回路的连支的参考方向一致，基本回路矩阵常用Bf表示。 2.3.3 割集矩阵Q

说明一个图的独立割集与支络的关联情况，其行对应于一组独立割集，列对应于支路。

·对于基本割集，若编写割集矩阵时遵循好如下规则：列的排列顺序按先连支后树支；基本割集对应的行与决定该基本割集的树支对应的列在排列顺序上保持一致；基本割集的参考方向的选取，与决定该基本割集的树支参考方向一致，则割集矩阵用Qf表示。

2.4 树的生成

电网络的拓扑分析，基本上可以归结为求一个网络的全部树及一些K-树，因此，

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求网络中全部树的问题，引起了许多图论学者的关注，已发表的算法很多，下面介绍几种常用的树的生成方法。 2.4.1 子图多项式算法

定理：设PS1、PS2……PSn-1是连通图G的基本割集多项式。 则：

n−1i=1

∏P=∑p式中，Pti，为树ti的子图多项式

si

tii=1

τ τ为图G中树的数目

上述算法的缺点是判断消去项比较困难。 2.4.2 Minty算法

按图G的任边e，G的树成分两类，一类含边e，另一类不含边e，图G中不含边e的树正是G中去掉边e的子图（记为G-e）中的树而G中含边e的树正是G中收缩边e的子图（记为G一○e）中的树再加上边e。若用T（G）表示G中树的集合，则有：

T（G）=T（G-e）∪[T（G一○e）+(e)]

对于不可分图G可直接用该算法计算G中的全部树，对于可分图则可将图沿割点分离，分别计算各片的树，然后再结合成可分图中的树。

2.4.3 Mayeda-Seahu算法（用基本树变换产生树）:这种方法是一种大家比较常用的方法，下面做一重点介绍。 2.4.3.1 生成树的必要性

考虑矩阵

⎡m11m12󰀢m1n⎤

⎢m⎥m󰀢m21222n⎥ (2.4) M=⎢⎢⎥󰀢⎢⎥mm󰀢mn2nn⎦⎣n1

M的行列式表示为

M=∑δj1j2󰀢jnm1j1m2j2󰀢mnjn (2.5)

(j)

我们可以看出，只要M的元素互不相同，上式中任意两项m1j1m2j2󰀢mnjn与

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m1j1′m2j2′󰀢mnjn′是不同的。但是，如果M是一个节点导纳矩阵(或其他任一纳矩阵

t

Q1YQ2，这里Q1和Q2都是割集矩阵)。导纳y可以在不止一项中出现。因此，当我们

展开这个矩阵的行列式时，一般说来，有许多项可以互相抵消。例如，图2-3中网络的节点导纳矩阵是 2 y1 y2y3 1 y63

y4 y5

4图2-3 线图

⎡y1+y4+y6

−y1−y6

⎤

AYAt=⎢⎢−y1

y1+y2+y3

−y2

⎥⎢⎣

−y6−y2

y⎥

(2.6) 2+y5+y6⎥⎦

这个矩阵的行列式是

AYAt

(yy2

1

y4

y6)[(y1

y23)(y2y5y6)y2]

y1[(y1)(y2y5

y6)y2y6]y6[y1y2y6(y1y2

y3)] y2

y2

2

1y2

1y5y1y6

y2

1y2

y1y2y5y1y2y6y1y2y3y1y3y5

y1y3y6

y1y2y4

y1y4y5

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其中有许多项被相消掉了。由此式我们可以看出，前面给出的网络（除单向网络外的所有网络）的拓扑公式的一个优点就是，只要所给网络的导纳互不相同，就不会有这些相消项。

我们研究的网络拓扑分析要求知道网络的所有的树。假定我们有一个由n个顶，

b条边组成的网络，为了得到所有的树，要检查n-1条边的所有可能组合，这样我们必须检查

个边集合。例如，对于5个顶点和10条边的完全图来说，4条边的集=210个，然而，其中的树有53=125个对于6个顶点的完全图来说，5条边

合有

的集合有3003个，但其中仅有64=1296个树。7个顶点的完全图有6条边的集合54264个，但其中仅有16807个是树。

以上事实说明，对n-1条边的所有集合进行检验以得到所有的树不是一种简便的方法。理想的方法是按照一定的步骤生成树，而无须担心我们是否得到了所有的树；并且，这种系统的方法还应当保证，同一个树不会重复产生，因而用不着检查重复的树。这一章我们要研究两种生成树的方法，这两种方法都不会产生重复的树，而且步骤都相当简单。用这两种方法求所有的树所花的计算量也大致相同。 2.4.3.2 用初等树变换来生成树

设t1和t2是线图G的树，已经知道，如果t1-t2中有k条边，则t1与t2的距离是

k。显然，如果t1-t2中有k边条，那么t2-t1中也有k条边。假定t1与t2的距离为1，且

t1-t2=(e) (2.7) t2-t1=(e′) (2.8)

则t2可以写为

t2=t1⊕(e,e′) (2.9)

这就是从t1到t2的初等树变换。

考虑关于树t1的一个基本割集S。假定S包含t1中的边e，于是我们知道，t1中其他边都不会在S中。我们用符号Se(t1)来表示这个割集，其中下标e表示边e在S∩t1中，括号中的t1表示割集Se(t1)是关于树t1的一个基本割集。因为在关于树t1的基本割集中，包含边e的仅有一个，故Se(t1)就是包含边e的关于树t1的基本割集。设(e1,e2,…,em)是t1，则关于树t1的基本割集的集合由Se1(t1),Se2(t1),…,Sem(t1)组成。为了简

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单，我们用m代替n-1。

假定Se(t1)由边e,a1,a2,…,ak组成，又假定树t2与t1距离为1且不包含边e。设

t2-t1=(b) (2.10)

则将b添加到树t1中，就会得到一个包含边e的回路。于是，据基本割集的定义，边

b必在Se(t1)中。

定理2-2-1 设t1和t2是树，且二者距离为1。又设

t1-t2=(e) (2.11) t2-t1=(b) (2.12)

则边b必在Se(t1)中。反之，若边b在Se(t1)中 ,则t1⊕(e,b)是树。

现在，我们把定理2-2-1推广。

定理2-2-2 对于树t0，设t1,t2…,tp是所有使

t0-tr=(e) r=1,2,…,p (2.13)

的树，又设

tr-t0=(br) r=1,2,…,p (2.14) 则 Se(t0)=(e,b1,b2,…,bp) (2.15)

反之，假设Se(t0)由式2.11给出，则对r=1,2,…,p,t0⊕(e,br)是满足式(2.12)的全部树。 例2-2-1 考虑图2-3中的线图，设t0是(y1,y2,y3)，则树t1=(y2,y3,y4)及t2=(y2,y3,y6)是满足定理2-2-2中关于y1条件的全部树。即

t0+t1=(y1) t0-t2=(y1)

因此，基本割集Sy1(t0)=(y1,y4,y6)。

运用定理2-2-2，我们可以根据已知的关于树t0的基本割集，得到所有与树t0距离为1的树。这可以用下一个例子来说明。

例2-2-2 考虑图2-3中的线图，关于树t0=(y1,y2,y3)的基本割集的集合包括：

于是，所有与t0距离为1的树如下： 由Sy1(t0),

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t1=t0⊕(y1,y4)=(y2,y3,y4)t2=t0⊕(y1,y6)=(y2,y3,y6)

由Sy2(t0),

t3=t0⊕(y2,y5)=(y1,y3,y5)t4=t0⊕(y2,y6)=(y1,y3,y6)

由Sy3(t0),

t5=t0⊕(y3,y4)=(y1,y2,y4)t6=t0⊕(y3,y5)=(y1,y2,y5)

现在，我们来定义树的集合Te。

定义2-2-1 Te={t0⊕(e,b);b∈Se(t0),b≠e} (2.16)

由此记号，我们有引理2-3-2-1。

引理2-3-2-1 与树t0距离为1的每个树恰在以下集合的一个之中，这里

t0=(e1,e2,…,em)：

Te1,Te2,󰀢,Tem

运用定理2-2-2，证明是容易的。注意由于Ter中的每一个树t是由替换t0中的边

er得到的，故树t不可能包含边er。另一方面，因为Ter中的树t与t0距离为1，故t0中除er外所有的边都在t中。因此，若s≠r,则树t不可能在Tes中。这样，对k=1,2,…,m,

Tek中所有的树都与t0不同。

一般地说，Te1,Te2,󰀢,Tem中的树再加上t0还不是一个线图中所有的树。如果我们取出在这些集合中之一的(比如说Te1)每一个树t，求出所有和t距离为1的树，我们就可能求出更多的树。

为了考查这一点，设T

~

eres

为如下定义的树的集合：

T

~

y

eres

=t′⊕(es,b);b∈Ses(t′),t′∈Ter,b≠es (2.17)

{}例如，从例2-2-2中的Ty1={(y2,y3,y4),(y2,y3,y6)}，这里t0=(y1,y2,y3)，我们可以得到Ty12 如下。在图2-3的线图中，t1=(y2,y3,y4)，割集Sy2(t1)是

Sy2(t1)=(y2,y5,y5)

15

而割集Sy2(t2)(这里t2=(y2,y3,y6))是

Sy2(t2)=(y1,y2,y4,y5)

注意，Sy2(t1)和Sy2(t2)分别是关于树t1和树t2的基本割集，并且，边y2必然在这两个基本割集中。因此，集合T

~

y1y2

由以下的树组成：

′=t1⊕(y2,y5)=(y3,y4,y5)t1

由Sy2(t1)得到

′=t1⊕(y2,y6)=(y3,y4,y6)t2

′=t2⊕(y2,y1)=(y1,y3,y6)t3

′=t2⊕(y2,y4)=(y3,y4,y6)由Sy2(t2)得到 t4

′=t2⊕(y2,y5)=(y3,y5,y6)t5

对于这个集合T

~

y1y2

y，有两个问题，一个是t3这样t3Ty2′与t0的距离为1，′就在集合T1，

和Ty3的一个之中。第二个问题是由t1得到的树t2′和由t2得到的树t4′相同。因此，为了确实只得到与t0的距离为2的树，我们还必须找出更多的限制条件。

定义2-2-2

Te1e2={t′⊕(e2,b);b∈Se2(t′)∩Se2(t0),t′∈Te1,b≠e2} 例如，由例2-2-1和2-2-2中的Sy2(t1)和Sy2(t0)得

′和t2′在Ty1y2(t0)中，另一Sy2(t1)∩Sy2(t0)=(y2,y5,y6)∩(y2,y5,y6)=(y2,y5,y6)故t1

(2.18)

′，t4′和t5′中，方面，Sy2(t2)∩Sy2(t0)=(y1,y2,y4,y5)∩(y2,y5,y6)=(y2,y5,)因此，在t3 Ty1y2={(y3,y4,y5),(y3,y4,y6),(y3,y5,y6)}

因为Se2(t0)是关于t0的包含边e2的基本割集，故割集Se2(t0)而边e1和e2都在t0中，不包含边e1。于是，Se2(t′)∩Se2(t0)也不包含边e1.因此不可能用边e1去置换e2来得到Te1e2中每一个树都包含t0中除e1和e2之外的所有边，故Te1e2中的每一个树与t0距离为2。

一般地说，我们定义集合Te1e2󰀢ek如下。 定义2-2-3

Te1e2󰀢ek−1ek={t′⊕(ek,b);b∈Sek(t′)∩Sek(t0),t′∈Te1e2󰀢ek−1,b≠ek其中t0=(e1,e2󰀢em),k≤m.

