日元对美元汇率的时序图

统计学专业教学实习报告

题目：基于GARCH模型的日元兑美元汇率的分析与预测

姓 名:龚进容 学 号：20081004180

指导老师：许小平

2011年 06月

基于GARCH模型的日元兑美元汇率的分析与预测

摘要：日元是全球三大货币之一，对亚洲乃至全球金融和经济发展的影响举足轻重。本文

通过建立GARCH模型拟合近几年来日元兑美元汇率的波动情况，预测未来几期汇率的变动，发现日元兑美元序列存在自相关性和异方差性，用GARCH（1，1）模型能较好的模拟该序列的波动特征。

关键词：日元；汇率；GARCH

一、研究背景和意义

GARCH模型已广泛地应用于经济领域的建模及研究过程中．主要用于具有聚集性及方差波动性特点的经济类时间序列数据的回归分析及预测。它实际上是把时间序列的动态模型加以推广，用自回归过程来刻画扰动项的条件方差随时间变化的动态特征。

日元兑美元汇率的变动日益成为影响整个东亚经济增长与稳定的一个极其重要的因素。由于受到3月11号日本大地震的影响，日元兑美元的汇率在走过2011年2月的低迷期后又强势回升。日元对美元汇率逐级上台阶，期间尽管日本央行屡次向市场紧急注资，但日元似乎锐不可当，升值步伐并未因此停歇。目前，研究日元对美元汇率的变动以成为金融领域的热门话题。本文通过研究日元兑美元汇率变动的趋势来分析日元兑美元汇率波动的特征，预测未来几个月日元兑美元的汇率，对于投资者的决策、经济的发展具有十分重要的现实意义。

二、数据来源及理论

（一）数据说明 1.数据来源

本数据来源于中国国家外汇管理局，选取的数据为2002年1月至2011年4月的日元兑美元汇率的月数据，共112个。

2.描述性统计分析

对这112个数据进行描述性统计分析的结果如下：

图1 日元兑美元汇率的描述性统计分析图

观察条形图及这些数据，我们可以发现：样本期内日元兑美元的平均汇率为1日元=0.00938美元，最高的汇率为1日元=0.012343美元，最低的汇率为1日元=0.007464美元。偏度为0.816，右偏，峰度为2.715，低于正态分布的峰度值3，扁平分布。JB正态性检验统计量为12.818，对应的p值小于0.05，说明在95%的置信水平下，2002年1月到2011年4月的日元兑美元的汇率分布异于正态分布。

（二）理论依据 1.ARCH模型

q阶自回归条件异方差ARCH(q)模型，其定义由均值方程和条件方差方程给出：若

tARCH(q)，则表示成：

ytXtt,t1,2,3,,T （1）

2thtvt,vt~(i,i,d),E(vt)0,E(vt)1 （2）

qht0 其中00，j是未知参数，且jjtj （3） j10,j1,2,,q，对于所有的t，t与t2q2相互独立。(B)为滞后算子多项式且(B)1B2BqB，ht为条件方差。方程（3）表示误差项t的方差 ht由两部分组成：一个常数项和前q个时刻的扰动项，用前q个时刻的残差平方表示(ARCH项)。

2.CARCH模型

ARCH描述了金融时间序列波动性聚类的特点，但是在实际应用中，当条件方差与较早时期方差的关系较大时，参数估计就不再精确，在实际应用在也无法保证所有参数的估计值都为正，因此对ARCH模型进行了补充和完善，提出来广义自回归条件异方差模型，简称CARCH模型。

GARCH(p，q)模型的一般形式为

qthtvt （4）

phtwj122jtjihti （5）

i1p其中p0，q0，w0，j0,j1,2,,q，i0(i1，2，，p)；(B)为滞后算子多项式且(B)1B2BpB。当p0时tARCH(q)，可以看出GARCH(p，q)模型具有ARCH(q)模型的特点，能够模拟价格波动的集聚性现象，两者的区别在于GARCH(p，q)模型的条件方差不仅是滞后扰动平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数；当pq0时，t退化为白噪声过程。

