2012届高三数学二轮精品专题卷 专题3 平面向量

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2012届高三数学二轮精品专题卷：专题三 平面向量

考试范围：平面向量

一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知a1,0,，bx,1，若ab2，则x的值为 （ ） A．2 C．31

B．4 D．2

2．已知M、P、Q三点不共线，且点O满足8OM3OP4OQ0，则下列结论正确的是 （ ）

A．OMMPMQ C．OMMP4MQ

B．OM3MPMQ D．OM3MP4MQ

3．在三角形ABC中，点P在BC上，且BP2PC，点Q是AC的中点，若PA4,3，PQ1,5，则BC= （ ） （1）6,21 C．6,21

B．2,7 D．2,7

4．已知平面向量a2,1，2a3b7,3m2，且a∥b，则2a6b （ ） A．2,4 C．2,1

B．3,6 D．10,5

5．如下图，在△ABC中，ABBC3，ABC30，AD是边BC上的高，则ADAC的值等于 （ ）

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A．0

B．

9 4C．4 D．9 46．已知向量a2,3，ab1,4，则b在a方向上的投影等于 （ ） A．C．13 132 2B．

13 13D．2

7．在△ABC中，ABAC1，ABBC3则AB边的长度为 （ ） A．2 C．4 8．若a（ ）

B．3 D．5

2，b1，且a2b2ab，则a与b的夹角余弦是

A．

3 21 2B．

2 33 2C．D．9．已知平面向量a1,2，b4,3，则ab的最小值是 （ ） A．1 C．10

B．5 D．5

10．在直角坐标系xOy中，已知点A1,0，B3,4，已知点C在AOB的平分线上，且OC5，则C点（ ） 分享 互助 传播

坐

标

是

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A．1,2 C．1,2

B．2,1 D．2,1

11．设平面向量a1,2，b2,y，若ab，则3ab等于 （ ） A．52 C．17

B．6 D．26

12．已知平面内的向量OA，OB满足：OA2，OAOBOAOB0，且OAOB，又

OP1OA2OB，011，122，则满足条件点P所表示的图形面积是

（ ） A．8 C．2

B．4 D．1

13．已知等差数列an的前项和为Sn，若OCa1OAa2013OB，且满足条件AC2CB，则an中前

2013项的中间项是 （ ） A．

1 2B．1 D．2013

C．2012

14．已知向量ax,y，b1,2，满足2abb，3ba∥b，则a= （ ） A．(1,1)

231C．(,)

22B．(1,0)

D．(0,1)

15．已知关于x的方程:OAx2OB2xOC0（x∈R），其中点C为直线AB上一点，O是直线AB外一

点

，

则

下

列

结

论

正

确

的

是

（ ）

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A．点C在线段AB上

B．点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点 C．点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点 D．以上情况均有可能

二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.将答案填在题中的横线上）

16．已知a2，b2，|a+b|=23，则a与b的夹角为 ． 17．在平行四边形ABCD中，若AB0,4，AC2,4，则ADBD= ． 18．已知向量a(x1,3),b(3,y)，若a⊥b，则xy的最大值为 ．

19．1为半径的圆，且OA2OB2OC0，则AB= ． △ABC内接于以O为圆心，20．已知向量mcos,sin，ncos,sin，是 ．

21．已知向量asin,1，2ab2sincos,1，则||ab的最大值为 ．

4，则向量m与向量n的夹角

22．已知e1，e2是夹角为为 ．

2的两个单位向量，ae12e2，bke1e2 若ab=0，则k的323．已知向量m2,2，n2,1，直线l过点A3,1且直线的方向向量与向量m2n垂直，则2直线l的方程为 ． 24．给出下列命题：

①已知向量a，b，c均为单位向量，若abc0，则ab1； 2②△ABC中，必有ABBCCA0；

③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是ABDC；

④已知P为△ABC的外心，若PAPBPC0，则△ABC为正三角形． 其中正确的命题为 ．

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25．设F11,0，F21,0是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，且a2，点P在椭圆上，则PF1PO的取值范围是 ．

26．设锐角△ABC的三内角A，B，C，向量msinA3cosA,1，nsinA,，且mn则

32角A的大小为 ．

27．已知点P是△且3PA5PB2PC0,设ABC的面积为S，则PACABC所在平面内的一点，的面积为 ．

28．已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量ma,b，nb2,a2，且mn， c2，则ABC的周长的最小值是 ．