16

} (2.19)

t0称为参考树，从t0出发，根据(2.19)，可以生成所有树，换句话说，按照式(2-19)生成所有的树的步骤如下。首先，生成第一个树t0=(e1,e2󰀢em)，以它作为参考树。然后用基本割集Se󰀣(t0)中的弦去替换枝ei,生成类Tei，这里i=1,2,󰀢,m.,取这些类Tei中的每一个，对于i﹤j﹤k≤m,用弦ekεSej(t)∩Sej(to)替换枝ej.然后，我们又从T发，生成T

eiejek

eiej

出

，这里i﹤j﹤k≤m,且每一次都要求弦是在关于当前的(即由它出发的)

树与参考树的基本割集之中。现在，可以说明两个事实。第一，我们可以按照这个过程生成所有的树。第二，不会发生重复。为了证明两个事实，采用如下的定义。

定义2-2-4 设t和t′是两个树，t0是参考树，如果

1、ej∉t′,ei∈t′∩t0(显然ei≠ei) 2、ei∈Sei(t′)∩Sei(t0)

则称边的有序对(ei,ei)关于t′和t0具有前向性质。 如果

1、ej∈t,ei∈t0,ei≠ei. 2、ei∈Sej(t),ej∈Sei(t0)

则称边的有序对(ei,ej)关于t和t0具有后向性质。

运用式(2.19)，我们可以看出，如果(ei,ej)关于t′和t0具有前向性质，那么，通过上述步骤，用ej替换ei，我们可以向前得到一个新的树t′′。如果(ei,ej)关于t和t0具有后向性质，则用ei去替换t中的边ej，就产生一个新的树t′′′.从这个新的树t′′′出发 ，通过以上步骤，又可以生成t。这就是说，我们可以通过上述向后生成树t′′′，它与参考树t0有一条以上的公共边。为了证明这一结论的正确性，我们只需要注意，如果我们从t用ei替换ej来生成t′′′，相应的基本割集不变，即

Sej(t)=Sei(t′′′)

(2.20)

现在我们要说明，如果t0是参考树，而t是任意一个树，我们总可以找到一个树t′，使t′与t0的公共边比t与t0的公共边多一条，且t可以由t′通过上述步骤生成。于是根据归纳法，我们可以从参考树出发，通过上述步骤生成任何一个树。

定理2-2-3 设t0是参考树，t是任意一个树(t≠t0)。对于每一条边ei∈t0−t,存在

17

一条边ei∈t−t0，使得(ei,ej)关于t和t0具有后向性质。因此存在一个树t′，使得(ei,ej)关于t′和t0具有前向性质。

证明：设Cei(t)是由弦ei产生出树t的基本回路，即Cei(t)是一个由树t加上边ei

所构成的一个回路。因为Sei(t0)是一个割集，Sei(to)∩Cei(t)包含偶数条边且非空，所以在交集中还有另一条边ej。因为ej∈Cei(t)，所以Cej∈t并非ei∈Sej(t)。因为

ej∈Sei(to),ej∉t0，因此(ei,ej)关于t和t0具后向性质。其余仿此证明。(证毕)

这样，一个线图的每一个树都能通过这一过程生成。然而，如果Sei(to)∩Cei(t)包含两条以上的边，则有可能多次生成t。如果我们不作某些限制，那么重复是不可避免的，这可从下例中看到。

例2-2-3 考虑图2-3中的线图。设t0是(y1,y3,y5),则

Ty1={(y3,y4,y5),(y3,y5,y6)}

Ty1y5={(y2,y3,y4),(y3,y4,y6),(y2,y3,y6)} 因为

Sy3(t0)=(y2,y3,y4,y6)和Sy3(y2,y3,y4)=(y1,y3,y5,y6) 据式(2-19)，对 Sy3(y2,y3,y4)∩Sy3(t0)中除y3外所有的b，(y2,y3,y4)⊕(y3,b)就是(y2,y4,y6). 又因为Sy3(y3y4,y5)=(y1,y2,y3)故对Sy3(y3,y4,y6)∩Sy3(t0)中除y3外所有的b，

(y3,y4,y6⊕(y3,b)也是(y2,y4,y6)。这样，我们看到了在由式(2-19)得到的Ty1y5y3中就有重复的树。

假定我们采用序列(y1,y3,y5)，既先形成Ty1,后形成Ty1y3，最后再形成Ty1y5y3来得到树(y2,y4,y6)，则

Ty1y3={(y2,y5,y6),(y2,y4,y5)}

现在对Sy5(y2,y5,y6)∩Sy5(t0)中除y5外所有的b,(y2,y5,y6)⊕(y5,b)不是树，因为在这种情况下边b不存在，而对Sy5(y2,y4,y5)∩Sy(t0)中除y5外所有的b，

3

(y2,y4,y5)⊕(y5,b)=(y2,y4,y6)。这样在由Ty1y3通过式(2-19)得到的Ty1y3y5中，就没有重复树。

不重复地生成树的技巧基于以下基本事实。

18

引理2-2-2 设ei是t0中的一条边，它与t0中的度数为1的顶点相接。又设t是任意的一个树，ei∉t。那末必定正好存在一条边ej∈t，使得(ei,ej)关于t和t0具有后向性质。

证明：由于定理2-2-3的证明是那样地清楚，我们仅需要说明Sei(t0)∩Cei(t)中，只包含两条边ei和ej。

因为ei是t0的一条边，并且与t0中一个度数为1的度数相连，所以ei关于t0的基本割集由与这个顶点(在t0中度数为1，且与ei连接)关联的边组成，显然，在这些边中有一条在Cei(t)中，这是因为Cei(t)的每一个顶点的度数为2，ei是与该顶点相连的两条边中的一条，这样，只有(ei，ej)具有对于t和t0的后向性质。(证毕)

这个引理保证了在Te1e2󰀢ek−1ek中对于在一个树t，如果边ek与参考树t0中度数为1的顶点相连，那么在Te1e2󰀢ek−1中只有一个树，从它出发，按照式(2-21)能得到树t。 这个结果可以直接导出，因为若t和t′是两个不同类的树，则

t0−t=(ei1,ei2,󰀢,eir) (2.21)

t0−t′=(ej,ej,󰀢,ejp) (2.22)

由假设即知，它们是不同的。这就足以使我们找到避免在同一类中昨的一种步骤。

定义2-2-5 如果边的有序集

(ei1ei2,󰀢,eik)

的每一个子集

(ei1,ei2󰀢eir)(r=1,2,󰀢,k)都由连通子图的边所组成，则称边的有序集构成一个M序列。

大家知道，一个树的边总可以排成一个M序列。事实上，如果开始的树t0是由计算机生成的，要将t0的边排成M序列是很容易的，由M序列的定义，我们得到定理2-2-4。

定理2-2-4 设t0=(e1,e2,…,em)是参考树，如果(e1,e2…em)是一个M序列，则由

T

ei1ei2󰀢eip−1

按照式(2-19)生成的T

ei1ei2󰀢eip

中的树全部不同的。其中1≤i1＜i2＜…＜ip≤m.

证明：因为对于第一步由t0到Tei1来说，结果是显然的，于是我们可以作归内法假设，令T成T

ei1ei2󰀢eip

ei1ei2󰀢eip−1

中的树均不相同。这样，如果空虚类中的两个树由于替换了ep而生

i

i

中相同的树t，在这两种情况下，必然是用边ei和ej去替换ep的。为了证

ei1ei2󰀢eip

明所需结果，只要证明对于类T中一个任意的树t，只有一条边ej使得有序对

19

(eip,ej)关于t和t0具有后向性质，因为这样的t在T

ei1ei2󰀢eip−1

中就只有一个先前树t1。

i

为了证明为个结论，我们将线图变换成另一个图，其中t和t0变成树t′和t′0，边ep变成一条端边。然后由引理2-2-2来证明定理2-2-4。

我们注意在M序列(e1e2󰀢em)中，ep后面的边是t和t0的公共边(它们尚未被替换)。我们在所给的图G中将这些边短路，得到一个新的线图G′。设t′和t′0分别是t和t0在短路t∩t0的所有边后剩下的子图，因为t′和t′0是G′的树，这样，对于留下的树，

ep的基本割集不受影响，即

i

i

Seip(t′)=seip(t) (2.23) ′)=sei(t0) (2.24) Seip(t0

p

类似地，T

ei1ei2󰀢eip−1

中的树去掉t∩t0中的边变成G′中的树，且对这一类中任意的t′，

i

′)不受影响。因此，用替换ep的方法，在G′中产生的新树与G中的一样多。又Seip(t1

且都不包含由于(e1e2󰀢em)是一个M序列，(e1,e2,󰀢eip−1)和(e1,e2,󰀢eip)都是连通的，

回路。故ep是t′0中的端边。因此，据引理2-2-2，只有一条边使得关于t′和t′0具有后向性质。并且在中只有一个树t′1不含t∩t0中的边且能生成t′。这就说明，在T中只存在一个树t1，由它出发能生成t . (证毕)

