高中数学圆锥曲线小结论

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直

径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x2y2xxyy5. 若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切

abxxyy点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan2.

x2y28. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和

A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2kOMkAB2，

ab2x0即KAB2。

ay0双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴

为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

1

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：

P在左支）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程

abxxyy是02021. abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切

abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意

ab2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2bcot2.

x2y28. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶

点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB

abb2x0b2x0的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方

abx0xy0yx02y02程是2222.

ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程

abx2y2x0xy0y是2222. abab椭圆与双曲线的对偶性质--

椭 圆

2

x2y21. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

abx2y2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线

abb2x0交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

abPF1F2, PF2F1，则

actancot. ac22x2y24. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

ab任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsinax2y25. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

ab＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

ab则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7. 椭圆22ab2222AaBb(Ax0By0C)2. x2y28. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且

ab224ab11112+|OQ|2的最大值为OPOQ.（1）;（2）|OP|;a2b2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2（3）SOPQ的最小值是2. 2ab

3

x2y29. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

ab|PF|e. MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平

aba2b2a2b2x0分线与x轴相交于点P(x0,0), 则. aax2y211. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

ab2b22记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan.

1cos2x2y212. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

abPAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2ab2|cos|2a2b22cot. (1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2222accosbax2y213. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F

ab的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

4

椭圆与双曲线的对偶性质--

双曲线

x2y21. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴

abx2y2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补

abb2x0的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

abF

2

是焦点, PF1F2, PF2F1，则

catancot（或ca22catancot）. ca22x2y24. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）

ab为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

PF1F2,F1F2P，则有

since.

(sinsin)ax2y25. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，

ab则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内

ab一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

5

x2y27. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条

ab22222件是AaBbC.

x2y28. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动

ab点，且OPOQ.

224ab11112+|OQ|2的最小值为（1）;（2）|OP|;（3）SOPQ222222ba|OP||OQ|aba2b2的最小值是2. 2bax2y29. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于

ab|PF|e. M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的

aba2b2a2b2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0.

aax2y211. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2

ab2b22为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2bcot.

1cos2x2y212. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的

ab一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离

2ab2|cos|心率，则有(1)|PA|2. 22|accos|(2) tantan1e.(3) SPAB22a2b22cot. 2bax2y213. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲

ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连

线必与焦半径互相垂直.

6

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

7

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

y2例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x1，P为双曲线上一点。

31求|PA||PF|的最小值。

22 解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知 |PA|1|PF|即点P到准线距离。 2

15|PF||PA||PE|AM 22

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

b2 p，而ct

c2 bpcpt

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

xctybpt

2 消去t，得轨迹方程ypx

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

8

例3. 已知x,yR，且满足方程x2y23(y0)，又my3，求m范围。 x3 解析：m斜率，如图所示

y322的几何意义为，曲线xy3(y0)上的点与点（－3，－3）连线的x3

kPAmkPB

3335m22

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

OQ|的值为________。 3)2y24和直线ymx的交点为P、Q，则|OP|| 解：OMP~OQN |OP||OQ||OM||ON|5

例4. 已知圆(x

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

x2y2xy1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，例5. 已知椭圆：

2416128点Q在OP上且满足|OQ||OP||OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

 解：如图，OQ，OR，OP共线，设OROQ，OPOQ，OQ(x，y)，则OR(x，y)，OP(x，y)

2OP||OR| |OQ||

9

222 |OQ||OQ|

2

 点R在椭圆上，P点在直线l上 2x2242y2161，

x12y81

x2y2xy 即

2416128 化简整理得点Q的轨迹方程为：

(x1)2(y1)221（直线yx上方部分） 55323

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆

x2y26x40和x2y26y280的交点，且圆心在直线

xy40上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2y26x4(x2y26y28)0

22 (1)x(1)y6x6y(284)0

33 则圆心为(，)，在直线xy40上

11 解得7

22 故所求的方程为xyx7y320

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y21相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x 2 解：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则

2

2y12x1122x2y2122(x2x1)(x1x2)1

2 <2>－<1>得

(y2y1)(y1y2)

2y2y12(x1x2) 即

x2x1y1y2 设P1P2的中点为M(x0，y0)，则

y2y12x0 kPP

12x2x1y0 又，而P1、A、M、P2共线

10

kPP12kAM，即

y012x0x02y02

P1P2中点M的轨迹方程是2x

y24xy0

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识

点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0AABB，使AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，AB交半圆于P、Q两点，建立如图

所示的直角坐标系.

(1)写出直线AB的方程； （2）计算出点P、Q的坐标； （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A(1 ) 显然A'',B'点的坐标.

‘1,1t, B1，1t， 于是 直线AB

的方程为ytx1；

x2y21,2t1t2（2）由方程组解出P(0,1)、Q(,)； 221t1tytx1,101, kQT0tt1t2021t211t. 22ttt(1t)t21t （3）kPT 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2例2 已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，

ab求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． 讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为ykxm(k0). 代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2， 得 b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2. 化简后，得关于x的一元二次方程 (a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20. 于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2). 由已知，得△=0．即a2k2b2m2. ① 在直线方程

ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(m,0),S(0,m).

k 11

myx,k,kx 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 解得ym.my. 代入①式并整理，得 ab1, 即为所求顶点P的轨迹方程．

2222xy

22ab方程1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? x2y2 例3

23x2y2已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是

3ab3. 2 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线值.