1129．设函数fxx，A0为坐标原点，An为函数yfx图象上横坐标为n（n∈N*）的点，

2x1x向量annk1n5tank＜的最大整Ak1Ak，向量i(1,0)，设n为向量an与向量i的夹角，满足

3k1数n是 ．

30．已知双曲线x2y22的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．则满足F1MF1AF1BF1O的动点M的轨迹方程为 ．

2012届专题卷数学专题三答案与解析

1．【命题立意】考查数量积的坐标运算，属于基础题．

【思路点拨】从数量积的坐标运算做为入手点，不难得到x的取值．

【答案】D【解析】依题意，ab1,0x,1x2,x=2，选择D． 2．【命题立意】本题考察了向量的线性运算和平面向量基本定理．

【思路点拨】根据向量的线性运算，不难把向量OM用MP与MQ表出．

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【答案】D【解析】依题意，由8OM3OP4OQ0得OM3即OM3MP4MQ，OPOM4OQOM，

故选D．

3．【命题立意】考查平面向量线性运算和坐标运算．

【思路点拨】首先借助向量的线性运算用已知向量表示未知相关向量，然后借助坐标运算求解．

【答案】A【解析】由题意知，PQPAAQ1,54,33,2,又因为点Q是AC的中点，所以AQQC,所以PCPQQC1,53,22,7,因为BP2PC所以BCBPPC3PC32,76,21． 4．【命题立意】考查了向量的坐标运算，向量共线的充要条件．

【思路点拨】借助a∥b的充要条件，求出m的值，然后按照坐标运算得出2a6b．

2a3b7,3m2得b1,m又因为，【答案】C【解析】由a2,1，得2m110，于是m，a∥b，

12所以2a6b4,26,32,1，故选C．

5．【命题立意】本题考查向量数量积运算性质和向量的线性运算．

【思路点拨】充分利用已知条件的ABBC3，ABC30，借助数量积的定义求出．

【答案】B【解析】因为ABAC3，ABC30，AD是边BC上的高,AD293ADACADACcosCADAD. 246．【命题立意】本题考查向量数量积的投影的意义,数量积的坐标运算以及向量夹角公式．

【思路点拨】首先明确a在b方向上的投影最后的结果．

acosa,b，结合数量积坐标运算与夹角公式，不难得出

【答案】B【解析】由条件a2,3，ab1,4，不难得到b1,1,b在a方向上的投为:bcosa,bbabababa1313．

7．【命题立意】考查了向量的线性运算与向量数量积的运算和相关性质考查．

【思路点拨】首先借助利用向量的线性运算表示AC，而后借助数量积运算律和性质解决长度问题．

【答案】A【解析】因为ABACABABBCAB31,所以AB2,即AB边的长度为2．

28．【命题立意】本题考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用．

【思路点拨】首先利用向量的垂直的充要条件，求出ab，再利用向量的夹角公式计算夹角的余弦值．

【答案】B【解析】由ab2ab得a2b2ab0，∴3ab2a2b2，即ab222，∵a2，3b1，cosa,babab2． 39．【命题立意】本题考查向量坐标运算及向量模的运算．

【思路点拨】可以以向量的坐标运算作为切入点，也可以数形结合转化为点到直线的距离．

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【答案】A【解析】由于aba2b2ab252205，当

22222

时，ab取最小值1，∴ab5

的最小值为1，故选A．也可以转化为点A1,2到直线3x4y0的距离，即d314251．

10．【命题立意】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量加法的平行四边形法则．

【思路点拨】设OAOA，OBOB，若四边形OACB是菱形，则点C在AOB的平分线上，由此

找到解题思路．

【答案】B【解析】构造向量OA5,0，则OAOB，∴OCt因为OC5，解得tOAOB8t,4t，

1，4OC2,1．

11．【命题立意】考查向量垂直的充要条件和向量模的运算．

【思路点拨】首先利用向量垂直的充要条件计算y的取值，按照向量模的坐标运算公式不难得出最后结果．

【答案】A【解析】ab，则122y0y1，从而3ab31,22,11,7，3ab52．[来源: ] 12．【命题立意】本题考查数量积运算和向量垂直的充要条件、不等式组表示平面区域．

【思路点拨】先根据向量的坐标运算得到不等式组，然后根据不等式组画出平面区域，不难知道正确答案．

【答案】B【解析】如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，

OAOBOAOB0即OAOB,也就是OAOB2则建立平面直角坐标系，因为22A2,0，B0,2设Px,y，则由OP1OA2OB得（x,y）1(2,0)2(0,2)(21,22)，所