我们用下面的例子来说明上述整个过程。

例2-2-4 在2-4的线图中，经过以下步骤就将成生所有没有重复的树。

ei1ei2󰀢eip−1

i

ɡadcbef图2-4 线图G

第1步 取一个树t0作为参考树。设

t0=(a,b,g)

在t0中选取边的一个M序列。设(abg)就是所选的M序列。

20

第2步 关于t0的基本割集是

Sa(t0)=(a,c,d,e,f),Sb(t0)=(b,d,e,f),Sg(t0)=(c,e,f,g)

第3步 按照式(2-19)构成Ta： 第4步 构成Tab: 其中

Sb(b,c,g)∩Sb(t0)=(b,d,e,f)∩(b,d,e,f)=(b,d,e,f)Sb(b,d,g)∩Sb(t0)=(a,b,c)∩(b,d,e,f)=(b)Sb(b,e,g)∩Sb(t0)=(b)Sb(b,f,g)∩Sb(t0)=(b)

第5步 构成Tabg:

Tabg=t′⊕(g,ei);eiεSg(t′)∩Sg(t0),t′εTab,ei≠g

={(c,d,e),(c,d,f)}{}

其中

Sg(c,d,g)∩Sg(t0)=(a,b,g,f,g)∩(c,e,f,g)=(e,f,g)Sg(c,e,g)∩Sg(t0)=(a,d,g)∩(c,e,f,g)=(g)Sg(c,e,g)∩Sg(t0)=(g)

第6步 构成Tb：

Tb={t0⊕(b,ei);eiεSb(t0),ei≠b}={(a,d,g),(a,e,g),(a,f,g)}

第7步 构成Tbg:

Tbg={(a,c,d),(a,d,e),(a,d,f)(a,c,e),(a,c,f)}

其中

Sg(a,d,g)∩Sg(t0)=(c,e,f,g)∩(c,e,f,g)=(c,e,f,g)Sg(a,e,g)∩Sg(t0)=(b,c,d,g)∩(c,e,f,g)=(c,g)Sg(a,f,g)∩Sg(t0)=(b,c,d,g)∩(c,e,f,g)=(c,g)

第8步 构成Tg：

Tg={t0⊕(g,ei);eiεSg(t0),ei≠g}={(a,b,c),(a,b,e),(a,b,f)}

G中所有的树就是类Ta，Tab，Tabg，Tag，Tb，Tbg，Tg中的树再加上参考树t0。

表面看来，在上面所给的过程中，最多要检验2m-1个替换集合(这里m=nυ-1)。但

21

是，我们注意到，如果任何一个替换产生了空集，接下来的替换就不需要再检验。因此，需要检验的数目可少于2m-1。

在生成完全树(对有源网络而言)时，不论对电流图还是对电压图，我们都可以利用电流图的M序列，并允许所得的结果有相同的次序。在这次种情况下，电压图的树将会出来重复，但这并不会使问题复杂化。对于有源网络来说，采用这种树的生成法有一个缺点，就是有可能生成超过需要的树。这是因为完全树的数目一般都远少于电流图或电压图中树的数目。当然，我们还可以用修改割集矩阵的办法生成所有的完全树，因为当电流图和电压图相同时，完全树就变成了树，所以这个过程对于生成一个线图中所有的树也适用。生成树的问题是很多科技工作者不断探索和研究一个重点和难点问题，随着工作的深入，必将能寻找到。 2.3.4.4 K-树组法[2]

由于拓扑方法必须确定网络中的全部树及一些2-树，3-树，这就限制了网络的规模，不能太大，为了解决树的数目剧增的问题，提出了K-树组法。

对于一个连通图G，它的一个K-树将该图的顶点分为K个部分，每个部分的全部顶点称为一个连通顶点集合，用K表示。显然，某些连通顶点集合可能是孤立顶点，我们把这个K-树的各个连通顶点集合的总体称为顶点分类集合，用VG来表示。一般简写为VG{Kk}，Kk表示有k个连通顶点集合。

每一个K-树都对应一个顶点集合。但同一个顶点分类集合，可以对应许多K-树。对应于任一个顶点分类集合的K-树的全体称为一个K-树组，TG{K1，K2……Kk}，一般简写为TG{Kk}，Kk意为有k个连通顶点集合，即是一些K-树的和。G则表示 是图G中的K-树。

2.5 有向图及几个概念

2.5.1 有向图

在一个图中，每条边有箭头表示的规定方向的线性图，叫有向图。我们在这里所述的有向图是网络的线性方程组得映射，有向图中的有向边，与线性方程组的系数矩阵—不定导纳矩阵中的元素有一一对应关系。

22

2.5.2. 有向树

有向图G（d）的一个子图，当且仅当（Ⅰ）它是G的一个树，（Ⅱ）在节点i处的出度为零（即无射出边）而在其余所有节点处出度为1（即只有一个射出边），称为G以i为参考点的有向树记为ti。 2.5.3. 有向2-树

有向图G（d）的一个子图ti,j，当且仅当（Ⅰ）它是G的一个又一树（Ⅱ）除了节点i和j的出度为零外，该子图分成2个连通片，在其中一个可能是孤立节点。 2.5.4. 有向3-树[2]

Ti，j，k，有向图Gd有一个子图，称为Gd是以节点i、j、k为参考点的有向3-树，

当且仅当。

（Ⅰ）它有n-3个边，且不包含任何回路。

（Ⅱ）除了参考点，其中每一个节点的射出边的度数为1，参考节点i、j、k的射出边的度数为0。 2.5.5. 伴随有向图[2]

不定导纳矩阵Yind的伴随有向图Gd是有n+1个顶点的加权有向图，顶点的标号从1到n+1与网络N的节点是一一对应，从顶点i到顶点j之间有一有向边，该边的加权为yij。Yind和它的伴随有向图Gd有简单的一一对应关系。并且我们很容易地由Yind直接得到Gd，也可由Gd直接推导出Yind。我们注意到，Yind中对角线元素

在Gd中没有对应，但是这对图与矩阵的互相表达来讲，不会失掉什么信息。因为由Yind的性质所决定，在对角线元素中所能表示的信息，在其它项中全有了。

2.6 电网络方程

2.6.1 基本方程

KCL方程：AIe(s)=0 QfIe(s)=0 KVL方程：Bfve(s)=0

VCR方程：Ve(s)=Ze(s)Ie(s)+Z e(s)Je(s)+Ee(s)+1/sVC(0+)-LeIL(0+)

Ze(s)是标准支路的变换阻抗，Je(s)独立电流源Vc(0+):电容初始电压， VCR方程中，

23

iL（0+）电感初始电流。

Ee(s)独立电压源。 2.6.2 辅助方程

Ve(s)==QfTVt(s)该式表明支路电压可以由树支电压线性表示。 Ie(s)=BfTIl(s)支路电流可以由基本回路电流线性表示。

2.7 节点导纳矩阵和不定导纳矩阵和几个基本定理

2.7.1 节点导纳矩阵：Yn=AYeAT，A是关联子矩阵，Ye是支路导纳矩阵，当支路阻

抗矩阵Ze为非奇异方阵时， Ye再是Ze的逆矩阵， Ye=Ze。。对于无源无互感网络，Ye和Ze全是非奇异的对角阵。

2.7.2 不定导纳矩阵：网络方程的系数矩阵，我们称为不定导纳矩阵，记为Yind，

Yind= AaYeAaT，Aa是N的关联矩阵，Ye是支路导纳矩阵。它的各行都可由除该行外

的其余行线性表示，即各行彼此是线性相关的。用Yind表示的端电流与端电压的关系式即为：YindV=I

因次,不定导纳矩阵可以可用来描述n+1端网络的特性。当给定网络N的关联距阵Aa和支路导纳矩阵Ye，不定导纳矩阵Yind类似的乘积行式，即

Yind=AaYeAa

2.7.3 几个基本定理

为了研究电网络，必须掌握以下几个重要定理，定理的推理和证明不做祥述。 （1）比耐一柯西定理[6]：如果C和D分别为p×q和q×p阶矩阵（p≤q），则detCD=∑CJDj，这里Cj是C的一个大子式，是以C中得到的最高阶子式，Dj是对应的大子式。因为C是p×q阶的矩阵,因而Cj实际上是从C中任选p列而得到的子矩阵的行列式,Dj与

Cj它们是对应的,当Cj为从C中选第就j1,j2,…..,jp列,则Dj为从D中选第j1,j2…..,jp行.

而求和则是对所有这种对应大子式乘积的和。

（2）定理：无源无互感网络N的节点导纳行列式，△=detYn的值等于网络N对应线形图G中全部树的树支导纳乘积之和。

Δ=detYn=∑T(i)(Y)。

i

其中T（i）（y）表示G中树Ti的全部树支导纳值的乘积。

24

（3）定理，若不含互感元件的无源网络N具有几个独立节点，并以节点1´为参考点，则其节点导纳行列式△的主对角线中元素（i,i）的代数余子式△ii，为N中所有2-树Ti,l′的树支导纳乘积之和。

(R)

即：Δii=∑Ti,1'(y)

R

这里求和号表示对所有i在一部分，l′在另一部分的2-树Ti,l´求和

（4）定理：设网络N为不包含互感元件的无源网络，除参考点l´外，有n个独立节点，其节点导纳行列式△中元素（i,j）的代数余子式△ij，可由下式给出：

R)即：Δii=∑Tij(,1'(y)

K

求和符号∑表示对所有节点i,j在一个连通部分而参考点I´在另一个部分的2-树Tij，1′的树支导纳乘积求和。

根据树的交集的关系：△ij=Wij,I′= Wi1′,∩Wj,1′

(k)(k)其中：Wi,1'=Ti,1'(y),Wj,1'=Ti,1'(y)

k)

Wij,1'∑Tij(,1'(y)

（5）定理：对于线性有源网络的不定导纳矩阵Yind，它的元素（i，j）的代数，式中Yij表示Yind中元素（i，j）的代数余子式，f（Tr）表示以余子式Yij=∑f（Tr）

tr，r为参考点的有向树树支导纳乘积。

（6）定理：不定导纳矩阵Yind的二阶代数余因式等于有向图Gd中有向2-树的，i,j≠K,i，k分别为有向2-树两片的参考点，树支导纳乘积之和，即：Yij,kk=∑f（tij,k）