3.EGARCH模型

放宽了GARCH模型中参数非负的约束，Nelson(1991)对此进行研究提出了EGARCH模型，EGARCH模型的条件方差可表示为

thtvt （6）

loghtiloghtiivtiE(vti)ivti （7）

模型中方差采用了自然对数形式，意味着ht非负且杠杆效应是指数型的。若0说明信息作用不对称，当0预示了当前收益率和未来条件方差之间的负相关关系。

4.TGARCH模型

同样未来刻画杠杆效应，Zakoian(1990)提出了一种非对称模型TARCH模型，其条件方差可以为

t1htvt （8）

1212htihtiitiSt1 （9）

其中：S是虚拟变量，若t1>0，则S取值为1，否则取值为0。式(9)中的最后一

项反映了市场对不同信息反映的非对称性，上涨信息(t0)和下跌信息(t0)对条件方差的作用效果不同。

5.GARCH-M模型

如果条件均值显性地依赖于过程的条件方差ht即可表示成ytXg(ht)t，则这个模型就是ARCH-M模型。

6.AR-GARCH模型

当残差序列t具有自相关时，说明回归函数不能充分提取原序列中的相关信息，这时t的方差齐性，需要对残差序列t先拟合自回归模型，再考查自回归后的残差序列这样

就构造了AR(m)-GARCH(q,p)模型。

三、实证分析

1.回归拟合

首先，作日元兑美元的汇率随时间变化的时序图如下图所示：

图2 2002年1月~2011年4月日元兑美元序列的时序图

观察图2可以看到日元兑美元的汇率随时间的变化而变动，总体来说汇率随时间的增加而增长，具有一定的波动性和趋势性。要分析日元兑美元汇率的波动性情况，首先要消除时

间趋势的影响。

存在时间趋势时，要消除时间趋势的影响，需要用日元兑美元的汇率对时间进行回归，回归的结果如下表：

表1 汇率对时间回归的估计情况

表2 线性回归模型参数估计的结果

从表1可以看到此回归的拟合优度达到了66.18%，总体拟合情况还可以。从表2中可以看到常数项和时间项系数的估计值的t检验对应的p值都很小，在95%的显著性水平下通过了假设检验，认为此估计值在统计上是显著的。因此得到日元兑美元的汇率与时间趋势的关系如下：

r0.0076640.0000304tt

2.残差自相关性检验

从表1中的DW统计量的结果可以看到：0.1355，正相关检验的p值很小，拒绝原假，说明残差项序列t存在正的自相关。所以为了建立GARCH模型分析日元兑美元汇率的波动情况，还需对序列t进行自回归。

对序列t滞后5阶的自相关图如下图所示：

图3 残差序列滞后5阶的自相关图

从图中可以看到滞后1到4阶的相关系数较大，所以我们可以对序列t建立滞后4阶的自回归模型，即AR（4）模型。

3.ARCH效应检验

经过以上两个均值方程的拟合，得到的残差序列t的时序图如下图所示，它已基本满足了零均值、纯随机的性质。

图4 均值方程残差项序列的时序图

由于建立GARCH模型时，一个假定前提是序列t的条件方差要具有异方差性，所以我们要对t进行ARCH效应的检验，检验的结果如下图所示：

图5 ARCH效应的检验结果

从图5中可以看到：残差的平方序列t的ARCH效应检验的Portmantea Q检验与LM检验对应的p值都很小，拒绝原假设，说明残差平方序列具有显著的异方差自相关性，且是长期的自相关性，即它存在者ARCH效应。

4.参数估计

对于此数据，我们分别用GARCH(1,0)、GARCH(1,1)、GARCH(1,2)、GARCH(2,1)、GARCH(2,2)进行拟合，最后发现还是GARCH(1,1)的拟合效果最好。使用极大似然法及迭代技术对所有未知参数进行估计，得到的估计结果如下：