以x220110x2x,y）|0x2,2y4，表示正方形区域（如图，因为，故点P的集合为（y221222y4中阴影部分所示），所以面积为224．

13．【命题立意】本题考查了向量线性运算、向量共线的充要条件，等差中项性质的应用．

【思路点拨】A，B，C三点共线的充要条件是OCOAOB且1，进一步借助等差中

项的性质求解．[来源: ]

【答案】A【解析】依题意，由条件AC2CB，所以A，B，C

三点共线，又OCa1OAa2013OB，

借助共线充要条件的a1a20131，{an}中前2013项的中项为a1007，根据等差中项公式2a1007a1a2013，1故a1007，选择A．

214．【命题立意】本题主要考查向量的坐标表示和运算，平面向量垂直和平行的判定.

【思路点拨】根据垂直和平行的坐标表示不难得出向量a的坐标所满足的关系，进而得出a的坐标.

分享 互助 传播

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【答案】A【解析】由已知条件知，2a+b=(2x1,2y2)，3b－a=(3x,6y)，由于(2ab)b，3ba1(2x1)1(2y2)(2)02x4y501x∥b，可得得到，解得2因此a(,1).

22xy0(3x)(2)(6y)1y115．【命题立意】本题考查向量的线性运算及三点共线的条件及探究能力．[来源: ]

【思路点拨】先由三点共线的条件确定x值,代入原式利用向量的线性运算化简即可．

【答案】B【解析】据题意由于A,B,C三点共线,故由OCOAx2OB2x,可得x22x1,解之得

x1,即OCOA2OB,化简整理可得:OCOBOBOABCAB,故点C在线段AB的延长线

上且点B为线段AC的中点．

16．【命题立意】本题考查了平面向量的数量积的性质、模的运算和向量夹角公式.

【思路点拨】首先借助模的性质a2|a|2，得到ab，进一步借助夹角公式得出夹角.

【答案】【解析】因为a2，b2所以由(ab)2a22abb212可得ab2，设a与b的

3ab1夹角为，又因为|a|＝2，|b|＝2则cos,故.

3ab217．【命题立意】考查平面向量的线性运算和平面向量的坐标运算．

AC表示向量AD、BD,而后借助向量线性运【思路点拨】首先借助向量的线性运算用向量AB、算得出结论．

【答案】4【解析】ADBCACAB2,0，BDADAB2,4．故ADBD2,02,44． 18．【命题立意】本题考查向量垂直的充要条件以及基本不等式的应用.

【思路点拨】首先借助向量垂直的充要条件得到x、y之间的关系，借助基本不等式求最值.

211xyb【答案】【解析】因为a⊥，所以ab0，则有(x1)33y0，即xy1.又因为xy，

442当且仅当xy时，“=”成立，即当xy11时，xy的最大值为.

4219．【命题立意】本题考查平面向量的数量积、向量模的运算．

【思路点拨】从题设条件特征分析，AB可以表示为OBOA，因此只要通过条件式求出OAOB，

即可解答．

【答案】2【解析】由OA2OB2OC0得OA2OB2OC，两边平方得

22210OA4OAOB2OB2OC2，因为OAOBOC1，所以OAOB1021，4ABOBOAOBOA1122124．

20．【命题立意】本题考查向量的坐标运算与向量夹角公式、和角或差角的余弦公式．

【思路点拨】借助向量的坐标运算计算出mn，在这儿充分结合差角的余弦公式，再利用向量的夹角公式cosmnmn,进而求出夹角．

【答案】

【解析】因为abcos,sincos,sincoscossinsincos，设向量a4φcos与向量b的夹角为，则coscosθ,又0，所以． 44分享 互助 传播

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21．【命题立意】考查向量的模以及三角函数辅助角公式的应用，属于知识的综合考查，

【思路点拨】首先借助向量的坐标运算求出ab，而后借助向量的模与辅助角公式化简整理，进而求出ab最大值．

【答案】2【解析】因为asin,1，2ab2sincos,1所以

2abaabsincos,0，故2．

absincos2sin（θ）2，4ab的最大值为

22．【命题立意】本题考查向量的数量积的概念、运算与向量的垂直的坐标表示．

【思路点拨】利用向量的数量积运算性质和向量的数量积的定义不难得出结论．

【答案】【解析】因为abe12e2ke1e2ke112ke1e22e2，且e1e21，e1e254221，2所以2k20，即k1254．

23．【命题立意】本题考查向量的坐标运算、向量垂直充要条件与求直线方程的方法，属于

对数学知识综合应用．

【思路点拨】首先根据向量垂直计算出直线方程斜率，再利用直线的点斜式求出直线方程．

【答案】2xy70【解析】由m2n2,1，可知l的方向向量为v1,2．即直线的斜率为k2，根据直线的点斜式方程得y12x3，故得直线的方程为2xy70．

24．【命题立意】本题考查向量的基本概念、平面向量线性运算即加法、减法运算．

【思路点拨】充分利用向量的知识逐一判断．[来源: ]