求和对所有tij，K型2-树进行计算。采用有向图Gd的有向2-树来计算Yd的二阶代数余因式需定义：有向图Gd的一个子图ti,j当且仅当满足下述两个条件时，称为Gd的一个以i，j为参考点的有向2-树，①在去掉各边的方向后它是一个2-树；②ti,j中除去参考点外每个结点仅有一个射出边而参考点的射出边为O，其中一片可能是孤立的结点。

2.8 本章小结

本章围绕几个基本概念和定理做了较充分的阐述，它们是电网络拓扑分析的基础。树及树的生成问题是网络拓扑分析的关键和难点，虽然树的生成有多种方法，但归根结底是求出一个线形图完备的树。本章以树的生成为重点，并做了比较祥细的阐述，比耐一柯西定理的建立使节点导纳行列式△和△ij的拓扑公式。通过引入有向图和伴随有向图这个概念，把无源网络的拓扑分析方法又进一步发展到有源网络并建立

25

了不定导纳矩阵的一阶和二阶代数余因式的拓扑表达式。这一切的建立为无源网络和有源网络的拓扑分析打下了坚实的基础。

26

3 电网络的拓扑分析

3.1 无源网络拓扑分析

1 + 2+ +3V1 V2 V3+1’ Vnn

图3-1 具有n个独立节点的网络N

设网络N是具有n个独立节点的网络如上图，节点1´为参考点，V1、V2……Vn

是复变量S的函数，亦即节点电压V1（t）……Vn（t）的拉氏变换表达式，Vi是节点i与参考点1´之间的电压。电压的正端算在节点之处。 网络N的节点电压方程如下式所示：

Y11V1+Y12V2+……+Y1nVn=I1 Yn1V1+Yn2V2+……+YnnVn=In

…… (3.1)

对于无源无互感网络，节点电压方程可以由网络N直接得出： 写成矩阵形式为： YnVN=In

应用克莱姆法则方程可得到

Vj=

Δ1jΔ2jΔnj

I1+I2+󰀢+In j=1，2，…，n ΔΔΔ

(3.2)

其中△为节点导纳矩阵Yn的行列式，△ij为Yn中元素yij的代数余子式。 3.1.1 单口网络的策动点函数Zd（s）和Yd(s)

当只有一对端点与电流源联接时，可假设N网络是零初始状态，我们可以得出单口网络N在零初始条件下策动点阻抗函数Zd（s）和策动点导纳函数Yd（s），分别

27

为：

Zd(s)=V1/I1=△11/△ Yd（s）=1/Zd(s)= I 1/ V 1=△/△11

I1

零初始条件下的 无源一端口网络 图3-1-1 IS1 V1

图3-2 无源单口网络N

应用无源网络求得的△，△ij的拓扑公式，就可以在不写网络行列式的情况下，直接求出单口网络的策动点函数：

Yd(s)=

Δ

=Δ11Δ=Δ11

∑T(i)∑T∑T∑T(i)

(y)

=

1,1'(Y)

VW1,1'W1,1'V

Zd(s)=

1,1'(Y)

(y)

=

3.2.1 双口网络的Z参数

当只有二个端口与外接电源联接时，可研究网络N作为无源双口网络的端口特

性。如下图3-2-2。

I1+ 1Vi V1=ViV2V2’ +2V0I2=Ig2

I1=Ig1 V2-V2’=V22’3=2’1’

图3-3 无源双口网络N

我们仍可采用列写双口网络N的节点电压方程并采用克莱姆法则，可以推导出双口Z参数的行列式表达式：

Z11=Δ11/Δ Z22=

Z12=Z21=

Δ12−Δ12'

Δ

Δ22+Δ2'2'−2Δ22'

Δ

28

由△和△ij的拓扑表达式便可求得双口网络Z参数的拓扑公式如下：

Z11=W1，1´(Y)/V(Y)

Z12=Z21=W12,1(Y)-W12´,1´(Y)/V(Y)

Z22=W2,1°(Y)+W2´,1´+(Y)-2W22´,1´(Y)/V(Y) 根据2-树恒等式Wij,1´(Y)=Wijk,1´(Y)+Wij,K1´(Y)

上式的含义： 即是根据任一个节点K的位置，可以把Wij,1´(Y)这一2-树树支导纳乘积分为两部分，节点k与参考点1´在同一部分为一类，其余为一类。利用这一恒等式可以分解Z参数的各项分子，就减少了重复项，如：W12,1´- W12,1´

因为：W12,1´=W122´,1´+W121´2´、W12´,1´= W122´,1´+W12´,1´2´两式的差可得：W12,1´-W12´，

1´=W12,1´2´- W12´,1´2

上式说明对于双口网络N,先找出节点1与2在同部分,节点1´2´在另一部分的2-树T12,1´2´,再找出节点1和2´在同一部分,节点1´和2在另一部分的2-树,T12´,1´2.可化简为下面易记形式

W12,1´2´-W12´,1´2=

1 —— 2 -

1′——2′

1 2

1′ 2′ 同样可分解Z22的拓扑表达式的分子:

W2,1´(Y)+W2´,1´(Y)-2W22´,1´ 可以得到

W2,1´(Y)+W2´,1´(Y)-2W22´,1´= W2,1´2´+W2´,1´2´=W2´2´

这样Z参数的拓扑表达式可分简为 Z11=W1,1´/V

Z12= Z21= [W12,1´2´- W12´,1´2]/V Z22=W2，2´/V 3.1.3 双口网络的y参数

由双口网络y参数的行列式表达式

Y11=

Z22Δ22+Δ2'2'−2Δ22'

=

ΔZΔ1122+Δ112'2'−2Δ1122'

Y12=Y21=

Z12Δ12'−Δ12

=

ΔZΔ1122+Δ112'2'−2Δ1122'

29

Y22=Z21/ΔZ=

Δ11

Δ1122+Δ112'2'−2Δ1122'

根据3-树和K-树的定义，我们用Ua、b、c(y)来表示3-树的树支导纳乘积Ta、b、c(y)之和，可以得到

Δ1122=∑T

iii(i)1,2,1'

(y)=U1,2,1'(y)

Δ

Δ

(i)

Δ112'2'=∑T1,2',1'(y)=U1,2',1'(y)

Δ1122'=∑T

i

(i)

1,22',1'

(y)=U1,22',1'(y)

Δ

其中1、1´,2´,2表示双口网络N有二个端口上的端点，其中1´是参考点，根据3-

树恒等式：

U1,2,1´= U12´,2,1´+ U1,22´,1´+ U1,2,1´2´ U1,2¤,1´= U12,2´,1´+ U1,22´,1´+ U1,2´,1´2´

将上两式整理，消去重复项可得到下式的拓扑表达式 △1122+△112´2´-2△1122´

= U12,2´,1´+ U1,2,1´2´,1´+ U12,2´,1´+U1,2´,1´2

我们用∑U来表示上式中右边各项的和，这样就可以用简洁的形式来表示y参数

的拓扑公式：

∑U= U12´,2´,1´+ U1,2,1´2´+ U12,2´,1+U1,2´,1´2

得到y参数的拓扑表达式

Y11=

W2,2'

∑U

Y22=

W1,1'

∑U

Y12=Y21=W12´，1´2-W12,1´2´/∑U 3.1.4 双口网络的转移函数

我们研究带负载的双口网络的转移函数的拓扑公式

设该网络是一个无互感无源的双口网络，在（1,1´）端口接一个电流源，Ig(s)，

在（2，2´）端口，接负载YL，如图3-4所示。

30

I1+ 1 Vi 1’+2I2Ig V02’YL

图3-4 双口无源无互感网络N

（1）转移阻抗函数Z12(s)

Z12(s)定义为：V0/I1，可以得到Z12= V0/I1=1/△（△12-△12´） 根据△，△ij的拓扑公式可以得到 Z12(s)= V0/I1=W12,1´2´- W12´,1´2´/V

（2）电压比转移函数G12(s) 定义：G12(s)=V0/vi

可以得到：G12=V0/vi=1/△11（△12-△12´） 则G12的拓扑公式如下：G12=W12,1´2´-W12,1´2´/W1,1´ （3）转移导纳函数Y12(s)

定义：Y12=-I2/Vi可以推得Y12=YLV0/Vi=YLG12 则Y12(s)的拓扑公式：Y12=−12/Vi=YL⎢（4）电流比转移函数X12(s) 定义：X12(S)=−I2/I1=YLZ12=YL⎡⎢

Δ12−Δ12'⎤

⎥ Δ⎣⎦⎡W12,1'2'−W12',1'2⎤

⎥ V⎣⎦

⎡W12,1'2'−W12'1'2'⎤

⎥

W⎢⎥1,1'⎣⎦

则它的拓扑公式为：X12(S)=YL⎢

例1：无源网络的拓扑分析实例：求下图3-5所示的Z参数

1

1n2H 1’ 2’1

F321

Y1Y22

Y31’(2’)

图3-5 电路图 图3-6 线型图

31

解：图（3-5）的线型图如右图（3-6） 其中：Y1=1 Y2=S/3 Y3=1/2S

⎡1

其中：Yn=⎢⎢−1

⎢⎣0

−11+1/2S+1/3−S/3

0⎤

S−S/3⎥⎥ S/3⎥⎦

从线图中可以看出该网络的全部树只有一个，则

Δ=∑T(i)(y)=Y1Y2Y3=1×S/3×1/2S=1/6

K

即：V(y)=1/6

矩接顶点1和1´得到图G11´如下图3-7

Y1Y1

Y22

(1.1’)

图3-7 线图G1,1′

从图G11´找出它的全部树，可以得到W1,1´ W1,1´=Y2Y3+Y2Y1=(2S+1)/6

由 Z11=W1,1´=(2S+1)/6 再短接2和1´得到图G2,2´，如下图3-8

1

Y1Y3Y2

2.1’(2’)