2表3 极大似然估计的效果

表4 极大似然法的参数估计结果

5.模型的检验 （1）对参数的检验

从表4中可以看到：对于各参数的t检验的结果，除了个别参数ARCH1项的系数不显著外，其他参数几乎都在95%的显著性水平下通过了检验，在统计上显著的。

（2）对模型整体拟合的检验

从表3中可以看到：模型的AIC和SBC的值都很小，整个模型拟合的R2高达96.12%，表明拟合得相当好。并且正态性检验的结果为p=0.1435，拒绝原假设，这与假定GARCH的残差函数tht服从正态分布相吻合。所以整体来说，整个模型的拟合是比较成功的。

（3）最后得到的模型的方程为：

rt0.0077610.0000344ttt0.955t10.211t20.484t30.276t4ti,i,d thtt,t~N(0,5.649)ht0.0000000556740.0144ht1 6.模型的预测

根据上面得到的模型，我们对日元兑美元的汇率作三步预测，分别预测2011年5月、6月与7月的汇率，得到的预测结果如下表所示：

表5 汇率的三步预测值表

时间 2011年5月 2011年6月 2011年7月 日元兑美元的汇率 0.0121 0.0121 0.0122 从表5中可以看到：利用所建立的GARCH模型进行预测，得到2011年5月日元兑美元的汇率为1日元=0.0121美元，2011年6月的汇率也是1日元=0.0121美元，2011年7月的汇率为1日元=0.0122美元。

由该模型得到的预测值与真实值之间的拟合效果如下图所示：

图6 预测值与真实值的拟合效果图

图6中的星号表示真实值，中间的实线表示预测值，而上下两条虚线表示预测时95%的置信区间。从图中可以看到：所有的真实值都在预测值的95%的置信区间内，且除了最后一个点与预测值有一定差距外，其余的预测值与真实值都比较接近，说明拟合情况相当好。最后一个点表示的是2011年4月日元兑美元的汇率，可能是由于受到前一期（2011年3月）的日本大地震的影响，使它出现了异常。

根据中国外汇管理局最新公布的资料，我们可以查到2011年5月的日元兑美元的汇率

为1日元=0.012164美元，2011年6月日元兑美元的汇率为1日元=0.01221美元，与预测的结果基本相同，这也说明此模型拟合得比较成功。

四、结论

本文通过建立AR(4)-GARCH(1,1)模型，分析了至2002年1月以来日元兑美元汇率的走势，表明日元兑美元的汇率具有波动聚集性与持久性的特征。虽然模型预测的效果比较理想，但是日元兑美元汇率今后的走势仍有极大的不确定性。受到3月11日的大地震的影响，日元兑美元的汇率在4月份、5月份及六月份都表现为持续上升趋势，但是这一上升趋势是否会一直持续下去，或者持续的时间有多久都是很难预测的，所以投资者购买这一外汇时，仍存在很大的风险。

附录：

data a; input r; t=_n_; ods html; cards; 0.007792 ··· ··· 0.012340 ;

proc gplot data=a; plot r*t=1;

Symbol1 c=black i=join v=star; proc autoreg data=a;

model r=t/nlag=5 method=ml dwprob;

model r=t/nlag=4 archtest garch=(q=1,p=1) method=ml; output out=c p=xp r=resid; proc gplot data=c; plot resid*t=1;

symbol1 v=none i=join c=black; proc gplot data=c;

plot r*time=1 xp*time=2/overlay; symbol2 v=star i=none c=black; symbol3 v=star i=join c=red; run;

画拟合效果图：

data w;

input r xp upper lower; t=_n_;

cards;

0.007792 ` ` `

··· ···

` 0.0121 0.0133 0.0115 ` 0.0122 0.0136 0.0114 ;

proc print data=w;

proc gplot data=w;

plot r*t=1 xp*t=2 upper*t=3 lower*t=3/overlay;

symbol1 c=black i=none v=star; symbol2 c=red i=join v=none;

symbol3 c=green i=join v=none l=2; run;