刚体角动量守恒定律

基本概念：力矩的功 基本规律：转动动能定理 角动量守恒定律

教学基本要求

1， 理解力矩的功、刚体转动动能定理

2， 掌握刚体定轴转动的角动量守恒定律。

能运用角动量守恒定律析和解决刚体的简单系统的力学问题。

复习：p112-122

预习：p234-239

作业：p126 4-8 4-11

转动动能定理、角动量守恒原理

一，转动动能定理：

1， 力矩的功

设刚体在外力F作用下发生角位移dφ

由功的定义：相应的元功为：

所以力矩的功为：

2， 转动动能定理

设M为作用刚体上的合外力矩。将转动定律应用于功的定义中：

所以转动动能定理为：

说明，（1）

为合外力矩的功，是过程量

为刚体在t时刻的转动动能。是时刻量。

（2）其中M、J、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。

【例】：质量为m长度为l的匀质细棒，可绕端轴o在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。

解：取细棒为研究对象，视之为刚体。细棒下摆到

任意θ位置时受外力有：重力mg，端轴支持力N

(对o不成矩) 。由功的定义：

由转动动能定理：

二，角动量守恒定律

设M为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：

所以，刚体定轴角动量定理为

特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。

即刚体定轴转动角动量守恒定律为：

说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。

（2）守恒式各量（M、J、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。

（3）

（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。不仅适用宏观领域，

也适用微观领域。

【例】质量为m的人站在质量为M，半径为R的水平匀质圆盘边沿，随圆盘以角速度

旋转，当他运动到半径r处时，系统的角速度变为多少？

解：系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg、以及转轴的支持力N均对转轴不成矩，故系统角动量守恒。

【例】：质量为M、半径为R的水平圆盘可绕通过圆心的铅直轴转动，盘上

距轴r(r解：设圆盘角速度为Ω，系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg、以及转轴的支持力N均对转轴不成矩，

故系统角动量守恒。

人对盘的角速度：

，

人对地的角速度：

【例】：质量为M长度为l的匀质细棒静止在铅垂位置，一质量为m的子弹以速度v水平地射入细棒下端，试求细棒（含子弹）上摆高度h=?

解：子弹射入细棒的过程很快完成，故认为细棒来不及运动。系统所受

外力有：重力Mg、mg以及悬挂点支持力N，它们对o均不成矩。故过程的角动量守恒：

细棒（含子弹）上摆过程机械能守恒：

联立（1）、（2）得：

【例】：转动惯量为J1、角速度为ω0的飞轮与半径相同转动惯量为J2的静

止飞轮接触后，角速度将变为多少？

解：设接触Δt时间后角速度分别为ω1、ω2，接触过程中各自受力如图。但

对各自的转轴具有力矩的只有f12、f21。

思考：1，有人认为（1）式也可以利用系统角动量守恒定律得出，对吗？

上例中的两轮换成下图所示情况，可以利用定轴转动角动量守恒定律求解吗？

2，试分析单摆和圆锥摆中质点的动能、动量和角动量的守恒情况。