图3-8 线型图G2,2′

找出全部树W2,2´

W2,2´=Y1Y3+Y1Y2=1/2S+S/3

32

由Z22= W2,2´/v=(2S+3)/s

最后求W12,1 W2,2´2和W12 W2,2´,1 W2,2´2。由公式 W1,1´=W122´,2+W12´,1´2+W12,1´2´+W1,1´22´

W12´,1´2和W12,1´2全是W1,1´的一个部分，我们只要在已求得的W1,1´中寻找W12´,1´2

和W12,1´2由W1,1´可知，满足节点1、2在同一部分，节1´、2´在另一部分的树只有一个，即：W12,1´2=Y2Y1=S/3，而满足节点1和2´在同一部分，接点1´和2在另一部分的2-树则一个也没有，即W12´,1´2=0，有Z12=Z21=（W12,1´2´-W12´,1´2´）/V=(S/3)/(1/6)=2S

·当我们用节点导纳矩阵Yn行列式展开，求解Z参数，根据线型图可知：

⎡1Yn=⎢⎢−1

⎢⎣0

−11+1/2S+S/3−S/3

⎤

−S/3⎥⎥ S/3⎥⎦

△=detYn=S/3+2S2+(2S2+6S+2)/18-2S/3=1/6 △11=(1+2S)/6 Z11=△11/△=1+2S △21=(-1)1+3S/3 △2´1=0

Z12=Z21=(△21-△2´1)/△=2S △22=1+1/2S+S/3-1=(3+2S2)/6S

Z22=(△22+△2´2´-2△2´2´)/△=(2S2+3)/S 其计算结果与上述方法相同

其结果是完全相同，方法2虽然简单明了， 比较以上两种Z参数的方法可以看出，

但对较简单的网络比较合适，对大规模的电路运算量非常大就不适用了；同时方法2是直接展开导纳矩阵Yn行列式，其中会有一些符号相反的对消项。而方法1就不存在这样的项，由于避免了计算重复项，可减少出现错的机会和累积误差。

由拓扑法可以看出，计算Z参数时，只需找出全部树和2-树，Z参数就也确定了。目前，寻找全部树和2-树的算法很多，较多使用Minty算法和Mayeda-seahu算法，Minty算法实质是采用深度优先搜索的方法；而Mayeda-seahu算法即是用基本树变换

来产生树，这在上一章已经论述。

3.2 有源网络的拓扑分析的实现

3.2.1 有源网络的研究现状

我们从上一节中已经得到了一整套拓扑公式，并且已知这些公式的基本概念并不

33

是很新的，它们可以回溯到克希霍夫和麦克斯韦。但是，对于应用到有源网络则是很近的事，对于有源网络的研究科技工作者倾注了大量的心血，寻找到了很多有益的求解方法，如：Mason、Coates、Chen.H.K、 Mayeda等。当我们在应用于大多数实际网络时，Coaste和Mayeda的公式表示作为计算方案是相同的。Mason和Chen.H.K的方法概念上与Coates和Mayeda的方法大不相同。Chen的方法和Mason的方法十分相似。然而，Mason的方法、观点和解释与Chen.H.K的方法完全不同，不过他们的公式表示的本质是相同的。

目前，对于线性有源网络的拓扑分析问题有两种基本方法：Coates-Mayeda公式表示和Chen.h.k-Mason公式表示。Coates-Mayeda方法的主要困难是确定完全树所伴随的符号，这是冗长而费时的过程。Chen-Mason方法则避免了符号问题，但是这种方法仍然会出现对消的冗余项，这就会影响到运算速度和精度，然而，随着对这种方法的进一步研究和改进，从而也避免了冗余项的出现。 3.2.2 有源网络拓扑分析的具体实现方式

我们已经知道，麦克斯韦公式它只能适用于支路导纳矩阵Ye为对角阵的不含互感元件的无源网络。为了把无源网络的拓扑公式推广到支路导纳矩阵Ye不是对角阵的无源网络中，方法如上面所述，有几种非常典型的分析方法。下面我们对认为是最好的Chen.h.k的“有向图法”以及Chen.S.P的在此方法基础上发展的K-树组法做一研究和评述。

我们根据有向图的概念和不定导纳矩阵的定义以及它们的拓扑公式来讨论有源网络的拓扑分析方法，可以求得单口网络的策动点函数和Y参数。 3.2.2.1 单口网络的策动点函数的拓扑公式

I11V1 1’NIg

图3-9 单口网络N

34

图3-9单口N网络是由线性、集中、定常元件构成的网络，没有独立电源，但可以包括有源元件及互感耦合元件，其拓朴公式可以由有向树的树支导纳乘积来表示，这在上一章也已详细做了论述。

这样可以得到单口网络的策动点函数如下：

Zd(S)=

Y11,1'1'Y1'1'

=

∑f(T∑f(t

1,1'

)

1')

=W1,1'/V1' /W1,1'

Yd(s)=

Y1'1'

=Y11,1'1'

∑f(T)=V∑f(t)

1'1,1'

1'

3.2.2.2 有源双口网络的拓扑分析公式

I1 I21N1’2ViV2 2’ 图3-10 双口网络N

对双口有源网络N的开路阻抗函数Zoc和短路导纳函数Ysc的拓扑公式可以推得：

Ysc=

1∑U

W2'1,21'−W21,2'1'⎤⎡W2,2'

⎢⎥ WWW−12,1'2'1,1'⎣12',1'2⎦

其中

∑U=U

12',1'2

+U1,1'+U12,1'2'+U1,1'2,2'

Zoc=

1V1'

W21,2',1'−W2'1,21'⎤⎡W1,1'

⎢⎥ WWW−12',1'22,2'⎣12,1'2'⎦

对有源网络的Y参数和Z参数的拓扑表达式，其非对角线项也可以用直观的表达式来表示。

⎡10W2'1,21'−W21,2'1'=⎢

⎣1'0⎡10W12',1'2−W12,1'2'=⎢

⎣1'002⎤⎡10→02⎤⎥−⎢00⎥ 2'0⎦⎣1'→2'⎦

02⎤⎡10←02⎤⎥−⎢00⎥ 2'0⎦⎣1'←2'⎦

其中有向线段不仅表示这两个节点在有向2-树的同一部分，而且表明箭头所指的

35

节点是这一部分的参考点。 例2 有源网络的拓扑分析举例 求图示网络的Z参数和Y参数

1

Y1 g1-U +gmU121’ 2’

图3-11 电路图

解：图示网络的不定导纳矩阵Yd为

−Y−1⎡1+Y

⎢−Y−12+YYd=⎢

⎢−1−1−gm2+g+gm⎢

−1+gm−g−gm⎣0

⎤

−1⎥⎥ −g⎥

⎥1+g⎦0

有Ya伴随有向图如图3-12所示

YY2 11+gmg1-gm 4

g+gm13

11

图3-12 伴随有向图

以4为参考节点的V1´=V4=Yg+g+Yg+y(1+gm)+g+Yg+(1+gm)

T1.4=W1.4=YG+Y+Y(1+gm)+1+1+g+(1+gm)+g =gm(Y+1)+Y(g+2)+2g+3

T12,1´2´=W12,4=Yg+Y+Y(1+gm)+1=Y(gm+g+2)+1

显然图中T12´,1´2型2-树不存在，即 W12´,1´2=0

36

T21,2´1´=W21,4=Yg+y(1+gm)+y+(1+gm)=Y(gm+g+2)+gm+1 又显然由 W2´1,21´=0

T2,2´=W2,4=Yg+Y(1+gm)+Y+(1+gm)+g=(Y+1)(gm+g+2)-1

相应地可知

∑U=W1,2,1´2´=W1,2,4=1+(1+gm)+g=gm+g+2

将上述各结果代入公式得到：

Ysc=

1∑U1V1'

W2'1,21'−W21,2'1'⎤⎡W2,2'

⎢⎥ W−WW12,1'2'1,1'⎣12',1'2⎦

Zoc=

W21,2'1'−W2'1,21'⎤⎡W1,1'⎢⎥ W−WW12',1'2'2,2'⎣12,1'2'⎦

代如具体值后就可以得到该N网络的Z参数和Y参数。

当然我们对该含有受控源的电路完全可以用一般的电网络分析方法来分析，从上例中可以看到拓扑分析法也不失是一种好的分析电路方法。

3.3 本章小结

本章总结了无源网络和有源网络的经典拓扑分析方法，并推导出了一套行之有效的拓扑分析计算公式。这一整套拓扑公式在分析电网络时简洁、明了，是纯粹的代数运算。它克服了计算高阶行列式，避免了烦琐、计算量大等很多不必要的工作；利用了K树的拓扑分析方法，如果我们能采用灵活和巧妙的方法，譬如，对电网络若能选取合适的参考点，就可以大大减少、甚至完全没有对消项，这样就减少了运算误差。我们比较电网络的拓扑分析法与电网络的一般分析方法，虽然在分析电网络中采用了本质不同的分析法，但它们各有不同的特点，特别是拓扑分析法在电网络中的采用，为我们打开了思想之门和拓展之门，为我们开展新的探索提供了基础。通过本章的分析使我们知道，对较简单的电网络一般分析方法是比较合适的，但对大规模的电网络该方法就不适用了，而拓扑分析法对较大规模网络，并采用计算机技术，就减少运算量并避免了出错机会和累积误差，它具有这样的优点。拓扑分析法是一个行之有效的分析方法，当然，K-树法也有其弱点，是它的运算效率比较低，对于大型网络更明显，随着节点的增加，往往使得列出全部树几乎不可能。但是，我们通过对这两节内容的分析和研究，使我们清楚的认识到，电网络的拓扑分析实质上是找出网络N 的全部

37

树或一些K-树。所以，如何最简单的找出一个网络的全部树，则成为推广拓扑公式的关键。在用拓扑方法进行计算机辅助分析时，选择一个最有效的，即计算量小且节省存储空间的求树方法，是十分重要的。因此，我们随着对树的生成研究的深入、方法的不断更新，成果的不断出现，电网络的拓扑分析必然有一个大的发展，一定能取得新的丰硕成果。

38

4 电网络拓扑分析的有益尝试

网络的拓扑分析是近代网络理论的一个重要组成部分，随着电网络技术和计算机技术的不断发展，网络拓扑分析的研究在不断的并深入进行，分析方法向着更加新颖简介、更加实用、更加有效的方向发展。下面介绍两种比较新颍和精巧的电网络的拓扑分析方法。