讲解：∵（1）

ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的

c23,原点到直线a3AB：

xy1的距离abdaba2b23.ab3.c2.

b1,a2 故所求双曲线方程为 xy21.

3（2）把ykx5代入x23y23中消去y，整理得 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则 xx1x20(13k2)x230kx780.

2y0115k51

ykx5,k.00BE13k213k2x0k即

x0ky0k0,15k5k2k0,又k0,k7

13k213k2故所求k=±

7. 为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程． 讲解：（1）设|PF1|r1,|PF2|r2,|F1F2|2c, 对PF1F2, 由余弦定理, 得

12

2r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2 cosF1PF21112e0，

rr2r1r22r1r22r1r22(12)22解出 e2 .2 （2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为

yk(xc)………………①

x2y22 得 a22c2,b2c2. 椭圆方程为 由1,A(x,y),B(x,y)e.1122a2b22于是椭圆方程可转化为 将①代入②，消去

x22y22c20………………②

x22k2(xc)22c20,

y得

整理为x的一元二次方程，得 (12k2)x24ck2x2c2(k21)0.

222c1k2则x1、x2是上述方程的两根．且|x2x1|，|AB|1k2|xx|22c(1k)，

2112k212k2也可这样求解： |k|AB边上的高h|F1F2|sinBF1F22c,

11k2S|F1F2||y1y2|

211k2|k|S22c()2c 22212k1k c|k||x1x2|

22c21k2|k|k2k412222c22c2c2. 224112k14k4k44kk2ii) 当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得y21c,|AB|2c,S2c2c2 22由①②知S的最大值为

2c2 由题意得2c2=12 所以c262b2 a2122

x2122y2621.

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：xmyc…………①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

22椭圆的方程为：xy1,A(x1,y1),B(x2,y2)

22ab由e2222.得：a22c2,b2c2,于是椭圆方程可化为：x2y2c0……② 2把①代入②并整理得：(m22)y22mcyc20 于是y1,y2是上述方程的两根.

|AB|(x1x2)2(y1y2)21m2|y2y1|22c(1m2), m221m24m2c24c2(m22)m22 13

AB边上的高h2c1m2,

21m22从而S1|AB|h122c(1m)2c22c222m22(m2)222c1m21m2112m212c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax2c2.

由题意知2c212, 于是 b2c262,a2122. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2122y2621.

x2y2例5 已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中

ab点在直线l:x2y0上.（１）求此椭圆的离心率；

2（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆xy24上，求此椭圆的方程.

yx1，讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2 得 y2221ba(a2b2)x22a2xa2a2b20,

根据韦达定理，得

2a22b2x1x22,y1y2(x1x2)22, 22abab）.

a2b2,2 ∴线段AB的中点坐标为（22abab2a22b22222220,a2b2(ac)a2c 由已知得2，故椭圆的离心率为222ababe22 .

（2）由（1）知bc,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y0的对称

点为(x0,y0),则y001xby341且0200,解得 x0b且y0b

x0b2225520由已知得

x2y2324221 . xy4,(b)(b)4,b4，故所求的椭圆方程为845520 14

例6 已知⊙M：x2(y2)21,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

程.

（1）如果|AB|423，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方

讲解:（1）由|AB|423，可得

|MP||MA|2(|AB|22221)12(),233由射影定理，得

|MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在Rt△MOQ中，

|OQ||MQ|2|MO|232225，故a5或a5，

5y250或2x5y250;

所以直线AB方程是2x

（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得

2y2,(*) ax由射影定理得|MB|2|MP||MQ|,即x2(y2)2a241,(**)

把（*）及（**）消去a，并注意到

71y2，可得x2(y)2(y2).

41622适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，

曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设

DM，试确定实数DN C 的取值范围．

讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=

2222()222∴动点22x2y21 . 2P的轨迹是椭圆∵a2,b1,c1∴曲

A O B 线E的方程是

（2）设直线L的方程为

ykx2, 代入曲线

E的方程

x22y22，得

(2k21)x28kx60设M1（x1,y1),N(x2,y2), 则

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(8k)24(2k1)60,8k xx,1222k16xx.1222k1i) L与y轴重合时，①

② ③

|DM|1

|DN|3xxMxDM3D1k2. 又∵DNxDxNx22,

ii) L与y轴不重合时， 由①得

∵x2x10, 或 x2x10,∴0＜＜1 ,

(xx2)2(x1x2)2x1x264k21∴22∵2x1x2x1x2x2x16(2k1)31, ∴63(22)8.∴ 42k3213(22)k

而k2323(21)k216116, ∴ 42, 33

01,11102,2,3110,3111.∴的取值范围是,1 . 33 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线l过抛物线 （1）求证：4x1x2分线.

2 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程为xP,显然xxP.若l不垂直于

12242y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.

p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平

22x轴，可设yk(xP),代入抛物线方程整理得x2P(12P)xP0,则x1x2P. 综上可知

22k444x1x2p2.

2222（2）设C(c,c),D(d,d)且cd，则CD的垂直平分线l的方程为ycdcd(xcd)

2p2p22p4p 16

22cdcdpcd222假设l过F，则0()整理得 (cd)(2pcd)0 p0

22p24p2p2c2d20，cd0. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线y22px只相交于原点.

而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考

试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

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