【答案】②③④【解析】命题①错误，ab1；命题②③④都是正确的． 225．【命题立意】考查向量数量积的坐标运算、椭圆的几何性质．

PO坐标化，然后按照向量数量积坐标运算计算PF1PO，注意【思路点拨】首先把向量PF1、到点P在椭圆上利用自变量的取值范围，求得PF1PO取值范围．

y21，设P(x，y)，[来源:金太阳新【答案】,22【解析】由已知条件不难得到椭圆的方程为

221x2课标资源网 ]

11112则PF1PO＝(1x,y)(x,y)＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋12x2＝2x2＋x＋1＝x1，x2,2,

22∴所求范围为,22．

2126．【命题立意】本题考查向量的坐标运算与向量垂直的充要条件、三角恒等变换，属于知

识交汇处考察，是考试的热点．

【思路点拨】由已知条件mn，得到关于A的关系式，借助三角恒等变换，算出sinA，借助

三角形的特征，不难得出最后的结论．

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33【解析】因为mn，则sinA3cosAsinA0，即sin2A3sinAcosA,所

223【答案】

1cos2A3331sin2A，即sin2Acos2A1，即sin2A1,又因为222226A是锐角，则2A62，

所以A3．

27．【命题立意】本题考查向量的线性运算．

【思路点拨】求解的关键是对3PA5PB2PC0的转变，我们所根据的原理是对于有

mPAmnPBnPC0这样的关系，则可以转换为mPAPBnPBPC，借助AB、BC的中点为M、N，转化为求解为PM与PN共线，进而求得SPAC．

【答案】

S【解析】如图，由3PA5PB2PC0，则3PAPB2PBPC，则

2PAPBPBPC．设32AB、BC22的中点为M、N，

PAPBPBPCPM,PN，即3PM2PN则点P在中位线MN上,则PAC的面积是ABC的面

22积的一半．

28．【命题立意】本题考查向量的坐标运算、垂直的充要条件和余弦定理及均值不等式的综合应用．

【思路点拨】首先借助向量垂直得到相应的三角形边之间等量关系，借助余弦定理得到ab，进而确定均值不等式确定ab的最小值．

【答案】6【解析】由题意可知mn0，即a(b2)b(a2)0，abab，由余弦定理可

4a2b2abab23ab得ab23ab40即ab23ab40，所以ab4（舍去ab1），故三角

形周长abcab22ab26．

29．【命题立意】本题考查向量的运算及数列求和知识的综合应用.

【思路点拨】确定An的坐标,进而确定向量an与向量i的夹角n的通项公式,然后根据通项公式求

和解答即可.

1n1,故【答案】3【解析】据题意可得anA0A1A1A2AnAn1A0Ann,n2n111,因此tannnn12n1111122n1111tank12231222nn11k12n2n111111nn1223112n11111152,据题意令2n＜，易验证知满足不等式的最大正整数值为3. nn1n1n1322（2）【命题立意】本题考查向量的线性运算、中间变量法求曲线方程.

【思路点拨】首先借助向量线性运算得到中间变量和最终变量之间的关系，而后利用中间变量法得到

曲线方程．

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【答案】x62y24【解析】由条件不难知道F1(2,0)、F22,0,设Ax1,y1，Bx2,y2，Mx,y，则

x2x1x26F1Mx2,y，F1Ax12,y1，F1Bx22,y2，F1O2,0，F1MF1AF1BF1O得，

yy1y2xxx4x4y即12，于是AB的中点坐标为,，当AB不与x轴垂直时，

yyy2212yy1y2y2，

x4x1x2x822即y1y2y2222y12，x2y22，两式相减得x1x2，又因为A、B两点在双曲线上，所以x1x8y1y2yx1x2代人上式，化简得x8x1x2x1x2y1y2y1y2，x1x2x4y1y2y，将

x62y24．当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M8,0，也满足上述方程．所以点M轨迹方程

是x62y24．

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