4.1 双树法

网络拓扑分析的发展虽然在近些年遇到了前所未有的困难，但研究仍在继续进

行，而且也更加深入，更加实用，更加朝有效的方向发展，在继承和发展前人研究的基础上，特别是在已有的两种树值法的基础上，一些科技工作者又提出了一种新的网络拓扑分析方法，称之为双树法

[20]

。该方法采用封闭网络模型，以2b表格方程为依

据，以有效树和有效双树的概念为基础，直接对网络的拓扑图进行计算，不出现冗余项，适用于一般的线性有源网络，各种网络函数有统一的拓扑公式。 4.1.1 封闭网络及其行列式

所谓封闭网络就是不含独立电源的线性网络，设封闭网络N由无源元件（阻抗和

导纳）和受控源（四种类型）组成，其中受控源的控制量或为开路电压或为短路电流，每个受控源只能有一个控制量且每个控制量只能控制一个受控源；除开路边和短路边外，每条支路有一个元件，每个元件有一个符号参数；Yi，Zi和Xij分别是导纳，阻抗和受控源的参数，下标i是该元件所在支路编号，j是控制量所在支络编号。

以支路为边，以节点为顶点，构成N的图G。根据支路元件的类型，G中的边分别称为Y边（导纳边）；Z边（阻抗边），CS边（受控电流边）VS边（受控电压边），VC边（控制电压边，即开路边），CC边（控制电流边即短路边，G是无向图，但CS

边，VS边，VC边和CC边可根据受控量和控制量的方向标出其正方向。

电阻性网络可由代数方程描述，动态网络在频域或复频域也可由代数方程描述，

设封闭N由线性齐次方程组：MX=0来描述。

其中X是网络变量，M是含有网络元件参数的矩阵，称det（M）为统计封闭网

39

络的行列式，以下简称为网络行列式记为△。

根据网络理论和代数知识可知，△具有如下性质。 （1）零和性质△=0。

（2）可展开性，即△=∑εkPk，其中Pk是元件参数符号的乘积，εk是其系数，且“εk=±1”。

（3）本质一致性，即采用不同方法建立不同形式的方程，△展开式中非零项的

数目是相同的，各非零项的参数乘积Pk及其系数εk本质上是一致的。 4.1.2 有效树和有效双树

定义1：设T是G的一个树，且T包含G中所有的Vs边和CC边而不包含任何CS边和VC边，则称T是N的一个有效树。

定义2：设T是N的一个有效树，令P=ЛYi ЛZi，其中Yi是T所含的导纳边的

导纳，Zi是T不含的阻抗边的阻抗，称P为该有效树的参数。

定义3：设T1和T2是G的两个树，且满足下列条件，则称T和T2是N的一个

有效双树。

Z边、VS边或CC边，但不能是CS边和VC边。 ·T1和T2都含的边可能是Y边、

·T1和T2都不含的边可能是Y边、Z边，CS边或VC边，修正不能VS边和CC

边。

T1不含而T2含的边相应的控制量所在边。 ·T1含而T2不含的边是受控量所在边，

定义4：设T1和T2是网络N的一个有效双树，令P= ЛXij ЛYi ЛZi.

Yi是T1和T2都含的导纳边的导纳，Zi是T1和T2都不含的阻抗边的阻抗， 其中，

Xij是受控边i在T1控制边j在T2的受控源参数。称P为该有效双树的参数。 4.1.3 网络行列式展开的拓扑公式和算法

可以证明，封闭网络行列式的展开式中有效项与该网络中的有效树或有效双树有

着一一对应的关系，而且封闭网络行列式的值等于该网络中全部有效树和有效双树参数的代数和，即：

其中：Pk是该网络的第K个有效树或有效双树的参数，εk是它的系数， △=∑εkPk，

对于有效树而言，其εk值总为“1”，对于有效双树而言，其εk值或为“1”或为“-1”。 若令V=εP，并称其为有效树或有效双树的值，即：△=∑VK

40

它表明封闭网络行列式的值等于该网络中全部有效树和有效双数值之和。 下面给出寻找全部有效树和有效双树及求其系数值的算法。 ·寻找全部有效树的算法

设G是封闭网络N的图，将G中所有的VS边和CC边短路，所有的CS边和VC边开路，使G降价为G1。则G1的一个树与被短路边的并集就是N的一个有效树，

找出G1的所有树，就能找出N的全部有效树。 ·寻找全部有效双树的算法

设G是封闭网络N的图，任意选取m个受控源；在G中将这m个受控边短路，m个控制边开路，再将其余的VS边和CC边短路，CS边和VC边开路，使G降为G1。在G中将这m个受控边开路，m个控制边短路，同时将其余的VS边和CC边短

路，CS边和VC边开路，将G降阶为G2。则G1和G2共有的一个树T´与G降阶为G1时被短路边的并集就构成G的另一个树T2，而T1和T2就是N的一个有效双树。

找出G1和G2的所有共有树，就能找出包括这m个受控源参数的全部有效双树。重新选取所有可能的若干个受控源，重复上述过程，就能找出N的全部有效双树。

·求有效双树系数的算法

设T1和T2是网络N的一个有效双树。

（1）将T1和T2都含的边短路，同时将T1和T2都不含的边开路，从而得到G的

子图Gd。

（2）在Gd中，找出一个回路，使其仅含T2的一条边，确定T2的边j与该回路中另一条边（i属于T1）的关系因子Bji，若边j与边i的参考方向沿回路一致，则该Bji等于“1”，否则，Bji等于“-1”。

（3）将边j短路，边i开路，使Gd降阶。

（4）重复步骤2和3，找出所有Bji，直到Gd降价为一个孤立的节点。

，构成下标 （5）将求得的全部Bji和相应的Xij（i在T1，j在T2的受控源参数）首尾相连的若干个闭合链。 （6）则：ε=（-1）m-n+cΠBji

，n是闭 其中Bji是所求得的全部关联因子，m是Bji的个数（即相应的Xij个数）合链的个数，C是其中受控电流源的个数。

例题：利用双树法，求图示（图4-1）电路的网络函数V0/IS

41

Y2 + Y3+U1+μU1U0 Z3 Is

图4-1含受控源网络N

解：令IS=-gV0，用受控源，“-Gv0“代替独立电流源IS。构成封闭网络N，其G图

如下，图4-2

2

36

5

1

7

图4-2 线图G

其中开路电压U0和U1（图4-2中为U1和U0）作为控制量。1和2是Y边，3是Z边，4是VS边，6是VC边，5是CS边，7是VC边，其参数分别为Y1，Y2，X3，µ46和g57

以下是具体的运算，并有具体图形，图形在下面。

，（1、3）和（2、3），由 将G中4短路，5、6、7开路，得G´，其树为（1、2）

此可知N的有效树有3个，它们分别是（1、2、4）和（1、3、4）和（2、3、4）由定义2可知它们的参数分别是“Y1Y2Y3”，“Y1”，“Y2”。

设双树参数含µ46不含g57，将G中4短路，5、6、7开路，得G1-a，G中6短路，4、5、7开路得G2-a，它们的共有树是（2、3），有效双树是{（4、2、3），（6、2、3）}，

其参数是“µ46Y2”。

设双树参数含g57不含µ46，将G中4、5短路，6、7开路，得G1-b；将G中4、7短路，5、6开路得G2-b。它们没有共有树。

设双树参数含µ46和g57，将G中4、5短路，6、7开路，得G1-c；将G中6、7

42

短路，4、5开路，得G2-c，它们的共有树为（3），有效双树是{（4、5、3），（6、7、3）}其参数为“µ46g57”

对于双树{（4、2、3），（6、2、3）}，将G中2、3短路，1、5开路，得Gd-a，其中B64=-1，闭合链是“µ46 B64”，m=1,c=0,ε=(-1)1-1+0(-1)=-1,所以，双树决定的有效项就是“-µ46Y2”。

对于双树{（4、5、3），（6、7、3）}将G中3短路，1、2开路，得Gd-c，其中B65=-1，B74=-1，闭合链是“µ46 B65 B74”，m=2,n=1,c=1,ε=(-1)2-1+1(-1)(-1)=1,所以，该双

树所决定的有效项就是“µ46 g57”.

综上所得封闭网络的行列式展开式，并由零和性质可知： △=Y1Y2Z3+Y1+Y2-M46Y2+M46G57=0

DTY ：U0/Is=-1/g57=µ46/(Y1Y2Z3+Y1+Y2-µ46Y2),式中µ46即为图1中所给的µ。 G的运算图如下面各图：

3 32 1

2 3G′ 1G1-b

· G2-b 1 2 图4-3 运算图（1） 图4-4 运算图（2） 图4-5运算图（3）

3 22 1

·31 ·5

· 6

G1-a G2-a · Gd-a

图4-6 运算图（4） 图4-7 运算图（5） 图4-8运算图（6）

43

23

1 315 2G1-c G2-c 6 4 7 Gd-c

图4-9 运算图（7） 图4-10 运算图（8） 图4-11运算图（9）

4.2 非线性电网络的拓扑分析

现有的拓扑分析方法有无向图法和有向图法，它具有的优势是其它方法所没有

的，也是不可替代的。电网络拓扑分析方法在线性电路中得到了广泛的应用，我们把分析线性电路的拓扑分析方法[18]可以推广到非线性电路，当然，它的理论基础是建立在分析非线性电路的基础之上。 4.2.1 非线性元件的分段性化模型 4.2.1.1 非线性电阻的分段线性化

设某非线性电阻的非线性特性如图（4-12）所示

I J2 ba 0 J3 V1V2V V3c

图4-12 特性图曲线

44

如果这一非线性曲线用a、b、c‘3段直线来逼近，则

0≤V≤V1⎧g1V

⎪

I=f(v)=⎨g2V+J2V1≤V≤V2

⎪

⎩g3V+J3V2≤V≤V3

上式中g1、g2、g3分别是直线a、b、c的斜率，J2、J3分别是线段b、c的截距，

上式也可用一个通式来表示为：

I= f(V)=gV+J

g、J称为分段线性化参数，对于不同的直线段有不同的数值；如对于直线段a，g=g1，J=0，对于直线段b，g=g2，J=J2

非线性电阻分段线性的统一数学模型，其对应的电路模型如下图：

+g

－J

－

图4-13 电路模型图

4.2.1.2 非线性受控源的分段线性化

非线性受控源有4种，以非线性电压控制电流源为例：如图4-14：

·+V－·－f(V)

图4-14 受控源电路图

，其特性曲线如图4-15所示 非线性控制关系I=f（V）

45

I3 I a 0 J2 V1V2bcV

图4-15 特性曲线图

非线性曲线如用a、b、c，3段直线来逼近，则可得

⎧g1V⎪

I=f(v)=⎨g2V+J2

⎪g⎩3

0≤V≤V1V1≤V≤V2V2≤V≤V3

其中g1、g2分别为a、b的斜率，J2、J3是b、c线段的截矩，可以用一个通式来

表示：I=f(v)=bv+J

其对应的电路模型如图4-16。

·+V－·gv－－IJ

图4-16电路模型图

g、J为分段性化参数。

有了非线性元件的分段线性化模型，只要将非线性电路中的非线性元件用相应的

分段性化模型替代，则原非线性网络就转化为分段线性化电路，由于建立了统一模型，因此不同分段线性区域中的电路具有了完全相同的电路形式，只是参数g和J的数值有所不同而已。

46

4.2.2 举例说明非线性电阻网络的拓扑分析方法的实现：

我们知道无源性线网络可以用无向图拓扑分析。由于无源非线性网络用分段线化

方法转化为分段线性网络，可以用无向图法加以分析，有源线性网络可以用有向图拓扑法加以分析，由于有源非线性网络用分段线性化方法，已转化为有源线法网络，所以可以用有向图拓扑法加以分析和解决。 具体举例说明非线性网络的拓扑分析方法：

例题：图示为一个无源非线性电阻电路，如图4-17所示，其中非线性电阻为二级管D3和D4，其非线性特性如下图4-18、4-19所示，g1与g2为线性电导。

I3V3+ D3 －IS=1 － I4V4+D4－g2=1

g1=1－

图4-17 电路图

I3 3 ·2 ·1 ·a 0 D3 b 1 2 V3c 8·6·4·2·d012 V4 ef 图4-18 特性图 图4-19 特性图

47

J3·1g3 ·2IS=1 － g1 J4=1－g4g2=1

－3

图4-20 电路图

电路的分段线性化电路如图（4-20）

1

g3 2g4 g1 3g2

图4-21 电路对应的无向图

由特性曲线可得D3与D4的分段线性化模型为：

V3≤0⎧0

⎪

I3=g3V3+J3=⎨V30≤V3≤1

⎪

⎩3V3−21≤V3≤2

V4≤0⎧0

⎪

0≤V4≤1 I4=g4V4+J4=⎨V4

⎪3V−21≤V≤2

4⎩4

将图中的D3和D4用分段性化模型代替，可得到了图（4-17）所示的分段线性化电路，该电路的节点电压方程为：

Yn⋅Vn=In⇒|Yn|

Vn1Vn2

=Is−J3I3−J4

根据克来姆法则有：

Vn1=

Δ11(Is−J3)+Δ21(J3−J4)

Δ

Vn2=

Δ12(Is−J3)+Δ22(J3−J4)

Δ

△为节点导纳矩阵的行列式，△ij是Yn的一阶代数余子式，根据无向图的拓扑

48

法，△、△11、△12、△21、△22可以从图4-2-9中所示的无向图G中求出，其中：

Δ=∑T(K)(y)

k

Δij=∑Tij(k)(y)

k

Tk(y)为图G中第K个树的树支导纳之积，Tij(k)y为图G中第K个2-树的树支导

纳之积，r为参考节点。 △=g1g2+g1g3+g1g4+g2g3+g3g4

△11=g2+g3+g4 △21=g3 △12=g3 △22=g1+g3

得到节点电压的解：

Vn1=

(g2+g3+g4)(Is−J3)+g3(J3−J4)g1g2+g1g3+g1g4+g2g3+g3g4g3(I3−J4)+(g1+g3)(Js−J4)g1g2+g1g3+g1g4+g2g3+g3g4

Vn2=

将激励IS=1线性电导g1=1，g2=1代入得

Vn1=Vn1=

(1+g3+g4)(1−J3)+g3(J3−J4)

1+g3+g4+g3+g3g4g3(1−J3)+(1+g3)(J3−J4)

1+g3+g4+g3+g3g4

上两式中电压V分别是非线性元件分段线性化参数g3、J3、g4、J4的函数，可将上式称为非线性电路的“通解”。如果将不同分段线性区域的g、J值代入则可获得各分段线性化区域的解，称为“特解”，由于J3分为3段，J4分为3段，因此不同的分段线性区域组合为3×3=9个，它们分别为ad、ae、af、bd、be、bf、cd、ce和cf。各分段线性化区域的特解如下表所示：

表4-1 各段计算值

分段组合

G3

J3

G4

J4

V3的区别

V4的区别[0,1] [1,2] [0,1]

[1,2] [0,1] [1,2]

Vni 1.000 0

Vn2 0.000 0

[-∞，0] [-∞，0] ad 0 0 0 0 [-∞，0] ac 0 0 1 0 [-∞，0] af 0 0 7 -6 be

bf ce cf

1 1 3 3

0 0 -2 -2

1 7 1 7

0 -6 0 -6

[0,1] [0,1] [1,2] [1,2]

1.000 0.000 0 1.000 0.000 0 0.333 3 0.600 0 0.882 3 0.857 1 -0.090 9 1.285 7

0.333 3 0.200 0 0.764 7 0.142 8 -0.090 9 0.714 3

[-∞，0] bd 1 0 0 0 [0,1] [-∞，0] cd 3 -2 0 0 [1,2] 49

特解共有9个，我们在分析非线性电阻电路已经知道，不是所有的特解都是原电

路的解，因为每一个线性化区域的V3和V4都有相应的定义区间，因此只有满足V3、V4定义区间的解才是原电路解，即真解，其余都为伪解。

根据V3=VN1-VN2,V4=VN2,只有be区解的解才满足V3和V4定义区间，即：Vn1=0.600，Vn2=0.200，舍去伪解即可得到真解。

通过非线性元件分段线性化的统一模型，从而可利用拓扑分析的方法求得非线性电阻电路的解。

4.3 本章小结

双树法是一种有源网络拓扑分析的比较新颖的方法，它采用封闭网络模型，给出了有效树和有效双树的定义，用它们的值来表示电网络行列式值，并得到了拓扑公式。同时给出相关算法和例题，该方法可用于包括四种受控源在内的线性有源网络，可直接求得各种不同类型的符号网络函数，而且拓扑公式相同，且运算过程不出现冗余项。 非线性网络的拓扑分析是把分析线性电路的拓扑分析法推广到非线性电路，它提

出了非线性网络的“通解”，“特解”、“真特解”等新概念，利用非线性元件分段线性化统一模型，从而可用拓扑的方法，求得非线性电络的“通解”与“特解”，而且其通解是线性化参数的函数，使非线性网络有了类似于线性网络的解析解，这对于非线性电路的分析和设计是非常有用的、并且是非常巧妙的，它给我们分析电网络开启了一个联想和思维的大门。

这两种新颖方法的采用使人们对电网络的拓扑分析发展更增强的信心，为以后的拓扑分析发展找到了切入点，为更新的拓扑分析方法应用到电网络找到了希望，相信：在不久的将来电网络的拓扑分析一定有一个大的发展并切有质的突破。

50

5 含变压器网络的拓扑分析

变压器是电工、电子技术中常用的电气设备，它是由两个耦合线圈绕在一个共同的心子上制成，其中，一个线圈作为输入，接入电源后形成一个回路，称为原边回路；另一线圈作为一输出，接入负载后形成另一个回路，称为副边回路。变压器常常广泛应用于电网络中，当然分析含变压器的电网络的方法多种多样，用拓扑分析的方法来解决这一电网络问题，可以认为是一种行之有效的好方法。

5.1 互感耦合变压器的不定导纳矩阵

I1 ML1··L2L0VI2Vi I1′ I2′

图5-1 互感耦合变压器电路图

我们可列写互感元件的运算方程

⎧SL1I1+SMI2=Vi

⎨

⎩SMI1+SL2I2=V0

写成矩阵形式如下：

⎡SL1⎢SM⎣

SM⎤

SL2⎥⎦

⎡I1⎤⎡Vi⎤

⎢I⎥=⎢V⎥ ⎣2⎦⎣0⎦

其中：I1=-I1´，I2=-I2´，

Vi=V1-V1´，V0= V2-V2´

这时：I1=-I1´=Y1（V1-V1´）+Y（V2-V2´）

I2=-I2´=Y（V1-V1´）+Y2（V2-V2´）

式中：Y1=L2/S（L1L2-M2）

51

Y2=L1/S（L1L2-M2） Y=-M/S（L1L2-M2）

这样可得互感耦合变压器的不定导纳矩阵为

⎡Y1⎢Y=⎢⎢−Y1⎢⎢⎣−Y

YY2−Y−Y2

−Y1−YY1Y

−Y⎤

−Y2⎥⎥ Y⎥⎥Y2⎥⎦

⎡V1⎤⎡I1⎤

⎢V⎥⎢I⎥⎢2⎥=⎢2⎥ ⎢V1'⎥⎢I1'⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣V2'⎥⎦⎢⎣I2'⎥⎦

Yind

5.2 举例说明

求下图5-2中所示网络的Zoc和Ysc

aI1I1 ①G1 ③G2 ④M· ·L1L2G g3 ②G5 G21′

图5-2 电路图

根据变压器的不定导纳矩阵和图示电路我们可以得到图示的不定导纳矩阵

⎡G1+G5⎢⎢0=⎢(a−1)G1⎢

⎢−Ag1⎢−G⎣5

0G4+G2

0Y−G4−Y2−Y

−G1

0

(1−a)G1+G2+G3

AG1−G3−G2

0Y−G3G3+Y1−Y1−Y

⎤⎥

−G4−G2−Y⎥

⎥ −G2

⎥

−Y1−Y⎥

G2+G5+(Y2+Y)+G4+Y1+Y⎥⎦

−G5

Yind

52

aG1 G1 ① (1-a)G1 ③ ·G1 G5 G5 Y+Y1 G2 Y+Y1 G4+Y+Y2 1’ -Y ·④ -Y ② · G3 G3-aG1 G4+Y+Y2 图5-3 伴随有向图Gd

根据不定导纳矩阵求得伴随有向图如上图，我们可以求得有向树及有向2-树，有

向3-树的树支导纳乘积之和。

（G2G3+Y1G2+Y1G3）-Y2（G2+G3）] V1´=（G1+G5）[（G4+Y2）

（G1Y1-Y1aG1+G1G3）-Y2（1-a）G1] +G5[（G4+Y2）

W1.1´=Y1(G4+Y2)[(1-a)G1+G2+G3]-Y2[(1-a)G1+G2]+G3(G1+G2)(G4+Y2) W2.2´=(G1+G5)(G3+Y1)G2-aG1G5Y1+G1G5(G3+Y1)+(G1+G5)G3Y1 W12´,1´2=0

W12,1´2´=-G1G3Y-aG1G2Y W2´1，2´1´=0 W21，2´1´=0 W21，2´1´=-G1G3Y

Σ∪=（G1+G2）（G3+Y1）+G3Y1-aG1Y1）

将上面的值代入下面式中

⎡W2,2'

Ysc=1/∑U⎢

⎣W12',1'2−W12,1'2'W1,1'⎡

Zoc=1/V'⎢

⎣W12,1'2−W12',1'2'

W2'1,21'−W21,2'1'⎤

⎥ W1,1'

⎦W21,2'1'−W2'1,21'⎤

⎥ W2,2'

⎦

我们就可以得到了有源含变压器网络的短路导纳函数Ysc和开路阻抗函数Zoc。

53

5.3 含理想变压器的网络拓扑分析

我们在日常工作中常用的元件是理想变压器，一个实常数n就表明了它的性质。如图5-4

1

I1V1 Y0·n·V2I22

1’ 2’

图5-4 电路图

理想变压器的短路导纳是无穷大，不便以节点导纳的形式表达，但在实际应用上往往串联了一个具有有限导纳元件Y。，则不定导纳矩阵就为有限的了，它的伴随有向图如图5-5。

V1nY0-nY0-nY0V１′V2′ V2n2Y0Y0 图5-5 伴随有向图

则它的不定导纳矩阵Yind

⎡Y0

⎢−Y0⎢=

⎢−nY

0

⎢⎢⎣nY0

−Y0Y0nY0−nY0

−nY0nY0n2Y0−n2Y0

nY0⎤

⎥−nY0⎥

−n2Y0⎥

⎥2

nY0⎥⎦

Yind

由于不定导纳矩阵是对称的，因此其伴随有向图中每一对方向相反而权一样的边都可以由一元向的边来表示。

如果把网络看成在相对位置已经确定好了的各个节点间，逐个地嵌入各个元件形成的。那么一个网络的不定导纳矩阵就是这些元件各自的不定导纳矩阵的和。我们可以对一个n+1个节点的网，采用把元件逐个填入的方法，得到不定导纳矩阵及伴随有向图，这样做的物理意义是，将元件嵌入到相应的节点上，维持电压不变，而增加一

54

份电流贡献，我们把每一种网络元件的不定导纳矩阵及伴随有向图都作出，就可以应用这种嵌入法直接从网络得到其伴随有向图，再根据有向图，利用前面得到的拓扑公式，求得网络的各个参数。

5.4 本章小结

把拓扑分析的方法运用到含有变压器的电网络中，经过对电网络的分析作出电网络的不定导纳矩阵，根据不定导纳矩阵求得电网络的伴随有向图，然后根据伴随有图可以得到有向树及有向K-树，这样就可以求得该电网络。这一方法的运用为我们分析电网络提供了一个很好的借鉴，为我们分析电网络打开了一个有益尝试之门。经过总结可以把这种分析法变为一种系统的分析方法。当然，通过计算和分析含有变压器的电网络，我们已经看到这一过程还是相当繁锁，计算量是很大的，找到简易的拓扑分析方法，并应用到分析含有常用的电器元件的电路中仍然是一项坚巨的工作。

55

6 电网络拓扑分析的思考

运用图论这一数学工具对电网络进行拓扑分析，是近代网络理论的一个重要组成

部分，它通过网络图的运算求解线性电络，可以得到含有元件参数的网络函数，因此它在网络符号分析，网络优化设计和摸拟电络故障诊断方面有着广泛的应用。 （1）电网络的拓扑分析，基本上可以归结为求一个网络的全部树及一些K-树，

对于有源网络，归结为求有向树问题，求网络中全部树及有向树成为拓扑分析电网络的关键。

常用的求树的方法有很多种，子图多项式计算法：它虽然直观、明了，但它计算

过程中出现了消去项，因此判断消去项是比较困难的，minty算法是最常用的算法，它采用了深度优先搜索的方法求全部的生成树。还常用的有Mayeda-Seshu计算法，后两种可以不重复生成图的全部树，从而减少了误差，提高了精度，但随着图的顶点和边的增多，树的数目增加很快，可以大的惊人，即使应用计算机，也有很多问题需要解决，因此树的生成是电网络拓扑分析的关键问题。

（2）采用树值法对电网络进行拓扑分法，虽然有很多优点，但有其不足，那就

是它们原则上只适用于由导纳型元件组成的网络且不同的网络函数有不同的拓扑公式，使之不能统一表述。由于推导它们时采用了节点电压分析法，因此上述缺点难以避免。

（3）前面介绍的K-树类型的拓扑分析，在分析电络时，计算量小，减少了累积误差，提高运算精度，对于灵敏度高的元件优为显著，在许多需要生成符号网络函数的场合都有广泛的应用。但是，它有不可克服的弱点，是对大型网络效率很低，往往使列出全部树几乎是不可能的，即使是计算机技术的广泛采用，因此是K-树方法还局限于小型电网络的分析运用，许多学者又提出了用网络分块的方法，这是一种有益的尝试。

（4）电网络的拓扑分析应朝更实用、更有效的方向发展，更应结合生产实际，如在电力系统分析中的应用：潮流计算的符号分析方法，配电网络的拓扑算法，电网络的故障诊断等，这样崭新的方向发展。

（5）所以寻找处理更大网络问题的拓扑分析是一个重要的研究课题。在处理大

56

网络时，应用适当的方法，把它分解为一些相互关联的小网络，再对小网络进行符号分析，则可以扬长避短，发挥拓扑方法的作用，因而如何对大网络按一定的规律有效的分解，是推广拓扑方法的重要问题。

57

7 结束语

随着国民经济和科学技术的快速发展，随着图论研究的深入开展，电网络的拓扑分析和研究不仅得到了广大科技工作者的日渐关注，更成为了一种解决工程技术、经济管理以及社会问题的一个重要工具，因此，电网络的拓扑分析作为图论研究的一个分支也具有重要的理论和实际意义。本文对电网络的拓扑分析的有关理论进行了较细致的分析和研究，并在理论分析和总结的基础上，并得到了一整套拓扑公式并使得电网络的拓扑分析得以实现，在推论了一整套电网络的拓扑分析公式后，并加入了具体的实例进行说明，使电网络理论和具体的实践有机的结合，在理论和实践这一平台上，说明了电网络的拓扑分析具有直观性、实效性，是一种行之有效的并能具体解决电网络中问题的方法。

本论文围绕图论、拓扑分析和电网络的基本理论，利用图论作为工具对电网络进行分析，将基尔霍夫电流和电压定律表示为矩阵形式，进而建立了电网络方程，导出了计算节点导纳矩阵和不定导纳矩阵的行列式的拓扑公式，这使得电网络的拓扑分析具有了坚实的理论基础。电网络的拓扑分析几乎全部涉及到树及树的生成问题。本论文简要介绍了三种树的产生方法，并分析了它们各自的优、缺点，从而使计算节点导纳矩阵行列式和不定导纳矩阵行列式的拓扑公式更具有应用价值，在树、生成树的概念的基础上分别对无源电网络和有源电网络进行了详细的分析、研究，后又推广到非线性电阻网络，使电网络的拓扑分析成为一种有机的体系，同时对拓扑分析电网络这种实用性的方法的优势和存在的问题及下步要开展的工作，做了肤浅的分析和展望。

当然，电网络的拓扑分析涉及的知识比较多，需要较深的数学和电子科技知识，内容较为复杂，由于时间和各种条件的限制，本论文在很多方面需进一步的加深和完善。随着科学技术的发展，特别是数学知识在应用技术方面的进一步深入研究和发展，电子计算机芯片技术的提高，电网络的拓扑分析向新的方向更深入的研究已成为可能，我深信，在不久的将来电网络的拓扑分析一定会上一个新的台阶，走向更加灿烂的春天。

58

致 谢

本论文工作是在老师李承副教授在精心指导和由衷的关怀下完成的。我在学校攻读硕士学位期间，无论在生活上还是在学习上，我都得到了恩师无微不至的帮助，老师严谨求实的治学态度和渊博的知识以及丰富的科学研究工作经验和能力都使我受益匪浅，这对我以后的生活和工作都是取之不尽的财富，在我的论文完成之际，谨向培养和教育我付出辛勤汗水和心血的导师致以衷心的谢意，并在此致以崇高的无比敬意！

在我的课题研究和论文撰写的过程中，还得到了汪建教授和颜秋蓉副教授的热心指导和无私帮助，在这里我向两位老师表示最诚挚的感谢！

我也感谢我同实验室的李向阳、危涛等硕士以及我同宿舍的雷海、张伟硕士、唐健博士，他们在我的学习和生活上对我无私的关怀和帮助！

感谢华中科技大学提供给我的深造机会。华中科技大学深厚的人文底蕴、严谨的治学态度、淳朴的校风、蓬勃的朝气和强烈的经济意识必将也使我受益无穷！

感谢家人长期以来给予我的默默无私的支持、关心、理解和鼓励，特别对于父母的养育之恩和长期以来所付出的心血和关爱，没齿难忘！

最后，我向所有给与我关心、支持、和鼓励的我的老师们、同学、朋友表示最诚挚的谢意！

59

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